专题07 锐角三角比的概念及其几何应用4种压轴题型全攻略（解析版）

专题07锐角三角比的概念及其几何应用4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一锐角三角比的概念的辨析】 1【考点二锐角三角比的互相转换】 2【考点三锐角三角比在网格图形中的有关计算】 2【考点四锐角三角比在几何计算中的应用】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一锐角三角比的概念的辨析】【例题1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（）A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanA＝【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，由锐角三角函数的定义可得，A.sinA＝，故选项错误，不符合题意；B.cosB＝，故选项正确，符合题意；C.tanB＝，故选项错误，不符合题意；D.tanA＝，故选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．【变式1】在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．【详解】解：由题意可得：，，，∴，，，，故A选项成立，B，C，D不成立，故选A．【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键．【变式2】如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（）A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．【详解】三角形各边长度都缩小为原来的倍，∴得到的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的正弦、余弦值不变，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正弦与余弦的定义，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【变式3】在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵在中，，，∴，故A正确，符合题意，，故B错误，不符合题意，，故C错误，不符合题意，，故D错误，不符合题意，故选A．【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．【考点二锐角三角比的互相转换】【例题2】已知在中，，，则的值等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理求出，然后根据正切的定义代入求值即可．【详解】解：∵，∴可设，则，∴，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握正弦定义：对边与斜边的比值；正切的定义：对边与邻边的比值；是解本题的关键．【变式1】在中，、、对边分别为、、，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数定义得出，，即可得出答案.【详解】解：由题知，，∴，∴，故选C.【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三家函数的定义是解决本题的关键.【变式2】如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项．【详解】解：，，故A选项正确，不符合题意；CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，，故B选项不正确，符合题意；，即，故C选项正确，不符合题意；，即,又故D选项正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键．【变式3】在中，a，b，c分别是的对边，，下列各式不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】解：在中，，a，b，c分别是的对边，由得，，故A成立，D不成立，由得，，故B成立，由得，，故C成立，故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．【考点三锐角三角比在网格图形中的有关计算】【例题3】由边长为1的小正方形构成的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则．【答案】【分析】先根据勾股定理求出，，，可知，再过点B作，然后根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】根据勾股定理，得，，，∴．过点B作，交于点D，∴．在中，，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．【变式1】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则．

【答案】【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．【详解】解：如图，取的中点，连接，

，，又点是的中点，，，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．【变式2】如图，在的正方形网格中，的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则．

【答案】/0.6【分析】如图所示，过点A作于D，根据题意和网格的特点得到，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义进行求解即可．【详解】解：如图所示，过点A作于D，∵顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，∴，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式3】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则；．【答案】4/【分析】由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过作于，用面积法可求的长，在中可得；【详解】解：过作于，如图：

由图可得：，，，，，，故答案为：4，；【点睛】本题考查勾股定理，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握勾股定理，三角形面积，求锐角三角函数．【考点四锐角三角比在几何计算中的应用】【例题4】如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为．【答案】/【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解．【详解】∵分别是边上的高，∴，∵，∴，∴∴∵，∴，∴与的周长比，∵，∴与的周长比，故答案为：．【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．【变式1】如图，在菱形中，点是的中点，连接，交于点．，，则的长是．【答案】【分析】连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和已知条件，得出△BCE为直角三角形，求出，得出为等边三角形，求出AC的长，再根据勾股定理求出BO的长，即可求出BD．【详解】解：连接AC交BD于点O，如图所示：四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，，∵点E为AB的中点，∴，∵，∴，∴△BCE为直角三角形，，∴，为等边三角形，，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质和判定，勾股定理及逆定理，根据题意判断出△BCE为直角三角形，求出，是解题的关键．【变式2】如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为．【答案】【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE．【详解】解：∵，∴，在中，，，∴，则．故答案为：．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为．

【答案】【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．【详解】解：∵点，点，∴，，∵，∴，过点作于点，

∵，是的角平分线，∴∵∴设，则，∴解得：或（舍去）∴故答案为：．【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（

）．A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求得AB的长度，然后利用锐角三角函数的定义解答．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝，∴cos∠ABC＝，故选：B．【点睛】考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．2．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．【详解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故选：D．【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．3．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（）A．4.5cm2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm2【答案】B【分析】作底边上的高运用等腰三角形的性质及三角函数定义分别求三角形的高和底边长，代入公式计算求解．【详解】解：如图，作底边上的高AD，∵∠B＝30°，AB＝6cm，AD为高，∴AD＝ABsinB＝ABsin30°＝3，BD＝ABcosB＝6×＝3，∴BC＝2BD＝6，∴S△ABC＝，故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的面积的求法和三角函数的应用，解题的关键是利用等腰三角形中底边上的高也是底边上的中线求解．二.填空题4.已知：α是锐角，tanα＝，则sinα＝，cosα＝．【答案】；【分析】作出直角三角形,根据tanα＝设出边长,再根据正弦值和余弦值的定义即可解题.【详解】解：如下图,设∠A=α∵tanα＝，∴BC=7k,AC=24k,∴直角三角形的斜边AB=25k,（勾股定理）∴sinα＝，cosα＝．【点睛】本题考查了三角函数的定义,属于简单题,熟悉三角函数值的定义是解题关键.5．当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是．【答案】，，，【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解．【详解】解：如图所示，

∵是斜边上的高，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：，，，．【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键．6.如图，中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，的平分线交于点，若，则的面积为．【答案】【分析】过点C作CM⊥EF，过点A作AN⊥DC，可得，可得，解得：BE=9，BH=，由sin∠AFN=sin∠CFM，得AN=，进而即可求解．【详解】解：∵在中，AD∥BC，的平分线与的延长线交于点，∴∠DAE=∠BAE=∠AEB，∴BA=BE，∵的平分线交于点，∴BH⊥AE，过点C作CM⊥EF，过点A作AN⊥DC，∴CM∥BH，AH=EH=2+1=3，∴，∴，∵AB∥CD，∴∠CFE=∠BAE，∴∠CFE=∠AEB，∴CE=CF=3，∴ME=EF=×2=1，∴，∴，解得：BE=9，BH=，∴CD=AB=BE=9，∵∠AFN=∠CFM，∴sin∠AFN=sin∠CFM，即：,∴，解得：AN=，∴的面积=CD×AN=9×=．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形，是解题的关键．7．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC=．【答案】【分析】过A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可.【详解】解：过A作AD垂直于BC于D，则AD=2，AC=，∴sinC=.故答案为.【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键.8.在平面直角坐标系中，点，则m的值为．【答案】，．【分析】如图，过点B作，交于点D，则过点B作轴，过点D作，过点C作，分别交于点E，F；分点C在x轴上方、下方种情况：（1）当点C在x轴下方时：可求证，从而，得，，所以点D的横坐标为，纵坐标为；待定系数确定直线的解析式为，将点D的坐标代入，求得m；（2）当点C在x轴上方时，同理求解．【详解】如图，过点B作，交于点D，则过点B作轴，过点D作，过点C作，分别交于点E，F；当点C在x轴下方时，

∵∴而∴又∴∴而，∴，∴点D的横坐标为，纵坐标为设直线的解析式为，将点代入得，，解得∴直线解析式为将点D的坐标代入，得解得，，或（舍去）所以当点C在x轴上方时，

同理可得∴而，∴，∴点D的横坐标为，纵坐标为代入直线的解析式，得解得，或，（舍去）所以综上，，或故答案为：，．【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，锐角三角函数，待定系数法确定函数解析式；结合已知，添设辅助线构造相似三角形，从而求出相关线段是解题的关键．9．如图，菱形的边，，E是的中点，F是边上一点，将四边形沿直线折叠，A的对应点为，当的长度最小时，的长是．【答案】【分析】由E是的中点可得，再根据题意可得点在以以E圆心、以半径的弧上，则当C，E，在一条直线上时，有最小值；过过点，设，由勾股定理列方程可得先求得，进而求得；再运用勾股定理可得，然后利用折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质可得即可解答．【详解】解：∵E是的中点，∴，∵将四边形沿直线折叠，A的对应点为，∴点在以以E圆心、以半径的弧上，∴当C，E，在一条直线上时，有最小值，此时如图：过点，设，∴，即，解得：，∴，∴∴∵菱形∴∴∵∴∴．故答案为．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理的应用、翻折的性质、等腰三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，确定出取得最小值的条件是解题的关键．10．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为．【答案】【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可．【详解】解：，，，设，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度．11．如图，把一个矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿翻折，点A落在点位置，若，，直线与y轴交于点F，则点F的坐标为．【答案】【分析】根据题意首先求出的长度，再证，由勾股定理可求出答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，∵由翻折得到，，，又，，

，，，解得：，点F的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理，三角形全等，解题的关键是求出．12．（原创）如图，在四边形中，，连接，，，，则的面积为．【答案】【分析】过作交延长线于点，过作，由AAS可证，由此，在中，，由及勾股定理可求得，即，继而根据三角形面积公式求解即可．【详解】过作交延长线于点，过作，则，，，∴，在和中，，∴，∴，在中，，设AE=x，则CE=2x，，由勾股定理，得，即，解得，∴，∴的面积故答案为：．【点睛】此题考查了三角形的面积计算，全等三角形的判定与性质，勾股定理及正切的定义．作辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．13．如图，在边长1为的正方形网格中，都在网格线上，其中在格点上，与相交于点，则．

【答案】/【分析】延长至点，连接，证明为直角三角形，求出的值，再结合即可获得答案．【详解】解：延长至点，连接，如下图，

由题意可知，，，，∴，∴为直角三角形，∴，∵，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，结合题意正确添加辅助线是解题关键．14．如图，在中，，、分别是边、上的中线，且，垂足为点，那么．

【答案】【分析】连接，作于，与，设，由三角形中位线定理可得，，由矩形的判定与性质可得，，通过证明可得，通过证明可得，从而得到，，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求得，由勾股定理可得，最后根据正弦的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接，作于，与，设，，、分别是边、的中点，为的中位线，，，于，与，，，四边形是矩形，，，，、分别是边、的中点，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，即，，，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、正弦的定义、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．15．如图，将三角板的直角顶点放置在直线上的点处，使斜边，则的正弦值为．

【答案】【分析】根据题意，由三角板及平行线的性质得到，从而根据特殊角的三角函数值求解即可得到答案．【详解】解：如图所示，∵，∴，，故答案为：．【点睛】本题考查与三角板有关的角的三角函数值，涉及平行线的性质，熟记三角板内角度数及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．16．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的项点均是格点，则的值是．

【答案】/【分析】延长到D，连接，由网格可得，即得，可求出答案．【详解】解：延长到，连接，如图：

∵，，，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．17．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值为