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文档简介
北京市第十二中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称,登泰山的路线有四条:红门盘道徒步线路,桃花峪登山线路,天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时,发现三人走的线路均不同,且均没有走天外村汽车登山线路,三人向其他旅友进行如下陈述:甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路;乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路;丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路;事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是()A.甲走桃花峪登山线路 B.乙走红门盘道徒步线路C.丙走桃花峪登山线路 D.甲走天烛峰登山线路2.已知角的终边与单位圆交于点,则等于()A. B. C. D.3.“”是“,”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知二次函数的部分图象如图所示,则函数的零点所在区间为()A. B. C. D.5.已知函数,,若成立,则的最小值是()A. B. C. D.6.的展开式中的系数为()A.-30 B.-40 C.40 D.507.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.8.已知向量,,,若,则()A. B. C. D.9.函数在内有且只有一个零点,则a的值为()A.3 B.-3 C.2 D.-210.已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为()A.1 B. C.2 D.11.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D.12.复数的模为().A. B.1 C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则__________.14.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中随机取出4个,则取出球的编号互不相同的概率为_______________.15.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线交抛物线于两点,,若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为,则的值为_________.16.设变量,,满足约束条件,则目标函数的最小值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,是矩形,的顶点在边上,点,分别是,上的动点(的长度满足需求).设,,,且满足.(1)求;(2)若,,求的最大值.18.(12分)万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,19.(12分)设函数(其中),且函数在处的切线与直线平行.(1)求的值;(2)若函数,求证:恒成立.20.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的短轴长为,直线与椭圆相交于两点,线段的中点为.当与连线的斜率为时,直线的倾斜角为(1)求椭圆的标准方程;(2)若是以为直径的圆上的任意一点,求证:21.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,设,证明:,,使.22.(10分)如图所示,在三棱锥中,,,,点为中点.(1)求证:平面平面;(2)若点为中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选:D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.2、B【解析】
先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单位圆交于点,,故选:B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.3、B【解析】
先求出满足的值,然后根据充分必要条件的定义判断.【详解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件,掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.4、B【解析】由函数f(x)的图象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根据函数的零点存在性定理可知,函数g(x)的零点所在的区间是(0,1),故选B.5、A【解析】分析:设,则,把用表示,然后令,由导数求得的最小值.详解:设,则,,,∴,令,则,,∴是上的增函数,又,∴当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,是极小值也是最小值,,∴的最小值是.故选A.点睛:本题易错选B,利用导数法求函数的最值,解题时学生可能不会将其中求的最小值问题,通过构造新函数,转化为求函数的最小值问题,另外通过二次求导,确定函数的单调区间也很容易出错.6、C【解析】
先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.7、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.8、A【解析】
根据向量坐标运算求得,由平行关系构造方程可求得结果.【详解】,,解得:故选:【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题,涉及到平面向量的坐标运算;关键是明确若两向量平行,则.9、A【解析】
求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.【详解】,若,,在单调递增,且,在不存在零点;若,,在内有且只有一个零点,.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.10、B【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示,,,要使得z能取到最大值,则,当时,x在点B处取得最大值,即,得;当时,z在点C处取得最大值,即,得(舍去).故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.11、B【解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值.【详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,∴三棱锥外接球表面积为,∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.【点睛】(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.12、D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】解:,复数的模为.故选:D.【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由已知利用两角差的正弦函数公式可得,两边平方,由同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式即可计算得解.【详解】,得,在等式两边平方得,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.14、【解析】试题分析:从编号分别为1,1,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中随机取出4个,有种不同的结果,由于是随机取出的,所以每个结果出现的可能性是相等的;设事件为“取出球的编号互不相同”,则事件包含了个基本事件,所以.考点:1.计数原理;1.古典概型.15、1【解析】
设,写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得,由抛物线定义得焦点弦长,求得,再写出的垂直平分线方程,得,从而可得结论.【详解】抛物线的焦点坐标为,直线的方程为,据得.设,则.线段垂直平分线方程为,令,则,所以,所以.故答案为:1.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题,根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键.16、7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y,将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值=F(2,1)=7三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理和余弦定理化简,根据勾股定理逆定理求得.(2)设,由此求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)设,,,由,根据正弦定理和余弦定理得.化简整理得.由勾股定理逆定理得.(2)设,,由(1)的结论知.在中,,由,所以.在中,,由,所以.所以,由,所以当,即时,取得最大值,且最大值为.【点睛】本小题考查正弦定理,余弦定理,勾股定理,解三角形,三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转换思想,应用意识.18、(1)列联表见解析,有把握;(2)分布列见解析,.【解析】
(1)根据频率分布直方图补全列联表,求出,从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关.(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,则抽中男教工:人,抽中女教工:人,从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.【详解】解:(1)由题意得下表:男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100的观测值为所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.(2)由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工,2名女职工,所以的可能取值为0,1,2.且,,,所以的分布列为012【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求导得到,解得答案.(2)变形得到,令函数,求导得到函数单调区间得到,,得到证明.【详解】(1),,解得.(2)得,变形得,令函数,,令解得,当时,时.函数在上单调递增,在上单调递减,,而函数在区间上单调递增,,,即,即,恒成立.【点睛】本题考查了根据切线求参数,证明不等式,意在考查学生的计算能力和转化能力,综合应用能力.20、(1);(2)详见解析.【解析】
(1)由短轴长可知,设,,由设而不求法作差即可求得,将相应值代入即求得,椭圆方程可求;(2)考虑特殊位置,即直线与轴垂直时候,成立,当直线斜率存在时,设出直线方程,与椭圆联立,结合中点坐标公式,弦长公式,得到与的关系,将表示出来,结合基本不等式求最值,证明最后的结果【详解】解:(1)由已知,得由,两式相减,得根据已知条件有,当时,∴,即∴椭圆的标准方程为(2)当直线斜率不存在时,,不等式成立.当直线斜率存在时,设由得∴,∴由化简,得∴令,则当且仅当时取等号∴∵∴当且仅当时取等号综上,【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用,考查了椭圆方程的求法,点差法处理多未知量问题,能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式,要求学生计算能力过关,为较难题21、(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1),分,,,四
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