解题技巧：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题压轴题五种模型全攻略（解析版）

专题10解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用补形法或分割法求图形的面积】 1【考点二与图形面积相关的点的存在性问题】 6【考点三平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 12【考点四平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 18【考点五平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 21【典型例题】【考点一利用补形法或分割法求图形的面积】例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）已知，，．(1)请在平面直角坐标系中画出．(2)请判断的形状（需说明理由），并求的面积．【答案】(1)见解析(2)为直角三角形，的面积为2【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）在平面直角坐标系中找出点的位置，然后顺次连接即可；（2）分别计算的值，然后利用勾股定理的逆定理判断的形状即可；利用割补法求三角形面积即可．【详解】（1）解：依次连接，，，即为所求；（2）解：∵，，，∴，，，∴，∴为直角三角形，且为直角边，为斜边；∴．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）（1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出，，三点的坐标：（______），（______），（______）．（3）直接写出的面积．【答案】（1）作图见解析．（2），，．（3）【分析】本题考查了轴对称图形的画法及直角坐标系的认识，掌握关于y轴对称点坐标的特点，即：横坐标互为相反数，纵坐标不变，正确作出对称的图形是解答本题的关键．（1）根据轴对称的性质，分别求出点,,关于轴对称的点，，，顺次连接，得到．（2）根据关于y轴对称点坐标的特点，即：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求出，，，得到答案．（3）利用割补法，根据图形关系，求出的面积．【详解】（1）如图所示，即为所求．（2）根据题意得：点,,，由关于y轴对称点坐标的特点，即：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得：关于轴对称的点，，，故答案为：，，．（3）如图所示，，，，．2．（2022上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在小方格纸（每个方格单位长度为1）上建立直角坐标系．(1)点A坐标，点C坐标；(2)点B到x轴的距离是；(3)若点与点A关于y轴对称，则点的坐标是；(4)连接点A、B、C得到，则的面积是．【答案】(1),(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴的对称点以及三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据点的坐标的定义可得答案；（2）根据点到x的距离等于纵坐标的绝对值可得答案；（3）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；（4）利用割补法即可求得三角形的面积．【详解】（1）解：由题意可知，点A坐标为，点C坐标为，故答案为：,；（2）解：由题意可知，B到x轴的距离是，故答案为：；（3）解：若点与点A关于y轴对称，则点的坐标是．故答案为：；（4）解：连接点A、B、C得到，则的面积是：，故答案为：．3．（2022下·福建厦门·七年级校考期中）(1)在平面直角坐标系中，描出下列个点：，，；

(2)顺次连接，，，组成，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）在坐标系中描出点，，；（2）根据题意，顺次连接，，，根据割补法求三角形的面积，即可求解．【详解】解：（1）如图所示，

（2）如图所示，取点，连接，

∴．【点睛】本题考查了在坐标系时中描点，坐标与图象，数形结合是解题的关键．【考点二与图形面积相关的点的存在性问题】例题：（2023上·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，已知，，，．

(1)求的面积；(2)设P为x轴上的一点，若，求点P的坐标．【答案】(1)12(2)点P的坐标为或【分析】（1）先计算出，然后根据三角形面积公式计算的面积；（2）当在轴上时，设点坐标为，则，再根据列方程计算即可；【详解】（1）解：，，，，．（2）设点P的坐标为，，解得或，点P的坐标为或．【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．【变式训练】1．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第八中学校考期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是．

(1)求的顶点的坐标；(2)连接、，并用含字母的式子表示的面积；(3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)的面积为(3)或【分析】本题考查了坐标与图形性质；（1）根据三角形面积公式得到，解得，则，，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出三个顶点的坐标；（2）分类讨论：当点在直线上方即；当点在直线下方，即；利用面积的和与差求解；（3）先计算出，利用（）中的结果得到方程，然后分别求出的值，从而确定点坐标．【详解】（1）解：，，，解得，，，，，；（2）当点在第二象限，直线的上方，即，作轴于，如图，

；当点在直线下方，即，作轴于，如图，

；∴的面积为（3）解：∵，当，解得．此时点坐标为；当，解得．此时点坐标为．综上所述，点的坐标为，或，．2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，轴，且到轴的距离为6．

(1)______，______；(2)______，______；(3)如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的两倍，求满足条件的点的坐标．【答案】(1)8，6(2)16，24(3)【分析】（1）根据轴，可知点C与点B的横坐标相同，结合点C到x轴的距离为6，得点C的纵坐标为6，即可得到a、b的值；（2）根据三角形的面积公式得，即可求出的面积；（3）由图象可知，再由三角形的面积公式求出，结合四边形的面积是的面积的两倍且P在第二象限，即可求出P点的坐标．【详解】（1）解：，点C在第一象限，轴，且到x轴的距离为6，，故答案为：8，6；（2）解：，，，，，，，；故答案为：16，24；（3）解：，，，，，，∵且P在第二象限，，．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据坐标得出坐标系内线段的长度，熟练掌握坐标与图形性质，由题意得出方程是解决问题（2）的关键．3．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．

(1)填空：________，________；(2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；(3)在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标．【答案】(1)；3(2)(3)或【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值；（2）过点M作轴于点N，可得，再根据三角形的面积，即可求解；（3）先根据（2）的结论，设点P的坐标为，然后根据，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案为：；3（2）解：由（1）得：，，∴，如图，过点M作轴于点N，

∵在第三象限内有一点，∴，∴；（3）解：当时，，∵的面积是的面积的5倍∴，设点P的坐标为，∵点，∴，∴，∴，解得：或，即点的坐标或．【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形，正确得出相应点的坐标、灵活应用数形结合思想是解题的关键．【考点三平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查点的运动规律，找到规律是解题的关键．根据每次对应的对标找到规律即可．【详解】解：由题意知，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，由此可见，小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是，下一次运动对应的坐标是，经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是，故经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．故答案为：．【变式训练】1.（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，．一只蚂蚁从点处出发，并按的规律在四边形的边上以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为．若，则这只蚂蚁所在位置的点的坐标为．【答案】【解析】略2．（2023上·安徽六安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．

(1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）；(2)写出点的坐标；(3)指出蚂蚁从点到点的移动方向．【答案】(1)2，0；5，1；7，0(2)(3)蚂蚁从点到点的移动方向是向下【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键．（1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可；（2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为0，横坐标为。据此可得答案；（3）由可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，据此可得答案．【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴，，，，∴，，，故答案为：2，0；5，1；7，0（2）解：观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，∵，∴的纵坐标为0，横坐标为，∴（3）解：∵，∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向下．3．（2023上·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，都是等边三角形，都是等腰直角三角形．(1)直接写出下列点的坐标：①：______；②：______；③：______；④：______．(2)是正整数，用含的代数式表示下列坐标：①的横坐标为：______；②的坐标为______．(3)若，点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，则点运动的路程为______．【答案】(1)①；②；③；④(2)①；②(3)【分析】本题考查图形与坐标，涉及点的坐标规律、等腰三角形性质、等边三角形性质及勾股定理，数形结合，准确找到点的坐标特征是解决问题的关键．（1）由平面直角坐标系及所给的图形可找到规律，是正整数；，是自然数；，是自然数；代值求解即可得到答案；（2）由（1）中所得规律，结合题中要求即可得到答案；（3）由图形及题意，数形结合即可得到答案．【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，，，是正整数，，；，都是等边三角形，中，以轴上的边为底的高长为，，是自然数；都是等腰直角三角形，如图所示，，是自然数；，；故答案为：①；②；③；④；（2）解：由（1）中，是自然数；，是自然数；当是正整数时，；；故答案为：①；②；（3）解：由题意及前问解析可知，点在轴上，点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，点运动的路程为100段与100段的和，，点运动的路程为，故答案为：．4．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务：(1)点的坐标为，点的坐标为；点的坐标为；(2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为，之间满足的数量关系为．【答案】(1)；(2)；【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解；(2)根据(1)中的规律求解．【详解】（1）解：∵∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，∵，，点的坐标为，，的坐标为，；∵，∴的纵坐标与的纵坐标一样，点的坐标为，，故答案为：，，，，，；（2）解：∵∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，；，故答案为：．【考点四平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例题：（2024上·广东珠海·九年级统考期末）如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点在旋转2023次后的坐标为．【答案】【分析】本题考查规律型：点的坐标、旋转，解题的关键是每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加，根据可知，顶点在旋转次后的横坐标为，纵坐标为．【详解】由题意得，旋转第次至图①位置，点的坐标为，旋转第次至图②位置，点的坐标为，旋转第次至图③位置，点的坐标为，旋转第次,点的坐标为,即每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加，，∴顶点在旋转次后的横坐标为纵坐标为，∴顶点在旋转次后的坐标为．故答案为:．【变式训练】1．（2024上·河北张家口·八年级统考期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，，…，的位置，则：（1）的横坐标；（2）的横坐标．【答案】52022【分析】本题主要考查点的坐标规律，观察图形和各点坐标可知：翻转过程中4次为一个循环，P到横坐标刚好加4，P到，，处横坐标加3，P到，处横坐标加2，按照此规律，求解即可．【详解】（1）观察图形和各点坐标可知：翻转过程中4次为一个循环，P到横坐标刚好加4，P到，，处横坐标加3，P到，处横坐标加2，∴的横坐标是横坐标加2，∴的横坐标，故答案为：；（2），∴是过个循环得到的∴的横坐标，故答案为：．2．（2022·安徽·模拟预测）将一个图形先沿一条射线方向平移一定的距离得到图形，再作图形关于射线对称的图形，把由图形到图形的变换叫做滑动反射变换，简称滑动反射．如图，在菱形中，，点，点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，作两次滑动反射得到菱形每次变换中平移的距离等于的长．(1)点的坐标为_______；(2)点的横坐标为_______；(3)菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为_______．（用含的代数式表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查坐标与图形，菱形的性质等知识：（1）连接，证出轴，得是等边三角形，求出，得出点A，C的坐标，从而可求出点的坐标；（2）根据求解即可；（3）分别求出菱形和菱形对称中心的纵坐标，即可得到规律．【详解】（1）解：连接，∵点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，∴轴，在菱形中，∴∴∴是等边三角形，∵∴∴，∴，将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，∴；故答案为：；（2）解：由（1）知，∴∴，∴点的横坐标为，故答案为：；（3）解：∵菱形对称中心的纵坐标，菱形对称中心的纵坐标为1，∴菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为，故答案为：．【考点五平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例题：（2023上·河北保定·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”.如点和点就是等距点，(1)下列各点中，是的等距点的有________；①

②

③(2)已知点B的坐标是，点C的坐标是，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标.【答案】(1)①③(2)点的坐标为或【分析】本题主要考查点的坐标，掌握“等距点”的定义是解题的关键．【详解】（1）解：到、轴的距离的较大值为：7；①到、轴的距离的较大值为：7，②到、轴的距离的较大值为：9，③到、轴的距离的较大值为：7，①③是的等距点；故答案为：①③；（2）解：由题意，可分两种情况：①，解得或（不合题意，舍去）；②，解得（不合题意，舍去）或；综上所述，点的坐标为或．【变式训练】1．（2023上·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期末）我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线（直线上各点的纵坐标都为）对称得点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点．已知点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的点为，则当的面积为1时，．【答案】1或3【分析】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式．根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可．【详解】解：根据题意得，，，，

，，的面积为1，，解得或3，故答案为：1或3．2．（2023上·四川成都·八年级统考期末）对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为．【答案】或【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意画出图形，利用格点找出线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可得上的点到点O与点A的距离相等，直线与或的角平分线的交点即为所求．【详解】解：如下图，由图可知，直线垂直平分，因此直线上的点是点O与点A的“等长点”，由图可知，是直线与的角平分线的交点，是直线与的角平分线的交点，因此或到线段与线段距离相等，是线段与线段的“等长点”，故点P的坐标为或．故答案为：或．3．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：点，，的“最佳间距”是1．（1）点，，的“最佳间距”是；（2）当点，，的“最佳间距”为时，点的横坐标为．【答案】3，或【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理求两点间的距离等知识，若有两点，，则．（1）求出、、的值即可得到点，，的“最佳间距”；（2）分别表示出、和，由“最佳间距”为，分情况讨论得出结论．【详解】解：（1）∵，，，∴点，，的“最佳间距”是3；故答案为：3；（2）∵点，，，∴，，当时，或若，，，符合题意；若，，，符合题意；当时，或，若，，，符合题意；当时，无解，综上，点的横坐标为，或．故答案为：，或．4．（2024上·江苏苏州·八年级期末）对于平面直角坐标系内点，我们定义如下变换K：将点M的横坐标m乘以2再减去1，纵坐标n加上3就可以得到新的一点(1)将点P进行K变换后得到点，则点P坐标为__________；(2)将点P进行K变换后得到点Q，连接，且，试求m的值；(3)已知点，点P在线段上运动不包含点，将点P进行K变换后得到点Q，连接，试求线段长度范围【答案】(1)(2)或5(3)【分析】本题考查了新定义下的图形与坐标变化及一元一次方程应用，（1）根据新定义，列方程解决即可；（2）分两种情况：当点P在点Q右侧或点P在点Q左