2024-2025学年高中数学单元素养评价第3章数系的扩充与复数的引入含解析苏教版选修2-2

PAGE单元素养评价(二)(第3章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.设复数z满意z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为 ()A.-iB.-1C.1D.i【解析】选B.由z(1+i)=2得z=QUOTE=QUOTE=1-i,所以z的虚部为-1.2.已知实数a,b满意a=(1+i)·(1-bi),其中i是虚数单位,则|a-bi|=()A.QUOTE B.QUOTE C.5 D.3【解析】选A.a=(1+i)(1-bi)=(1+b)+(1-b)i,因为a,b是实数,所以QUOTE解得QUOTE所以QUOTE=QUOTE.3.(2024·全国Ⅲ卷)复数QUOTE·(1+i)=1-i,则z= ()A.1-i B.1+i C.-i D.i【解析】选D.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i,所以z=i.4.复数z1=2+i,若复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z1z2= ()A.5 B.QUOTE C.-5 D.1【解析】选C.由题意知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=-5.5.已知复数z满意:(-1+2i)+QUOTE=5-6i,则|z|= ()A.6 B.8 C.QUOTE D.10【解析】选D.QUOTE=(5-6i)-(-1+2i)=5-6i+1-2i=6-8i,所以z=6+8i,所以|z|=QUOTE=10.6.已知复数z=QUOTE,i为虚数单位,QUOTE是z的共轭复数,则QUOTE·z= ()A.i B.-i C.-1 D.1【解析】选D.z=QUOTE=QUOTE=i,所以QUOTE·z=-i2=1.7.若复数QUOTE(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,又因为复数QUOTE(b∈R)的实部与虚部互为相反数,所以QUOTE=QUOTE,解得b=-QUOTE.8.定义复数的一种运算z1*z2=QUOTE(等式右边为一般运算),若复数z=a+bi,且实数a,b满意a+b=3,则z*QUOTE最小值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.z*QUOTE=QUOTE=QUOTE=|z|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为a+b=3,所以ab≤QUOTE=QUOTE,因此z*QUOTE≥QUOTE=QUOTE.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.设有下面四个命题,其中真命题为 ()A.若复数z满意QUOTE∈R,则z∈RB.若复数z满意z2∈R,则z∈RC.若复数z1,z2满意z1z2∈R,则z1=QUOTED.若复数z∈R,则QUOTE∈R【解析】选AD.令z=a+bi(a,b∈R),则由QUOTE=QUOTE=QUOTE∈R得b=0,所以z∈R,故A正确;当z=i时,因为z2=i2=-1∈R,而z=i∉R知,故B不正确;当z1=z2=i时,满意z1·z2=-1∈R,但z1≠QUOTE,知C不正确;对于D,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故D正确.10.已知a∈R,i是虚数单位,若z=a+QUOTEi,z·QUOTE=4,则a的值可以为 ()A.1 B.-1 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选AB.由z=a+QUOTEi,z·QUOTE=4得a2+3=4,所以a=±1.11.当实数a取下列哪些值时,复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在其次象限 ()A.-5 B.-1 C.-2 【解析】选AC.z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为对应的点在其次象限,所以QUOTE解得a<-1.12.已知复数(1+i)(a+bi)=2+4i(a,b∈R),函数f(x)=2sinQUOTE图象的对称中心是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选BCD.因为(1+i)(a+bi)=2+4i,所以a+bi=QUOTE=QUOTE=3+i,所以a=3,b=1.f(x)=2sinQUOTE,令3x+QUOTE=kπ,k∈Z,所以x=-QUOTE+QUOTE,k∈Z,令k=0,得x=-QUOTE,令k=1,得x=QUOTE,令k=3,得x=QUOTE.故选BCD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是____________.

【解析】z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,所以|z|=QUOTE.答案:QUOTE14.设x,y为实数且QUOTE+QUOTE=QUOTE,则x+y=____________.

【解析】QUOTE+QUOTE=QUOTE可化为QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTEi=QUOTE+QUOTEi,由复数相等的充要条件知QUOTE所以QUOTE所以x+y=4.答案:415.(2024·江苏高考)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是____________.

【解析】因为(a+2i)(1+i)=(a+2)i+a-2,实部为0,即a-2=0,所以a=2.答案:216.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=____________,ab=____________.

【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则QUOTE解得QUOTE则a2+b2=5,ab=2.答案:52四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z1=1-2i,z2=3+4i,i为虚数单位.(1)若复数z1+az2对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.(2)若z=QUOTE,求z的共轭复数.【解析】(1)z1+az2=1-2i+a(3+4i)=1+3a+(4a-2)i,由题意得QUOTE解得a∈QUOTE.(2)z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1-i,所以z的共轭复数QUOTE=-1+i.18.(12分)已知z是复数,z+2i,QUOTE均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE(x-2i)(2+i)=QUOTE(2x+2)+QUOTE(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.所以(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.由于(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,所以QUOTE解得2<a<6.所以实数a的取值范围是(2,6).19.(12分)求实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)零.【解析】令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,z是实数.(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,z是虚数.(3)当QUOTE即k=4时,z是纯虚数.(4)当QUOTE即k=-1时,z是0.20.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解析】设zC=x+yi,x,y∈R,对应的复数为-2+6i-(1+2i)=-3+4i,因为OA∥BC,|OC|=|AB|,所以kOA=kBC,|zC|=|-3+4i|,即QUOTE解得QUOTE或QUOTE因为|OA|≠|BC|,所以x=-3,y=4(舍去),故z=-5.【拓展延长】数形结合思想方法的应用(1)复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现,它们可以相互转化.(2)涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.21.(12分)已知复数z=QUOTE,ω=z+ai(a∈R),当QUOTE≤QUOTE时,求a的取值范围.【解析】因为z=QUOTE=QUOTE=1-i,所以|z|=QUOTE,又QUOTE=QUOTE≤QUOTE,所以|ω|≤2.而ω=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(a∈R),则QUOTE≤2⇒(a-1)2≤3,所以-QUOTE≤a-1≤QUOTE,1-QUOTE≤a≤1+QUOTE.22.(12分)已知实数x,y满意(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i.(1)求实数x,y的值.(2)若复数z=x+(y-2)i,求复数z的共轭复数QUOTE以及复数z的模|z|.【解析】(1)原等式可整理为(3y-2x)+(-10y+x)i=1-9i.依据复数相等的条件可得QUOTE所以QUOTE(2)z=1-i,QUOTE=1+i,|z|=QUOTE.【补偿训练】已知z1=cosθ+isin2θ,z2=QUOTEsinθ+icosθ,当θ为何值时:(1)z1=z2.(2)z1,z2对应点关于x轴对称.(3)|z2|<QUOTE.【解析】(1)因为z1=