2024-2025学年高中数学第2章统计2.2.1用样本的频率分布估计总体分布学案新人教A版必修3

PAGE2.2用样本估计总体2.学习目标核心素养1．会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据．(难点)2．能通过频率分布表和频率分布直方图对数据做出总体统计．(重点)3．理解茎叶图的概念，会画茎叶图．(重点)1．通过频率分布直方图和茎叶图的学习，培育数据分析素养．2．借助图表中的数据运算，提升数学运算素养.1．频率分布直方图的画法2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．3．茎叶图(1)茎叶图的制作方法(以两位数据为例)：将全部两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的依次从上向下列出．(2)茎叶图的优缺点在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以保留全部信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来便利．但是当样本数据较多时，茎叶图就显得不太便利，因为每一个数据都要在图中占据一个空间，假如数据许多，枝叶就会很长．思索：通过抽样获得的原始数据有何缺点？[提示]因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法干脆从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息．1．下列关于茎叶图的叙述正确的是()A．将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或改变不大的位作为一个主杆(茎)，将改变大的位的数作为分枝(叶)，列在主杆的后面B．茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较C．茎叶图更不能表示三位数以上的数据D．画图时茎要依据从小到大的依次从下向上列出，共茎的叶可随意同行列出A[由茎叶图的概念可得．]2．绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的()A．组距B．平均值C．频数D．频率D[依据频率的定义，各个小长方形的面积等于相应各组的频率，故选D.]3．200辆汽车通过某一段马路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)内的汽车有()A．30辆 B．40辆C．60辆 D．80辆C[由直方图知，时速在[50,60)内的频率为0.03×10＝0.3，故此段内汽车有200×0.3＝60辆．]4．如图是一个班的语文成果的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________.4%51[由茎叶图知，样本容量为25,90分以上有1人，故优秀率为eq\f(1,25)×100%＝4%，最低分为51分．]频率分布直方图的绘制[探究问题]1．要做频率分布表，须要对原始数据做哪些工作？[提示]分组、频数累计、计算频数和频率．2．画频率分布直方图时，如何确定组数与组距？[提示]若eq\f(极差,组距)为整数，则eq\f(极差,组距)＝组数．若eq\f(极差,组距)不为整数，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(极差,组距)))＋1＝组数．留意：[x]表示不大于x的最大整数．3．同一组数据，假如组距不同，得到的频率分布直方图也会不同吗？[提示]不同．对于同一组数据分析时，要选好组距和组数，不同的组距与组数对结果有肯定的影响．【例1】某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)：4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258依据上面的数据，回答下列问题：(1)这次测验成果的最高分和最低分分别是多少？(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成果的频率分布表，进而画出频率分布直方图；(3)分析频率分布直方图，你能得出什么结论？思路点拨：按画频率分布直方图的步骤进行绘制．[解](1)这次测验成果的最低分是32分，最高分是97分．(2)依据题意，列出样本的频率分布表如下：分组频数频率[30,40)10.02[40,50)60.12[50,60)120.24[60,70)140.28[70,80)90.18[80,90)60.12[90,100]20.04合计501.00频率分布直方图如图所示．(3)从频率分布直方图可以看出，这50名学生的智力测验成果大体上呈两头小、中间大，左右基本对称，说明这50名学生中智力特殊好或特殊差的占极少数，而智力一般的占多数，这是一种最常见的分布．1．(变条件)美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间依次(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图．[解]以4为组距，列表如下：频率分布直方图如下：2．(变结论)本例条件不变，若把所给数据去掉一个最高分和一个最低分后分成5组，试画出这48名学生智力测验成果的频率分布直方图．[解]列出频率分布表如下：频率分布直方图如下：绘制频率分布直方图应留意的问题1组数与样本容量有关，一般地，样本容量越大，所分组数越多.当样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组.2在确定分组区间的端点，即分点时，应对分点进行适当调整，使分点比数据多一位小数，并确保每个数据均能落在一个区间内，而不是处于区间的端点.3一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一样的，纵轴是频率/组距，而不是频率.频率分布直方图的应用【例2】为增加市民节能环保意识，我市面对全市征召义务宣扬志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄状况如下表所示：分组(单位：岁)频数频率[20,25)50.05[25,30)①0.20[30,35)35②[35,40)300.30[40,45]100.10合计1001.00(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？(2)补全如图所示的频率分布直方图，再依据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数．[解](1)设年龄在[25,30)岁的频数为x，年龄在[30,35)岁的频率为y.法一：依据题意可得eq\f(x,100)＝0.20，eq\f(35,100)＝y，解得x＝20，y＝0.35，故①处应填20，②处应填0.35.法二：由题意得5＋x＋35＋30＋10＝100，0.05＋0.20＋y＋0.30＋0.10＝1，解得x＝20，y＝0.35，故①处填20，②处填0.35.(2)由频率分布表知年龄在[25,30)岁的频率是0.20，组距是5.所以eq\f(频率,组距)＝eq\f(0.20,5)＝0.04.补全频率分布直方图如图所示．依据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为500×0.35＝175.频率分布直方图的性质1因为小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.3eq\f(频数,相应的频率)＝样本容量.eq\o([跟进训练])1．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发觉其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x的值；(2)在这些用户中，求用电量落在区间[100,250)内的户数．[解](1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012)×50＝0.22，于是x＝eq\f(0.22,50)＝0.0044.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70.茎叶图的绘制及应用【例3】某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入中学以来，每次数学考试成果状况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.画出两人数学成果的茎叶图，并依据茎叶图对两人的成果进行比较．思路点拨：题中可以用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图．然后由茎叶图的特点分析两人的成果．[解]甲、乙两人数学成果的茎叶图如图所示：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分状况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分状况，也大致对称，中位数是88.乙同学的成果比较稳定，总体状况比甲同学好．绘制茎叶图的留意点1绘制茎叶图时需留意“叶”的位置的数字位数只有一位，而“茎”的位置的数字位数一般不须要统一.2茎叶图可用于确定数据的中位数，推断数据大致集中在哪个茎，是否关于该茎对称，是否分布匀称等.eq\o([跟进训练])2．疫情期间，学校“停课不停学”，组织学生在线学习，甲、乙两位同学进行了5次线上数学测试，成果状况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均分分别为eq\x\to(x)甲、eq\x\to(x)乙，则下列推断正确的是()A.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，甲比乙成果稳定B.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，乙比甲成果稳定C.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，甲比乙成果稳定D.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，乙比甲成果稳定B[eq\x\to(x)甲＝eq\f(77＋76＋88＋90＋94,5)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(75＋88＋86＋88＋93,5)＝86，所以eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，结合茎叶图可得甲组数据比较分散，乙组数据更加集中，所以乙更稳定．]1．总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布．2．总体的分布分两种状况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图．1．推断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用样本的频率分布可以估计总体分布． ()(2)频率分布直方图的纵轴表示频率． ()(3)只有两位的数据能用茎叶图表示． ()[答案](1)√(2)×(3)×2．视察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2700,3000)内的频率为()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4C[由图可得，新生儿体重在[2700,3000)内的频率为0.001×300＝0.3.]3．如图所示的茎叶图表示的是一台自动售货机的销售状况，则茎叶图中9表示的销售额为()A．9 B．49C．29 D．1349C[视察茎叶图，分清晰茎和叶即可．分开茎、叶的竖线左侧仅有一列，