2024-2025学年高考数学一轮复习专题3.2函数的单调性与最值知识点讲解含解析

专题3.2函数的单调性与最值【考纲解读与核心素养】1．理解函数的单调性，会推断函数的单调性.2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.3.培育学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.4.高考预料：（1）确定函数的最值（值域）（2）以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、探讨函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查.5.备考重点：（1）推断函数的单调性方法；（2）求函数最值的方法；（3）利用单调性比较函数值大小、解不等式、确定参数取值范围.【学问清单】1.函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的随意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的随意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.2．函数的最值1.最大值：一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：（1）对于随意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.2.最小值：一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：（1）对于随意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.【典例剖析】高频考点一单调性的判定和证明【典例1】（2024·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间上为减函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【典例2】用单调性定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数．【答案】见解析【解析】设x1<x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝(2xeq\o\al(2,1)＋4x1)－(2xeq\o\al(2,2)＋4x2)＝2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．∵x1<x2≤－1，∴x1－x2<0，x1＋x2＋2<0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．【规律方法】驾驭确定函数单调性(区间)的4种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→推断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于推断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行推断．(2)图象法：假如f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．（3）熟识一些常见的基本初等函数的单调性.（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．【变式探究】1.（2024·贵州高三高考模拟（文））关于函数的下列结论，错误的是（）A．图像关于对称B．最小值为C．图像关于点对称D．在上单调递减【答案】C【解析】由题意可得：，绘制函数图像如图所示，视察函数图像可得：图像关于对称，选项A正确；最小值为，选项B正确；图像不关于点对称，选项C错误；在上单调递减，选项D正确；故选：C.2.（2025届河南省南阳市第一中学高三试验班）已知，那么()A.在区间上单调递增B.在上单调递增C.在上单调递增D.在上单调递增【答案】D【解析】，在记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A错误；当时，不具有单调性，故B错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C错误；当时，单调递减，且而在单调递减，依据“同增异减”知，D正确.故选：D高频考点二：求函数的单调区间【典例3】（2025届四川省成都市第七中学）函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】得或，令，则为增函数，在上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为，故选D.【典例4】（2024·山东省高三学业考试）已知函数（Ⅰ）画出函数的大致图象；（Ⅱ）写出函数的最大值和单调递减区间【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)的最大值为2.其单调递减区间为或.【解析】（Ⅰ）函数的大致图象如图所示.（Ⅱ)由函数的图象得出，的最大值为2.其单调递减区间为或.【规律方法】确定函数的单调区间常见方法：1.利用基本初等函数的单调区间2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【变式探究】1．（2024·上海高三专题练习）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数．当=时，函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，作图易知，故在上是单调递增的，选C．2.（2024·山西山西大附中高三月考）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】A【解析】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故选：A．【特殊警示】1.单调区间必需是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．2.区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减改变，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．高频考点三：利用单调性比较大小【典例5】（2024·江苏扬州中学高考模拟）设，，则比较的大小关系_______.【答案】【解析】是单调增函数，所以有，当时，是单调增函数，所以有，所以函数是上的增函数.,所以有，而函数是上的增函数，所以的大小关系为.【方法总结】先推断出函数的单调性，然后推断之间的大小关系，利用单调性比较出之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【变式探究】（2024·天津高三期末（文））已知定义在上的函数满意，且对随意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，得函数关于对称，又对随意（0，3)都有，所以函数在（0，3)时单调递减，因为，所以，又，所以，所以，故选C.高频考点四：利用单调性确定参数取值范围【典例6】（2024·重庆市育才中学高三开学考试（文））若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数是上的增函数，则，解得，即实数的取值范围是，故选：B.【典例7】（2024·全国高三（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，如图所示：画出函数图像，依据图像知函数单调递增，，即，解得或.故选：D.【典例8】（2024·江苏省睢宁县高级中学高三月考）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】作出函数和在上的图像，如下图所示由图可知，当直线在阴影部分之间时，满意在上恒成立，所以当直线经过点时，当直线恰好是轴时，所以所以的取值范围是故答案为：【规律方法】1.利用单调性求参数的范围(或值)的方法（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；（2）需留意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的随意子集上也是单调的．（3）留意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式（eq\f(fx2－fx1,x2－x1)）、x2－x1与f(x2)－f(x1)关系式.2.利用分别参数法；3.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【变式探究】1.（2024·吉林东北师大附中高考模拟（文））已知函数满意对随意，都有成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数对随意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.2.（2024·陕西西安中学高三期中（文））若函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数为R上的减函数，所以,,是减函数，且当时，，故只需满意，解得，故选C.高频考点五：利用函数的单调性解决不等式问题【典例9】【2025届云南省昆明市5月检测】已知函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.故选A.【典例10】（2024·江西省新余一中高三一模（理））已知是定义在上的增函数，若，则的取值范围是______________．【答案】【解析】因为是定义在上的增函数，所以，联立解得，故答案为．【规律方法】1.给定详细函数，确定函数不等式的解，首先要推断函数的单调性；2.求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再依据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．【变式探究】1.（2024·重庆巴蜀中学高三月考（文））已知定义在上的函数满意，对随意的实数，且，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则，，对随意的，且，，得，即，所以在上是增函数，不等式即为，所以，.故选：B2.（2024·广东高考模拟（文））已知，则满意的的取值范围为_______．【答案】【解析】依据题意，f（x）＝x|x|＝，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．高频考点六：函数的单调性和最值（值域）问题【典例11】（2024·江西省新余一中高三一模（理））已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是（）A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值C．有最大值，无最小值D．无最大值，最小值【答案】A【解析】因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A.【典例12】（2024·河北高三期末（理）），使，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，使，则.由于函数是定义域内的单调递增函数，故当时，函数取得最小值，综上可得，实数的取值范围是.本题选择B选项.【总结提升】函数最大值和最小值定义中两个关键词：①“存在”：M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.②“随意”：最大(小)值定义中的“随意”是说对于定义域内的每一个值都必需满意不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．【变式探究】1.（2024·辽宁省高三其他（文））已知函数，若的最小值为，则实数的值不行能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由题意当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为，当时，为函数在上的最小值，不合题意；当时，为函数在上的最小值，，由题意可得，解得；综上，实数的取值范围为.故选：A.2.（2025届北京市西城区高三期末）已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】若，由二次函数的性质，可得，的值域为，若值域为，时，且时，，要使的值域为，则，得，实数的取值范围是，故答案为.【方法拓展】求函数最值（值域）的常见方法：1.单调性法：利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.图象法：对于由基本初等函数图象改变而来的函数，通过视察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3.利用配方法:形如型,用此种方法,留意自变量x的范围.4.利用三角函数的有界性,如.5.利用“分别常数”法:形如y=或(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.6.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.7.利用基本不等式法:8.导数法:利用导数与函数的连续性求图困难函数的极值和最值,然后求出值域9.求分段函数的最值时，应依据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替运用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应依据每一段的解析式分别求解，但要留意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．10.由判别式法来推断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.高频考点七：抽象函数的单调性问题【典例13】（2024·山西省高三其他（理））已知函数的定义域，且对随意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：利用赋值法证明函数是偶函数，再证明函数在上是减函数，最终构造函数，利用在上是减函数，解不等式，即可得到答案；详解：中，取得，取得，取，，得，所以是偶函数，设，则，，所以，所以在上是减函数，设，则在上是减函数，所以且，所以m的取值范围是．故答案为：.【典例14】设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：(1)f(0)＝1；(2)x∈R时，恒有f(x)>0；(3)f(x)在R上是减函数．【答案】见解析【解析】分析：(1)可通过赋值求f(0)；(2)可通过f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)证明f(x)>0；(3)利用定义可证明函数的单调性．解：(1)依据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.(2)由题意知x>0时，0<f(x)<1；当x＝0时，f(0)＝1>0；当x<0时，－x>0，∴0<f(－x)<1.∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，∴f(x)·f(－x)＝1，∴f(x)＝eq\f(1,f－x)>0.故x∈R时，恒有f(x)>0.(3)设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1，故f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)在R上是减函数．【总结提升】1.所谓抽象函数，一般是指没有给出详细解析式的函数，探讨抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采纳