概率论与数理统计习题集答案

概率论与数理统计习题集答案【篇一：《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._】出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故?1??5,6,7,??；(2)掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;解：?2??2,3,4,?11,12?；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3??0,1,2,?(4)从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：?4??i,j??i?j?5?;(5)检查两件产品是否合格;解：用0表示合格,1表示不合格，则?5???0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1??；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于t1,最高气温不高于t2);解：用x表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：?6??x,y?1?x?y?t2?；???；(7)在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;解：?7?x0?x?2?；(8)在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.解：?8??x,y?x?0,y?0,x?y?l?；1.2(1)a与b都发生,但c不发生;ab；(2)a发生,且b与c至少有一个发生;a(b?c)；(3)a,b,c中至少有一个发生;a?b?c；??(4)a,b,c中恰有一个发生;a?b?；(5)a,b,c中至少有两个发生;ab?ac?bc；(6)a,b,c中至多有一个发生;??；(7)a;b;c中至多有两个发生;abc(8)a,b,c中恰有两个发生.bc?ac?ab；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3设样本空间??x0?x?2?,事件a=x0.5?x?1?,b?x0.8?x?1.6?具体写出下列各事件：(1)ab;(2)a?b;(3)a?b;(4)a?b（1）ab?x0.8?x?1?；(2)a?b=x0.5?x?0.8?；(3)a?b=x0?x?0.5?0.8?x?2?;(4)a?b=x0?x?0.5?1.6?x?2????????1.6按从小到大次序排列p(a),p(a?b),p(ab),p(a)?p(b),并说明理由.解：由于ab?a,a?(a?b),故p(ab)?p(a)?p(a?b)，而由加法公式，有：p(a?b)?p(a)?p(b)1.7解：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：p(w?e)?p(w)?p(e)?p(we)?0.175(2)由于事件w可以分解为互斥事件we,w，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：p(w)?p(w)?p(we)?0.1(3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：p()?1?p(w?e)?0.825.1.8解：(1)由于ab?a,ab?b，故p(ab)?p(a),p(ab)?p(b),显然当a?b时p(ab)取到最大值。最大值是0.6.(2)由于p(ab)?p(a)?p(b)?p(a?b)。显然当p(a?b)?1时p(ab)取到最小值，最小值是0.4.1.9解：因为p(ab)=0，故p(abc)=0.a,b,c至少有一个发生的概率为：p(a?b?c)?p(a)?p(b)?p(c)?p(ab)?p(bc)?p(ac)?p(abc)?0.71.10解（1）通过作图，可以知道，p(a)?p(a?b)?p(b)?0.3（2）p(ab)?1?p(ab)?1?(p(a)?p(a?b))?0.6(3)由于p(ab)?p()?1?p(a?b)?1?(p(a)?p(b)?p(ab))?1?p(a)?p(b)?p(ab)p(b)?1?p(a)?0.71.11解：用ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有4?4?4?64种，每种放法等可能。(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。38对事件a3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故p(a3)?1.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为1319。p(a2)?1???16816161。18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是(1)1.1311,。129解：从10个数中任取三个数，共有c10?120种取法，亦即基本事件总数为120。(1)若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有2c4?6种，故所求概率为31。201。12(2)若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有c5?10种，故所求概率为1.14解：分别用a1,a2,a3表示事件：(1)取到两只黄球;(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球.则2c822814c46116p(a1)?2??,p(a2)?2??,p(a3)?1?p(a1)?p(a2)?。c126633c1266113321.15解：p((a?)b)?p((a?)?b)p((ab)?(b))?p(b)p(b)p(ab)p(a)?p(a)??0.5p(b)p(b)由于p(b)?0，故p((a?)b)?1.16(1)p(a?b);（2）p(?b);解：（1）p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?1?p(b)p(ab)?1?0.4?0.5?0.8;（2）p(?b)?p()?p(b)?p(b)?1?p(b)p(b)?1?0.4?0.5?0.6;注意：因为p(ab)?0.5，所以p(b)?1?p(ab)?0.5。1.17解：用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2,3），则i表示事件“第i次取到的是次品”（i?1,2,3）。p(a1)?15331421?,p(a1a2)?p(a1)p(a2a1)???20441938(1)事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为：p(3a1a2)?5。18(2)事件“第三次才取到次品”的概率为：p(a1a23)?p(a1)p(a2a1)p(3a1a2)?（3）事件“第三次取到次品”的概率为：1514535???20191822814此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2），【篇二：概率论与数理统计课后习题答案____完整校对版】1．?略.见教材习题参考答案.2.设a，b，c为三个事件，试用a，b，c的运算关系式表示下列事件：?（1）a发生，b，c都不发生；（2）a与b发生，c不发生；?（3）a，b，c都发生；（4）a，b，c至少有一个发生；?（5）a，b，c都不发生；（6）a，b，c不都发生；?（7）a，b，c至多有2个发生；（8）a，b，c至少有2个发生.?【解】（1）abc（2）abc（3）abc（4）a∪b∪c=abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc=abc(5)abc=a?b?c(6)abc(7)abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc=abc=a∪b∪c(8)ab∪bc∪ca=abc∪abc∪abc∪abc3.?略.见教材习题参考答案?4.设a，b为随机事件，且p（a）=0.7,p(a?b)=0.3，求p（ab）.?【解】p（）=1?p（ab）=1?[p(a)?p(a?b)]=1?[0.7?0.3]=0.65.设a，b是两事件，且p（a）=0.6,p(b)=0.7,求：?（1）在什么条件下p（ab）取到最大值？?（2）在什么条件下p（ab）取到最小值？?【解】（1）当ab=a时，p（ab）取到最大值为0.6.6.设a，b，c为三事件，且p（a）=p（b）=1/4，p（c）=1/3且p（ab）=p（bc）=0，?p（ac）=1/12，求a，b，c至少有一事件发生的概率.?【解】p（a∪b∪c）=p(a)+p(b)+p(c)?p(ab)?p(bc)?p(ac)+p(abc)=11113++?=4431247.?从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？5332【解】p=c13c13c13c13/c13528.?对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设a1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故p（a1）=115=（）（亦可用独立性求解，下同）757（2）设a2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故6565p（a2）=5=()77(3)设a3={五个人的生日不都在星期日}p（a3）=1?p(a1)=1?(15)79.?略.见教材习题参考答案.10.一批产品共n件，其中m件正品.从中随机地取出n件（nn）.试求其中恰有m件（m≤m）正品（记为a）的概率.如果：?（1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的；?（3）n件是有放回逐件取出的.?n?mn【解】（1）p（a）=cmmcn?m/cnn(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有pn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从m件正mn?m品中取m件的排列数有pm种，从n?m件次品中取n?m件的排列数为pn?m种，故mn?mcmppp（a）=nmnn?mpn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成n?mcmmcn?mp（a）=cnn可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有n种取法，故所有可能的取法总数为nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，m次取得正品，都有m种取法，共有mm种取法，n?m次取得次品，每次都有n?m种取法，共有（n?m）n?m种取法，故mn?mp(a)?cm/nnnm(n?m)此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为m，则取得n?m??m?p(a)?cmn???1??nn????mn?m11.?略.见教材习题参考答案.12.?50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设a={发生一个部件强度太弱}33p(a)?c110c3/c50?1196013.?一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然a2与a3互斥.1c2184c3p(a2)?3?,c735c344p(a3)?3?c7352235故p(a2?a3)?p(a2)?p(a3)?14.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）(1)p(a1a2)?p(a1)p(a2)?0.7?0.8?0.56(2)p(a1?a2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94(3)p(a1a2?a1a2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.3815.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.11131c4()()5212131?2?【解】（1）p1?c5()()(2)p2?222325/32516.?甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则212p(?aibi3)?(0.3)3(0.4)3?c130.7?(0.3)c30.6?(0.4)?i?0322c3(0.7)2?0.3c3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.3207617．?从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.41111c5c2cc2c2213【解】p?1??4c102118.?某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设a={下雨}，b={下雪}.（1）p(ba)?p(ab)0.1??0.2p(a)0.5（2）p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?0.3?0.5?0.1?0.719.?已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设a={其中一个为女孩}，b={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故p(ba)?p(ab)6/86??p(a)7/8767或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.p(ba)?20.?已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设a={此人是男人}，b={此人是色盲}，则由贝叶斯公式p(a)p(ba)p(ab)p(ab)??p(b)p(a)p(ba)?p(a)p(ba)?0.5?0.0520?0.5?0.05?0.5?0.00252121.?两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|30.如图阴影部分所示.3021p?2?60422.?从（0，1）中随机地取两个数，求：6的概率；51（2）两个数之积小于的概率.4（1）两个数之和小于【解】设两数为x,y，则0x,y1.（1）x+y6.514417p1?1???0.681251(2)xy=.4p2?1???1?11dxdy11???ln24x?4?42123.?设p（a）=0.3,p(b)=0.4,p(ab)=0.5，求p（b｜a∪b）【解】p(ba?b)?p(ab)pa(?)pab()?p(a?b)p(a)?p(b)?p(ab)【篇三：概率论与数理统计练习题参考答案(2)】p>命题教师杨益民一、单选题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。每小题5分，共30分。）一、填空（共30分，每空格5分）1．两封信随机地投入到四个邮筒，则第一个邮筒内只有一封有信的概率是：(b)a.0．25b.0.375c.0.45d.0.982．袋内装有两个5分、三个2分、五个1分的硬币，任意取出5个，求总数不超过1角的概率。(b)a.0．25b.0.5c.0.45d.0.63．有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到黑球的概率。(a)7a.b.0.3c.0.45d.0.55124．已知?～??x??125、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常生产情况下服从正态分布，其方差?c?e??x，x?a(??0)0，其它则常数c的值是(a)a.e?ab.1c.2d.?2?0.1082。现在测定了9炉铁水，其平均碳含量为4.484。，若要求有95%的可靠性，则该厂铁水平均碳含量的置信区间是(a)a.4.4841.96???4.484?1.962.58???4.484?2.58b.4.48422c.4.4841.96???4.484?1.9622d.4.4842.58???4.484?2.586.某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg,方差为9。如果这个商店供应1000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（?＝0.01）,并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需要。（b）a.(10?b.(10c.(10?d.(102.58,102.58)1.96,101.96)2.58,102.58)1.96,101.96)二、名词解析(每小题5分，共10分。)7．贝叶斯定理:如果事件a1,a2,则对任何一个事件b,有：构成一个完备的事件组，并且都具有正概率，p?amb??p?am?p?bai??p?a?p?ba?iii?1n8．随机变量序列?n依概率收敛于a。若存在常数a，使对任何??0,有limp??n?a????1,则称随机变量序列??n?n????依概率收敛于a。三、填空题（每空4分，共16分。）9．若?有概率密度：?x??????x?2则系数k=???x???0其它1210、设随机变量?n??,?2?,则??????n(0,1)。11、设?是n,p的二项分布的随机变量，则d?=np(1?p)。12、设?是参数为?的普哇松分布则：e??＝?四、计算题（每小题8分，共32分。）13．甲、乙、丙3部机器独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8及0.85。求在这段时间内有机器需要工人照管的概率以及机器因无人照管而停工的概率。p(a)=0.9p(b)=0.8p(c)=0.85(2分)p(abc)?1-p(abc)=1-p(a)p(b)p(c)=1-0.612=0.388(2分)pab?cb?ac?pab?pcb?pac?2pabc(2分)=0.1?0.2+0.2?0.15+0.1?0.15-2?0.1?0.2?0.15=0.059(2分)14、制造一种零件可采用两种工艺，第一种工艺有三道工序，每道工序的非品率分别为0.1、0.2、0.3；第二种工艺有两道工序，每道工序的废品率都是0.3;如果用第一种工艺，在合格零件中，一级品率为0.9;而用第二道工艺，在合格零件中一级品率为0.8,试问哪一种工艺能够保证得到一级品的概率较大？解：令事件a表示“第一种工艺的第道工序出现废品”（＝1、2、3），事件b表示“第二道工艺的第道工序出现废品”（＝1、2）。事件a表示“第一种工艺出现合格品”，事件b表示“第二种工艺出现合格品”，事件c“得到一级品”。显然a、a、a互相独立，b、b互相独立。且根据题意有：p(a1)=0.1p(a2)=0.2p(a3)=0.3p(b1)=0.3p(b2)=0.3p(ca)=0.9p(cb)=0.8（2分）于是有：p?a1??pa1a2a3?pa1pa2pa3??????????????????=?1?p?a1???1?p?a2???1?p?a3??=?1?0.1??1?0.2??1?0.3??0.504（3分）p?b??pb1b2?pb1pb2??????=?1?p?b1???1?p?b2??=?1?0.3??1?0.3??0.49（3分）对于第一种工艺来说：p(c)=p(a)p(