2020-2021学年普通高等学校招生全国统一仿真模拟试题4及答案解析资料VIP

普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=()A.{4,8} B.{0,2,6} C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}2.若z=4+3i,则z|A.1 B.-1 C.45+35I D.453.已知向量BA=12,32,BC=3A.30° B.45° C.60° D.120°4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20℃的月份有5个5.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815 B.18 C.115 6.若tanθ=-13,则cos2θA.-45 B.-15 C.15 7.已知a=243,b=323,c=2A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b8.执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=()A.3 B.4 C.5 D.69.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,A.310 B.1010 C.55 10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+365 B.54+185 C.90 D.8111.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4π B.9π2 C.6π D.12.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BMA.13 B.12 C.23 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设x,y满足约束条件2x-y+1≥0,x-2y14.函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到.

15.已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.

16.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2a(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)求{an}的通项公式.18.(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:∑i=17yi=9.32,∑i=17tiyi参考公式:相关系数r=∑i回归方程y^=a^+b^t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:b^=∑i=1n19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;(Ⅱ)求四面体N-BCM的体积.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=lnx-x+1.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明当x∈(1,+∞)时,1<x-(Ⅲ)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;(Ⅱ)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cosα,y=sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)一、选择题1.C由补集定义知∁AB={0,2,6,10},故选C.2.D由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,则z|z|3.Acos∠ABC=BA·BC|BA|·|BC|4.D由雷达图易知A、C正确.七月份平均最高气温超过20℃,平均最低气温约为13℃;一月份平均最高气温约为6℃,平均最低气温约为2℃,所以七月的平均温差比一月平均温差大,故B正确.由题图知平均最高气温超过20℃的月份为六、七、八月,有3个.故选D.疑难突破本题需认真审题,采用估算的方法来求解.5.C小敏输入密码的所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为1156.D解法一:cos2θ=cos2θ-sin2θ=co=1-tan2θ1+tan解法二:由tanθ=-13,可得sinθ=±1因而cos2θ=1-2sin2θ=457.Aa=243=423,c=2513=523,而函数y=x23在(0,+∞)上单调递方法总结比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决,其中单调性是主线.8.Ba=2,b=4,a=6,s=6,n=1;a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.此时20>16,则输出n的值为4,故选B.9.D解法一:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=a3,∵B=π4,∴AD=BD,∠BAD=∴BD=a3,DC=23a,tan∠DAC=∴tan∠BAC=tanπ4+∠DAC=tanπcos2∠BAC=11+tan2∠BAC=110,sin∠BAC=1-co解法二:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=a3,∵B=π4,∴AD=BD,∴BD=AD=a3,DC=23a,∴AC=a32+23a2=53a,在△ABC中,由正弦定理得10.B由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为35的斜四棱柱.其表面积S=2×32+2×3×35+2×3×6=54+185.故选B.易错警示学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致错.11.B易得AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R=32.此时球的体积V=43πR3=912.A解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=y0a-c,从而直线AM的方程为y=y0a-c(x+a),令x=0,得点E的同理,OE的中点N的纵坐标yN=ay因为2yN=yE,所以2a+c=1a-c,即2a-2c=a+c,所以e=解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,∵PF∥y轴,∴|MF||OE||MF||ON|又∵|MF||OE|=|∴a=3c,故e=ca=1方法总结利用点M的坐标为参变量,通过中点坐标公式建立等式,再利用方程的思想求解.二、填空题13.答案-10解析可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10.14.答案π3解析函数y=sinx-3cosx=2sinx-π3的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移π3个单位方法总结本题首先要将函数化为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的形式再求解,另外要注意图象平移的方向.15.答案4解析圆心(0,0)到直线x-3y+6=0的距离d=61+3=3,|AB|=212-32=23,过C作CE⊥BD于E,因为直线l的倾斜角为30°,所以|CD|=|CE|cos30°解后反思本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解.16.答案y=2x解析当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f'(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f'(1)·(x-1),即y=2x.易错警示注意f'(1)的求解方法,易因忽略x的取值范围而直接求f(x)=e-x-1-x的导数致错.三、解答题17.解析(Ⅰ)由题意得a2=12,a3=14(Ⅱ)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(a因为{an}的各项都为正数,所以an+1a故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=118.解析(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得t=4,∑i=17(ti-t)2∑i=17(ti-t)(yi-y)=∑i=17tiyi-r≈2.890.55×2×2.646≈因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分)(Ⅱ)由y=9.327≈1.331及(Ⅰ)得b^=∑i=1a^=y-b^t=1.331-0.10×所以y关于t的回归方程为y^将对应的t=9代入回归方程得:y^=0.93+0.10×所以预测我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨.(12分)思路分析先根据折线图及参考数据求解相关系数r,再对相关系数r的意义进行阐述,然后根据最小二乘法得出线性回归系数,注意运算的准确性.19.解析(Ⅰ)证明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连结AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=12又AD∥BC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12取BC的中点E,连结AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=AB2-由AM∥BC得M到BC的距离为5,故S△BCM=12×4×5=25所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=13·S△BCM·PA2=20.解析由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠且Aa22,a,Bb22,记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(Ⅰ)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-b所以AR∥FQ.(5分)(Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|x1-12由题设可得2×12|b-a|x1-12=|设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=y而a+b2=y,所以y2当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)易错警示容易漏掉直线AB与x轴垂直的情形而失分.21.解析(Ⅰ)由题设知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-1,令f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.(4分)(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,lnx<x-1.故当x∈(1,+∞)时,lnx<x-1,ln1x<1x-1,即1<(Ⅲ)证明:由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxlnc,令g'(x)=0,解得x0=lnc当x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.(9分)由(Ⅱ)知1<c-1lnc又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.(12分)疑难突破在(Ⅲ)中,首先要解方程g'(x)=0,为了判定g(x)的单调性,必须比较极值点x0与区间(0,1)的关系,注意到g(0)=g(1)=0是求解本题的突破点.22.解析(Ⅰ)连结PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为AP=BP,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(5分)(Ⅱ)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知