2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示3教案新人教A版必修第二册

PAGE6.3.1平面对量基本定理本节课选自《一般中学课程标准数学教科书-必修其次次承认》（人教A版）第六章《平面对量及其应用》，本节课主要学习平面对量基本定理及其应用。本节课是学生在学习平面对量实际背景及基本概念、平面对量的线性运算(向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引入向量坐标表示,将向量的几何运算转化为代数运算的基础,使向量的工具性得到初步的体现,具有承前启后的作用。平面对量基本定理揭示了平面对量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础本节内容用1课时完成。课程目标学科素养A.理解平面对量基本定理及其意义；B.会用基底表示某一向量；C.通过学习平面对量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培育学生发觉问题的实力。1.数学抽象：平面对量基本定理的意义；2.逻辑推理：推导平面对量基本定理；3.数学运算：用基底表示其它向量；1.教学重点：平面对量基本定理及其意义；2.教学难点：平面对量基本定理的探究。多媒体 教学过程教学设计意图核心素养目标复习回顾，温故知新1.共线向量定理【答案】向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。2.向量的加法法则【答案】三角形法则。特点:首尾相接，连首尾。平行四边形法则特点:同一起点,对角线。二、探究新知探究：如图6.3-2（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发觉？【答案】如图，思索1.若向量与共线，还能用表示吗？【答案】当向量与共线时，。当向量与共线时，。思索2.当是零向量时，还能用表示吗？【答案】思索3.设是同一平面内两个不共线的向量，在中，是否唯一？【答案】假设，即，所以，所以唯一。平面对量基本定理：假如是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。我们把叫做表示这一平面内全部向量的一个基底。说明：(1).基底的选择是不唯一的；(2).同一向量在选定基底后，是唯一存在的。(3).同一向量在选择不同基底时，可能相同也可能不同。例1.如图，不共线，且，用表示。解：因为，所以思索4：视察你有什么发觉？【结论】假如三点共线，点O是平面内随意一点，若，则。例2.如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。证明：设所以，所以。于是是直角三角形。通过复习前面所学学问，引入本节新课。建立学问间的联系，提高学生概括、类比推理的实力。通过探究，利用向量加法的平行四边形法则，用两个不共线的向量表示另一个向量，引出平面对量基本定理，提高学生的解决问题、分析问题的实力。通过思索，进一步完善结论，推出平面对量基本定理。提高学生分析问题、概括实力。通过说明，让学生进一步理解平面对量基本定理，提高学生理解问题的实力。通过例题练习平面对量基本定理的运用，提高学生解决问题的实力。通过思索，得到结论，提高学生的视察、概括实力。通过例题巩固平面对量基本定理的运用，提高学生用向量学问解决问题的实力。三、达标检测1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内全部向量基底的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)) D．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))【解析】由于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))不共线，所以是一组基底．【答案】D2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定【解析】∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．【答案】B3．如图，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1) D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)【解析】eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．【答案】A4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)【解析】∵A，B，D三点共线，∴存在实数t，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，即eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up6(→))＋teq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))即λ＝－eq\f(1,3).【答案】C5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.【解】∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴c＝a－2b.通过练习巩固本节所学学问，通过学生解决问题的实力，感悟其中蕴含的数学思想，增加学生的应用意识。四、小结1.平面对量基本定理；2.基底；五、作业习题6.31,11（1）题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括实力,提高学生的数学运算实力和逻辑推理实力。定理部分讲解比较到位,把总结和找关键词的机会给学生,充分发挥了学生的主观能动性,驾驭的效果也比较好。为了理解定理中的关键词适当插入思索巩固,效果比较好,