矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题九种模型全攻略（原卷版）

专题06矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题九种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用矩形的性质求角度】 1【考点二利用矩形的性质求线段长】 3【考点三矩形的性质与判定综合问题】 6【考点四利用菱形的性质求角度】 10【考点五利用菱形的性质求线段长】 11【考点六菱形的性质与判定综合问题】 14【考点七利用正方形的性质求角度】 18【考点八利用正方形的性质求线段长】 20【考点九正方形的性质与判定综合问题】 23【过关检测】 31【典型例题】【考点一利用矩形的性质求角度】例题：（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在矩形中，交于点O，于点E，∠AOD=125°，则的度数为【变式训练】1．（2023上·山西运城·九年级统考期中）如图，在矩形中，平分，则的度数为．

2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则．【考点二利用矩形的性质求线段长】例题：（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，对角线相交于点，过点作交于点，已知，的面积为5，则的长为．【变式训练】1．（2024上·江西鹰潭·九年级统考期末）如图，矩形中，对角线，相交于O，E，F分别是，的中点．若，求的长．2．（2023上·陕西榆林·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，边上有一点E，连接，，．

(1)求的长；(2)求的度数．【考点三矩形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，且，，，相交于点O，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的对角线相交于点，且．(1)求证：四边形是矩形；(2)点在上，连接，若，求的面积．2．（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，求的长．【考点四利用菱形的性质求角度】例题：（2023上·福建三明·九年级统考期末）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为．【变式训练】1．（2024上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则．2．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在菱形中，对角线相交于点O，点P是上一点，连接，若，，则°．【考点五利用菱形的性质求线段长】例题：（2024上·四川成都·九年级四川省成都市玉林中学校考期末）如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长度为．【变式训练】1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如下图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点．若菱形的周长为20，则的长为．2．（2023上·江西吉安·九年级校考阶段练习）如图，在边长为的菱形中，，连接，P为图中任意线段上一点，若，则的长为．【考点六菱形的性质与判定综合问题】例题：（2024上·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，已知在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．【变式训练】1．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考开学考试）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长；(3)在（2）的条件下，已知点M是线段上一点，且，则的长为_______．2．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，四边形为矩形，为中点，过点作的垂线分别交、于点、，连接、．

(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．【考点七利用正方形的性质求角度】例题：（2024上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为．【变式训练】1．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是．2．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，在正方形中，连接为边上一点，连接交于点，连接，若，则的度数为．【考点八利用正方形的性质求线段长】例题：（2023下·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，正方形的两条对角线相交于点O，，则．【变式训练】1．（2024上·山西太原·九年级统考期末）如图，在正方形中，点是边的中点，的垂直平分线分别交，边于点，，垂足为点．若，则的长为．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在正方形中，边长为6，点为的中点，点在正方形的一边上，且，连接，则的长为．【考点九正方形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践【问题情境】如图1，正方形中，点E为其内一点，以点E为直角顶点，以为斜边构造直角三角形，使得，将绕点B按顺时针方向旋转，得到△（点A的对应点为C），延长交于点F，连接．【解决问题】请根据图1完成下列问题：（1）若，则∠=度；（2）试判断四边形的形状，并给予证明；【拓展探究】（3）如图2，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由．【变式训练】1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图1，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转得，延长BP交于点F，连接．(1)判断四边形的的形状，并说明理由；(2)若，求的长度；(3)在（2）的条件下，求．2．（2023上·山东·九年级专题练习）在正方形中，点为射线上一点，连接，过点作交射线于点，以为邻边作矩形，连接．(1)如图，当点在线段上时．求证：矩形是正方形；求证：；(2)如图，当点在线段的延长线上时，正方形的边长为，，请直接写出的长．【过关检测】一、单选题1．（2024上·广东清远·九年级统考期末）菱形的面积为，一条对角线长是，那么菱形的另一条对角线长为（

）A． B． C． D．2．（2024上·广东佛山·九年级统考期末）如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（

）．A． B． C． D．4．（2024上·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为，则的长为()A．5 B．6 C．7 D．5．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），且，分别连接，则下列结论错误的是（）A．四边形是平行四边形B．若四边形是菱形，那么四边形也是菱形C．若四边形是正方形，那么四边形是菱形D．若四边形是矩形，那么四边形也是矩形二、填空题6．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）如图，平行四边形的对角线与交于点O，请你添加一个条件使它是矩形，你添加的条件是．7．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形的两条对角线，相交于点，点在上，且．则的度数为．8．（2024上·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则的度数是．

9．（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）己知在中，，则．如图，在菱形中，，则菱形较长对角线的长为．

10．（2023上·山东临沂·九年级沂水县实验中学校考期末）如图，矩形纸片．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接当是直角三角形时，那么的长为．三、解答题11．（2023上·新疆喀什·九年级校联考期中）如图，在菱形中，对角线，交延长线于E，交延长线于点F．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求线段的长．12．（2024上·全国·九年级专题练习）如图，中，点是边上一个动点，过作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长；(3)当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．13．（2023上·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）如图在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，过点D作于点G；(1)求证：四边形是平行四边形(2)若．①当______时，四边形是矩形②若四边形是菱形，则______14．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．(1)求证：；(2)当满足什么条件时四边形为矩形?证明你的结论；(3)若为直角三角形，且时，判断四边形的形状，并说明理由．15．（2023上·山东·九年级