全国统考2024高考数学一轮复习第二章函数2.7函数的图像学案理含解析北师大版

2.7函数的图像必备学问预案自诊学问梳理1.利用描点法作函数图像的流程2.函数图像间的变换(1)平移变换对于平移,往往简单出错,在实际推断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.(2)对称变换(3)伸缩变换y=f(x)y=f(ax),y=f(x)y=Af(x).1.函数图像自身的轴对称(1)f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图像关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图像关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+b2.函数图像自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图像关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图像关于(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满意条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图像关于点a+b3.两个函数图像之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=b-a2对称((2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图像关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)对称.考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)将函数y=f(x)的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图像.()(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图像相同.()(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称.()(4)若函数y=f(x)满意f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.()(5)若函数y=f(x)满意f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.()2.(2024山东师大附中月考)函数y=log2|x|的图像大致是()3.(2024天津,3)函数y=4xx24.(2024浙江,4)函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]上的图像可能是()5.已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是()A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)关键实力学案突破考点作函数的图像【例1】作出下列函数的图像:(1)y=|lgx|;(2)y=2x+2;(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=x+2解题心得作函数图像的一般方法(1)干脆法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟识的基本初等函数时,就可依据这些函数的特征干脆作出.(2)图像变换法.变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.(3)描点法.当上面两种方法都失效时,则可采纳描点法.为了通过描少量点,就能得到比较精确的图像,经常须要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.对点训练1作出下列函数的图像:(1)y=10|lgx|;(2)y=|x-2|·(x+1);(3)y=x+2考点函数图像的识辨(多考向探究)考向1知式判图【例2】(2024山东潍坊一模,5)函数f(x)=x-sinxex+e-考向2知图判式【例3】(2024河北沧州一模,理5)已知函数f(x)的图像如图所示,则f(x)可以为()A.f(x)=x3B.f(x)=eC.f(x)=2x-xD.f(x)=e考向3知图判图【例4】已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示,则y=-f(2-x)的图像为()解题心得函数图像辨识的入手方面(1)从函数的定义域推断图像“左右”的位置;从函数的值域推断图像的“上下”位置.(2)从函数的单调性推断图像的改变趋势.(3)从函数的奇偶性推断图像的对称性.(4)从函数的周期性推断图像的循环往复.(5)必要时可求导探讨函数性质,从函数的特征点,解除不合要求的图像.利用上述方法,可解除、筛选错误与正确的选项.对点训练2(1)(2024全国1,理5)函数f(x)=sinx+xcosx+x2(2)(2024山东青岛5月模拟,4)下列函数的解析式(其中e=2.71828…为自然对数的底数)与所给图像最符合的是()A.y=sin(ex+e-x) B.y=sin(ex-e-x)C.y=tan(ex-e-x) D.y=cos(ex+e-x)(3)已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图像,则函数y=f(x)·g(x)的部分图像可能是()考点函数图像的应用(多考向探究)考向1与函数零点有关的参数范围【例5】(2024全国1,理9)已知函数f(x)=eg(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)解题心得将函数的零点转化为方程的根,构造方程两边的函数,通过函数图像的交点个数满意已知函数零点个数,求出参数的取值范围.对点训练3已知f(x)=12|x|,x≤1,-x2A.-∞,12∪[1,2) B.C.(1,2) D.[1,2)考向2已知函数不等式求参数的范围【例6】(2024湖南永州二模,理9)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2-|x+2|.若对随意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,则实数a的取值范围是()A.(0,2) B.(0,2)∪(-∞,-6)C.(-2,0) D.(-2,0)∪(6,+∞)解题心得有关函数不等式的问题,经常转化为两函数图像的上、下关系来解.对点训练4(2024全国2,理12)设函数f(x)的定义域为R,满意f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对随意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m的取值范围是(A.-∞,94 B.-∞,73C.-∞,52 D.-∞,83考点函数图像对称性的应用【例7】已知定义域在R上的函数f(x)满意f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=1x-1.则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实数根时,实数aA.(-∞,-1]∪-12,+∞B.(0,1)C.-1,-12∪-12,+∞D.-2,-12∪-12,0解题心得由f(-x)=-f(x)⇔y=f(x)的图像关于原点对称,f(-x)=-f(x)⇔f(0-x)=-f(0+x),当把0换成a时,则有f(a-x)=-f(a+x)⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称,推广可得f(a+x)=2b-f(a-x)⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称.对点训练5(2024北京海淀一模,7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图像关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内递减,则m的取值范围为()A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]1.作图的方法有:(1)干脆法,利用基本初等函数作图;(2)图像变换法,如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3)描点法,为使图像精确,可通过探讨函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等了解图像的大体形态.2.识图题与用图题的解决方法:(1)识图:对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范围、改变趋势、对称性等方面探讨函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,留意图像与函数解析式中参数的关系.(2)用图:要用函数的思想指导解题,即方程、不等式的问题用函数图像来解.1.确定函数的图像,肯定要从函数的定义域及性质动身.2.识图问题经常结合函数的某一性质或特别点进行解除.3.要留意一个函数的图像自身对称和两个不同的函数图像对称的区分.2.7函数的图像必备学问·预案自诊学问梳理2.(1)y=f(x)-k(2)函数y=-f(-x)的图像考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.C函数y=log2|x|为偶函数,作出x>0时y=log2x的图像,图像关于y轴对称,故选C.3.A∵函数y=4xx2+1为奇函数,∴解除选项C,D.再把x=1代入得y=42=2>0,4.A因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故解除C,D,当x∈0,π2时,xcosx+sinx>0,所以解除B5.D因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,在同始终角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图像.如图,两函数图像的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.关键实力·学案突破例1解(1)y=lgx,(2)y=2x+2的图像是将y=2x的图像向左平移2个单位长度.其图像如图2.(3)y=x2-(4)因为y=1+3x-1,先作出即得y=x+2x对点训练1解(1)当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;当0<x<1时,lgx<0,y=10|lgx|=10-lgx=10lg故y=x图1这是分段函数,每段函数的图像可依据正比例函数或反比例函数图像作出,如图1.(2)当x≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=x-当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)·(x+1)=-x2+x+2=-x-所以y=x图2这是分段函数,每段函数的图像可依据二次函数的图像作出,如图2.(3)y=x+2x+3=1-1x+3图3例2A当x∈(0,π)时,x>sinx,此时f(x)=x-sinxex例3A首先对4个选项进行奇偶性推断,可知f(x)=ex-e-xx为偶函数,不符合题意,解除选项B;其次对其在(0,+∞)上的零点个数进行推断,f(x)=e|x|x在(0,+∞)上无零点,不符合题意,解除选项D;然后进行单调性推断,f(x)=例4By=f(x)y=f(-x)y=f(2-x)y=-f(2-x).故选B.对点训练2(1)D(2)D(3)A(1)由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,解除选项A.又fπ2=1+π2π22=4+2ππ2>(2)当x=0时,y=sin(e0+e0)=sin2>0,故解除选项A;y=sin(e0-e0)=0,故解除选项B;y=tan(e0-e0)=0,故解除选项C;y=cos(e0+e0)=cos2<0,符合题意.故选D.(3)由已知图像可知,函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以函数y=f(x)·g(x)是奇函数,故解除选项B;当x∈-π,-π2时,f(x)·g(x)<0,当x∈-π2,0时,f(x)·g(x)>0,同时y=f(x)·g(x)在x=0处无定义,故选A.例5C要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个不同的实根,即函数y=f(x)的图像与直线y=-x-a的图像有两个交点,从图像可知,必需使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.对点训练3B关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,等价于y=a,y=f(x)的图像有两个不同的交点,画出y=a,y=f(x)的图像,如图,由图可知,当a∈0,12∪[1,2)时,y=a,y=f(x)的图像有两个不同的交点,此时,关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,所以实数a的取值范围是0例6D因为x<0时,f(x)=2-|x+2|,又因为f(x)是R上的奇函数,作出函数f(x)的图像如下图,y=f(x+a)的图像可以看成是y=f(x)的图像向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位长度而得.当a>0时,y=f(x)的图像至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满意f(x+a)>f(x)成立,当a<0时,y=f(x)的图像向右平移至多2个单位长度(不含2个单位长度)才能满意f(x+a)>f(x)成立(对随意的x∈[-1,2]),故a∈(-2,0)∪(6,+∞).故选D.对点训练4B∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),∴f(x)的图像如图所示.∵当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x2-45x+56=即(3x-7)(3x-8)=0,解得x1