专题09 解直角三角形中有关仰（俯）角问题的4种压轴题型全攻略（解析版）

专题09解直角三角形中有关仰（俯）角问题的4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一仰角俯角概念的辨析】 1【考点二仰角俯角在求距离和高度问题的应用】 2【考点三仰角俯角问题中高度用字母表示的计算】 2【考点四仰角俯角问题和坡度应用的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一仰角俯角概念的辨析】【例题1】无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置B处的俯角是50°，那么小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】根据仰角是向上看的视线与水平线所成的角、俯角是向下看的视线与水平线所成的角以及平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，由题意，∠A=50°，AC∥BD，∴∠B=∠A=50°，故小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是50°，故选：B．【点睛】本题考查仰角、俯角、平行线的性质，熟知仰角、俯角的概念是解答的关键．【变式1】已知A，B两点，若A对B的仰角为α，则B对A的俯角为(

)A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α【答案】A【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到B对A的俯角为α．【详解】解：如图，∵A对B的仰角为α，∴B对A的俯角为α．故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：向下看，视线与水平线的夹角叫俯角；向上看，视线与水平线的夹角叫仰角．【变式2】如图，在点处测得点处的仰角是．（用“或”表示）【答案】∠4【分析】根据俯角的定义：在进行测量时．从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角即可得出结论.【详解】由仰角的定义：在点A处测得B处的仰角是∠4；故答案为∠4．【点睛】此题是解直角三角形的应用--仰角俯角，主要考查仰角和俯角的定义，理解仰角和俯角的定义是解本题的关键，在进行测量时．从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【变式3】小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于度．【答案】34【分析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点E处的小明看点D处的小杰的俯角的度数，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，，∵，∴∴，即点E处的小明看点D处的小杰的俯角等于34度，故答案为：34．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点二仰角俯角在求距离和高度问题的应用】【例题2】跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点的俯角为60°，那么此时小李离着落点的距离是（

）A．200米 B．400米 C．米 D．米【答案】D【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．【详解】根据题意，此时小李离着落点A的距离是，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．【变式1】已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A． B．5sinα C． D．5cosα【答案】A【详解】分析：已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用三角函数定义解答．详解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，则AB==．

故选A．点睛：本题考查了的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．【变式2】小杰在一个高为的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为，旗杆与地面接触点的俯角为，那么该旗杆的高度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A作于E，则四边形是矩形，．∵在中，，，∴，∵在中，，∴，∴．即旗杆的高度为．故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．【变式3】如图，从地面B处测得热气球A的仰角为45°，从地面C处测得热气球A的仰角为30°，若BC为240米则热气球A的高度为()A．120米 B．120(﹣1)米 C．240米 D．120(+1)米【答案】B【分析】先作辅助线构建直角三角形，再根据三角函数值进行计算求解.【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADC=90°，∵∠B=45°，∠ACD=30°，∴∠CAD=60°，∴∠DAB=∠B，

AD=BD

BC=240m在Rt△ACD中，=,DC=，=,BD=BD+DC=240AD=120(﹣1)故选B.【点睛】此题重点考查学生对三角函数值的实际应用能力，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键.【考点三仰角俯角问题中高度用字母表示的计算】【例题3】飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为千米．（用的式子表示）【答案】【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边长即可．【详解】如图所示，飞机在点处，为水平线，则，解得故答案为：【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是知道俯角是哪个角，然后利用正弦值求解．【变式1】如图，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为，在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为，如果乙楼的高米，那么甲楼的高米（用含，的代数式表示）．【答案】【分析】作交的延长线于，根据正切的概念分别求出，计算即可【详解】作交的延长线于，在中，，则，在中，，，∴，故答案为．【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键【变式2】在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为θ，那么楼底到这十字路口的水平距离是米．【答案】100cotθ【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可．【详解】解：因为俯角是，则在直角△ABC中，，∵，∴．故答案是：100cotθ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．【变式3】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为．【答案】【分析】延长交于点，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．【详解】解：延长交于点，则，在中，，∴，∴，∴旗杆的高度可表示为：，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【考点四仰角俯角问题和坡度应用的拓展提高】【例题4】如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（

）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.8米【答案】B【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH=DE=12，EF=DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．【详解】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH=DE=12米，EF=DH，∵斜坡CB的坡度为t=12：5，∴设BH=12x，CH=5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2=522，解得，x=4，则BH=12x=48米，CH=5x=20米，则EF=DH=DC+CH=60+20=80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF=，则AF=EF•tan∠AEF≈80×0.81=64.8（米），∴AB=AF+HF-BH=64.8+12-48=28.8（米），故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题,掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式1】碧津公园坐落在江北机场旁，它是一个风景秀丽、优美如画的公园．园中的碧津塔是一座八角塔，每个角挂有一个风铃，被评为重庆市公园最美景点．重庆一中某数学兴趣小组，想测量碧津塔的高度，他们在点C处测得碧津塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得碧津塔顶部A的仰角为37°，碧津塔AB所在平台高度EF为0.8米．A、B、C、D、E、F在同一平面内，则碧津塔AB的高约为（）米（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24【答案】B【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，再由i＝1：2.4解得DN＝2，CN＝4.8，继而在Rt△ADG中，分别计算AG、DG与AB的数量关系，结合正切定义，解得AB的长，进一步解得EF的长即可解题．【详解】解：根据题意可知：∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2，∴DN＝2，CN＝4.8，设DG⊥AB，垂足为G，如图，∴在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣DN＝AB﹣2，又DG＝BN＝CN＋BC＝4.8＋AB，∴tan∠ADG＝，∴×（4.8＋AB）＝AB﹣2，解得AB＝22.4，∵AB所在平台高度EF为0.8米，∴22.4﹣0.8＝21.6（米）．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．【变式2】2023年3月贵州德余高速乌江特大桥主体贯通．如图，桥墩边有一斜坡，坡角为，河岸平行于水平线长为，点C到的距离为，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为，点A，B，C，D，M均在同一平面内．（参考数据：，，，，）

(1)求斜坡的长；(2)求桥墩的高（结果精确到）．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点C作于点E，在中，由正弦函数关系即可求得结果；（2）延长交于点F，则四边形是矩形，在中由余弦函数关系可求得的长，从而求得的长；在中由正切函数关系可求得的长，最后由线段和的关系即可求得结果．【详解】（1）解：过点C作于点E，则，

在中，，∴．所以，斜坡的长约为．（2）延长交于点F，则四边形是矩形，

在中，，∴．∴，．∵，∴．在中，，∴．∴．所以，桥墩的高约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及坡角、仰角，根据题意构造直角三角形是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（

）米A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【详解】解：如图所示，BD=20米，DE=1.5米在Rt△ABD中，∠ADB=α∴又四边形BCED是矩形，∴BC=DE=1.5米∴AC=AB+BC=所以，旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．2．如图，已知、分别表示两幢相距米的大楼，小明在大楼底部点处观察，当仰角增大到度时，恰好能通过大楼的玻璃幕墙看到大楼的顶部点的像，那么大楼的高度为（

）A． B．米 C． D．米【答案】B【分析】根据仰角为,BD=30米,在Rt中,可求得ED的长度,根据题意恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像,可得AB=2DE.【详解】在Rt中，EBD=,BD=30米,解得:(米),当仰角增大到30度时,恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像,(米).所以B选项是正确的.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数的知识解直角三角形.3．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（

）A．a米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】过作，垂足为，在和中分别求得的值，然后由即可获得答案．【详解】解：过作，垂足为，如下图，由题意有：，，，在中，，∴，在中，，∴，∴米．故选：D．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，正确理解俯仰角是解题关键．4．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（

）（结果精确到，参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．【详解】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，∴BC≈67cm，∴CEBC−BE＝67−40＝27cm．故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．二.填空题5．如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为（用含的式子表示）【答案】【分析】根据题意作出图形，然后找出相应的仰角和俯角，利用平行线的性质即可求解．【详解】解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即，∵，∴，∴在B点处观察A点的俯角为，故答案为：．【点睛】题目主要考查仰角和俯角及平行线的性质，理解题意，作出相应的图形是解题关键．6．如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，那么从目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为．【答案】37°【分析】由俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°．【详解】如图，∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°，故答案为：37°．【点睛】考查了解直角三角形，解题关键是理解向下看，视线与水平线的夹角叫俯角；向上看，视线与水平线的夹角叫仰角．7．如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为度．【答案】126°或54°【分析】根据仰角或俯角是36°分类讨论，画出图形即可分别求出结论．【详解】解：当仰角是36°时，如下图所示由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为36°＋90°=126°；当俯角是36°时，如下图所示由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为90°－36°=54°；综上：该视线与铅垂线之间的夹角为126°或54°故答案为：126°或54°．【点睛】此题考查的是仰角和俯角的定义，根据仰角或俯角是36°分类讨论是解题关键．8．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为m（结果保留根号）．【答案】/【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．【详解】解：过点D作交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由题意可知：，，在中，，∴，∴，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．9．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【答案】3.2【分析】根据三角函数定义可知，可得的长，再根据，即可解答．【详解】解：由题意可得：，解得故答案为3.2【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是利用三角函数的定义求得的长．10．如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔项部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是m（，，结果保留一位小数）．【答案】56.8【分析】在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠45°=BD，根据DH=CD-CH=BD-BD，可得BD-BD=24，即可求出BD，则问题得解．【详解】如图，根据题意可知四边形ABDH是矩形，AB=DH=24m，AH=BD，∠AHC=∠BDC=90°，在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠CAH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠CBD=BD×tan∠45°=BD，∵DH=CD-CH=BD-BD，∴BD-BD=24，∴BD=，∴CD=（m），故答案为：56.8．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的含义．11．某班学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），则电池板离地面的高度的长为米．（结果精确到1米，参考数据：，，）【答案】【分析】延长交于点F，设米，先说明四边形，四边形，四边形均为矩形，得出米，，，根据，得出（米），（米）利用锐角三角函数得出，即求解即可．【详解】解：延长交于点F，如图，设米，∵，，，，∴，∴四边形，四边形，四边形均为矩形，∴米，，，∵，，∴（米），（米），在中，，即，解得（米），

∴，即电池板离地面的高度约为米，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质，掌握解直角三角形的应用方法，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质是解题关键．12．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为米．【答案】1200【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．【详解】解：作交于点，如图所示，，，，，，故答案为：1200．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．13．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120m，这栋楼的高度BC是m（≈1.732，结果取整数）．【答案】277【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，在Rt△ACD中，∴故答案为：277【点睛】本题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．14．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为．(点都在同一平面上，结果保留根号)

【答案】米【分析】作于点E，作于点F，由得米，由AB=57知米，由四边形BCEF是矩形知米，由知米，从而得到米．【详解】过点D作于点E，作于点F，

由题可得：AB=57，DE=30，，，在Rt△ADE中，，∴，∴，∵AB=50，∴，∵四边形BCEF是矩形，∴，在Rt△DCF中，，∴，∴，∴米．故答案为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键．15．七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为米．（结果保留根号）【答案】【分析】先根据题意画出图形，然后设，通过特殊角的三角函数值表示出AD，然后利用，解出x的值即可得到答案．【详解】如图，A点为塔顶，B点为塔底，C点为无人机的位置，过点C作交AB于点D，则BD的长度即为所求．设，，．在中，，，解得，∴，即此时无人机距离地面的高度为米，故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米(结果保留根号)．【答案】(50﹣10)【分析】如图，作EG⊥AB于G，作FH⊥AB与H.在Rt△AEG中求出EG的长，再在Rt△AFH中求出AH的长，进而可求出答案.【详解】如图，作EG⊥AB于G，作FH⊥AB与H.∵AB=50米，CE=20米，∴AG=50-20=30米，∵1号楼顶部E的俯角为60°，∴∠EAG=30°，∵tan∠EAG=,∴EG=米,∵B是CD的中点，∴BD=BC=EG米，∴FG=BD米，∵2号楼顶部F的俯角为45°，∴∠HAF=45°，∴AH=HF米,DF=BH=AB-AH=(50﹣10)米.故答案为(50﹣10)米【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．17．如图，为了测量铁塔AB高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=米．【答案】20【分析】在Rt△ABC中,直接利用tan∠ACB=tan30°==即可.【详解】在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan30°==,BC=60，解得AB=20.故答案为20.【点睛】本题考查的知识点是解三角形的实际应用，解题的关键是熟练的掌握解三角形的实际应用.18．2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°．已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为米（精确到1米）．（参