九年级数学下册第2章二次函数1复习导学案

PAGEPAGE6第二章二次函数（1）一、知识梳理1．二次函数的概念一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．[注意]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．3．二次函数的性质4.二次函数图象的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．[注意]抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．二、题型、技巧归纳类型一二次函数的定义应用例1已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．[解析]本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.解：eq\a\vs4\al(方法技巧)解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．类型二二次函数图象的平移例2如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.[解析]eq\a\vs4\al(方法技巧)在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．类型三二次函数与一次函数的综合应用例3已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论．[解析]利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．解：类型四二次函数的图象和性质的应用例4已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是()A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定[解析]eq\a\vs4\al(方法技巧)解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．类型五求二次函数的表达式例5已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图X2－2所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．[解析]由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围．解：eq\a\vs4\al(方法技巧)求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2＋bx＋c；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)若给出抛物线与x轴的交点，或对称轴和对称轴与x轴的交点距离，通常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．典例精析：例6如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．[解析]把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a和c的值，△ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．解：三、随堂检测1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1<x1<2,3<x2<4时，y1与y2的大小关系正确的是()x…01234…y…41014…A．y1>y2B．y1<y2C．y1≥y2D．y1≤y3．已知二次函数y＝－x2＋x－eq\f(1,5)，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，当自变量x分别取m－1，m＋1时对应的函数值为y1、y2，则y1，y2满足()A．y1>0，y2>0B．y1<0，y2<0C．y1<0，y2>0D．y1>0，y2<04．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为()A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1D．b＝－3，c＝25．坐标平面上，若移动二次函数y＝2(x－175)·(x－176)＋6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为()A．向上移动3单位B．向下移动3单位C．向上移动6单位D．向下移动6单位6．将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是________________________________．7.如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是()A．a＋b＝－1B．a－b＝－1C．b<2aD．ac<08.如图所示，若正方形的棱长不变，CM＝eq\f(1,2)DM，NH＝eq\f(3,4)EH，MN与CH的延长线交于P点，则tan∠NPH的值为________．9.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(－3,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标．【答案】1.D2.B3.B4.B5.D6.y＝(x－5)2＋2或y＝x2－10x＋277.B8.9.解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，设经过点A、B、C的抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝c，,0＝9a－3b＋c，,0＝36a＋6b＋c，))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝1，,c＝6，))∴该抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,3)x2＋x＋6.(2)如图，设点P(x,0)，∵PE∥AB，∴△CPE∽△CBA.∴eq\f(S△CPE,S△CBA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CP,BC)))2.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC×OA＝27，∴eq\f(S△CPE,27)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x,9)))2.∴S△CPE＝eq\f(6－x2,3)＝eq\f(1,3)x2－4x＋12.S△ABP＝eq\f(1,2)BP×OA＝3x＋9.设△APE的面积为S，则S＝S△A