2025版新教材高考数学一轮复习第6章平面向量复数第4节复数学案含解析新人教B版

第4节复数一、教材概念·结论·性质重现1．复数的有关概念内容意义备注复数的定义一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，其中实部为a，虚部为b，i称为虚数单位a＋bi为实数⇔b＝0；a＋bi为虚数⇔b≠0；a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数z＝a＋bi，eq\x\to(z)＝a－bi(a，b∈R)复数a(a∈R)的共轭复数是a复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或肯定值)，记作|z|或|a＋bi||z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(1)复数构成的集合叫做复数集，记为C.(2)in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下：①i4n＝1(n∈N*)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)；②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.2．复数的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))为两邻边的平行四边形的对角线eq\o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数．3．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．4．常用结论(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.二、基本技能·思想·活动体验1．推断下列说法正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A解析：因为z为纯虚数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))所以x＝－1.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋iC解析：因为A(6,5)，B(－2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.4．若复数z满意iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)在复平面内对应的点所在的象限是()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限B解析：由题意，因为z＝eq\f(2－2i,i)＝eq\f(2－2i·－i,i·－i)＝－2－2i，所以eq\x\to(z)＝－2＋2i，则z的共轭复数eq\x\to(z)对应的点在其次象限．5．设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝________.1解析：因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，所以|z|＝1.考点1复数的有关概念——基础性1．(多选题)下面关于复数的四个命题中，真命题是()A．若复数z∈R，则eq\x\to(z)∈RB．若复数z满意z2∈R，则z∈RC．若复数z满意eq\f(1,z)∈R，则z∈RD．若复数z1，z2的满意z1z2∈R，则z1＝eq\x\to(z2)AC解析：设z＝a＋bi，对于A项，若z∈R，则b＝0，此时eq\x\to(z)＝a∈R，所以A正确；对于B项，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，则ab＝0，所以a＝0或b＝0，则z不肯定为实数，所以B错误；对于C项，eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，则b＝0，所以z∈R，所以C正确；对于D项，设z1＝－1＋i，z2＝2＋2i，则z1z2＝－4∈R，但z1≠eq\x\to(z2)，D错误．故选AC.2．(2024·潍坊一模)已知z为复数，i为虚数单位．若复数eq\f(z－i,z＋i)为纯虚数，则|z|＝()A．2 B.eq\r(2)C．1 D.eq\f(\r(2),2)C解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以复数eq\f(z－i,z＋i)＝eq\f(a＋b－1i,a＋b＋1i)＝eq\f([a＋b－1i][a－b＋1i],a2＋b＋12)＝eq\f(a2＋b2－1－2ai,a2＋b＋12).因为复数eq\f(z－i,z＋i)为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝1.3．(2024·青岛二模)若复数z满意(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数eq\x\to(z)的虚部为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)iC解析：由(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|得(eq\r(3)－i)z＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2，所以z＝eq\f(2,\r(3)－i)＝eq\f(2\r(3)＋i,\r(3)－i\r(3)＋i)＝eq\f(2\r(3)＋i,4)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)的虚部为－eq\f(1,2).解决复数概念问题的方法及留意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应当满意的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满意的方程(不等式)组即可．(2)解题时肯定要先看复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点2复数的几何意义——应用性(2024·嘉祥模拟)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i是虚数单位)是由瑞士闻名数学家欧拉发觉的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里特别重要，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式可知，eeq\f(π,3)i表示的复数位于复平面中的()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限A解析：依据题意eix＝cosx＋isinx，故eeq\f(π,3)i＝coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，表示的复数在第一象限．1．本例若把条件改为“已知复数z满意z(1＋2i)＝4＋3i(i为虚数单位)”，求复数eq\x\to(z)在复平面内对应的点所在的象限．解：因为z(1＋2i)＝4＋3i，则z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，故eq\x\to(z)＝2＋i，对应的点在第一象限．2．本例若把条件改为“设复数z满意|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)”，求x，y满意的关系式．解：由题意可得：z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝eq\r(x2＋y－12)＝1，故x2＋(y－1)2＝1.3．本例若把条件改为“△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满意|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|”，z对应的点是否为△ABC的外心？解：是．由复数的几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，故z对应的点是△ABC的外心．与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简洁的复数运算，将复数化为标准的代数形式；其次步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．若复数z＝eq\f(1＋mi,1＋i)在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．解：z＝eq\f(1＋mi,1＋i)＝eq\f(1＋mi1－i,2)＝eq\f(1＋m,2)＋eq\f(m－1,2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)＞0，,\f(m－1,2)＜0，))所以－1<m<1，故m的取值范围为(－1，1)．考点3复数的运算——综合性考向1复数的乘法运算(1)(2024·山东省试验高考预料)已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2D解析：因为z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(a＋2)i，又因为z∈R，所以a＋2＝0，解得a(2)(2024·柳州一模)若复数z满意eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数为单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA解析：因为eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，所以eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.复数乘法运算的要点复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要留意把i2换成－1.考向2复数的除法运算(1)(2024·毕节一诊)已知i为虚数单位，若z(1＋i)2＝2＋i，则z＝()A．eq\f(1,2)－i B．－eq\f(1,2)＋iC．－eq\f(1,2)－i D．eq\f(1,2)＋iA解析：由z(1＋i)2＝2＋i得z＝eq\f(2＋i,1＋i2)＝eq\f(2＋i,2i)＝eq\f(2＋i·－2i,2i·－2i)＝eq\f(2－4i,4)＝eq\f(1,2)－i.(2)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝eq\f(a＋\r(3)i,\r(3)＋i)∈R，则复数z＝________.eq\r(3)解析：因为复数z＝eq\f(a＋\r(3)i,\r(3)＋i)＝eq\f(a＋\r(3)i\r(3)－i,\r(3)＋i\r(3)－i)＝eq\f(\r(3)1＋a＋3－ai,4)＝eq\f(\r(3)1＋a,4)＋eq\f(3－a,4)i∈R，所以eq\f(3－a,4)＝0，即a＝3.则复数z＝eq\f(\r(3)1＋a,4)＝eq\f(4\r(3),4)＝eq\r(3).求解复数除数问题的留意点除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要留意把i的幂写成最简形式．考向3复数运算的综合应用(1)(2024·银川三模)若复数z与其共轭复数eq\x\to(z)满意z－2eq\x\to(z)＝1＋3i，则|z|＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)A解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－2eq\x\to(z)＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝eq\r(2).(2)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则eq\f(z＋2,z2＋z)＝()A．－1 B．1C．－i D．iA解析：因为z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，则z2＋z＝－1－i，所以eq\f(z＋2,z2＋z)＝eq\f(1＋i,－1－i)＝eq\f(1＋i－1＋i,－1－i－1＋i)＝eq\f(－2,2)＝－1.故选A.(