解题技巧：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中点四边形问题压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题08解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中点四边形问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一矩形、菱形、正方形中求定值问题】 1【考点二矩形、菱形、正方形中求最小值问题】 9【考点三矩形、菱形、正方形中求最大值问题】 21【考点四矩形、菱形、正方形中点四边形问题】 28【典型例题】【考点一矩形、菱形、正方形中求定值问题】例题：（2023上·江西吉安·九年级统考期末）如图，矩形中，，，P是上不与A和D重合的一动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F；的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是定值请求出这个定值．

【答案】的值是定值，定值为【分析】连接，过点A作于G，利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积求出，然后根据的面积求出即可．【详解】解：的值是定值，定值为，如图所示，连接，过点A作于G，

∵四边形是矩形，∴，又∵，，∴由勾股定理可得，∵，∴，解得：，在矩形中，，∵，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握各性质并利用面积法是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，边长为定值的正方形的中心与正方形的顶点重合，且与边、相交于、，图中阴影部分的面积记为，两条线段、的长度之和记为，将正方形绕点逆时针旋转适当角度，则有（

）A．变化，不变 B．不变，变化 C．变化，变化 D．与均不变【答案】D【分析】如图，连接，．证明，可得结论．【详解】解：如图，连接，．∵四边形和四边形均为正方形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴定值，定值，故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022上·广东梅州·九年级统考期中）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值【答案】D【分析】连接，过点作，利用，即可得解．【详解】解：连接，过点作，交于点，∵在矩形中，，，∴，∵即：，∴；∵，∴，∴；故选D．【点睛】本题考查矩形的性质和勾股定理以及等积法求线段．熟练掌握矩形的性质，以及等积法求线段的长度是解题的关键．3．（2022下·江西赣州·八年级统考期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，满足∠EAF=60°，连接EF，且E，F不与B，C，D重合．(1)求证：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE=CF；(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【答案】(1)见解析(2)四边形AECF的面积不变，面积等于；△CEF的周长发生变化，最小值为；理由见解析【分析】（1）先根据菱形的性质求出∠BAC=∠DAC==60°，然后根据等式的性质可得∠1=∠3，再求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的周长会随着AE的变化而变化，求出当AE最短时，△CEF的周长即可．【详解】（1）解：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴∠BAC=∠DAC==60°，AB=BC=AD=CD，∵∠EAF=60°，∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵AB=BC=AD=CD，∠BAC=∠DAC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=∠B=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解∶四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF，AE=AF，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=3，S四边形AECF=S△ABC==，∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小，最小值为．【点睛】本题考查了菱形的性质；三角形全等的判定与性质；垂线段的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．4．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，已知正方形的边长为，点为对角线上一动点，连接、过点作，交点，以、为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)直接写出当点满足什么条件时，的最小值，最小值是多少？【答案】(1)见解析；(2)为定值，；(3)16．【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形；（2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值；（3）过点分别作，于点、，则四边形是矩形，得，，，利用勾股定理得，，从而得，进而根据正方形的性质及垂线段段最短即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点，

四边形为正方形，，，，，，四边形为矩形，，，即，点是正方形对角线上的一点，，在和中，，，，矩形为正方形；（2）解：的值为定值，∵，，∴，由（）知，矩形为正方形，，，四边形是正方形，，，，即，在和中，，，，，，是定值；（3）解：过点分别作，于点、，则四边形是矩形，∴，，∴，∵四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，同理可得∶，∴，∵当时，的值最小，∴当时，的值最小，∵，，∴，∴的最小值为．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等．【考点二矩形、菱形、正方形中求最小值问题】例题：（2023上·山西晋中·九年级统考期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【答案】A【分析】首先根据勾股定理的逆定理可以证明；结合已知可以证明四边形是矩形，由此可得到对角线相等，M是的中点；要求的最小值，实际上就是求的最小值，当，利用三角形面积，即可求得最小值．【详解】连接，∵，，，∴，∴．∵，，∴四边形是矩形，∴．∵M是的中点，∴．根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短，可知当时，最短．同样也最短．当时，有，即，解得．∴的最小值为，．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形，垂线段，直角三角形斜边上的中线，直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，直角三角形斜边上的中线性质，由面积法求三角形的高，是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023上·宁夏银川·九年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为．【答案】10【分析】本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．连接，交于M，连接，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故的长即为的最小值，利用勾股定理可求解．【详解】解：连接交于M，连接，如图，∵正方形∴点B与点D关于对称，∴，∴，根据两点间线段最短，此时值最小，最小值等于，∵正方形∴，∵∴由勾股定理得：，∴的最小值为10．故答案为：10．2．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点E在对角线上，于点F，于点G，连接，若，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短．解决线段最值问题，一般会运用垂线段最短定理求解，注意线段的转化．易知四边形是矩形，所以，由此当最小时，就最小，根据垂线段最短，可知当时，最小．在等腰直角三角形中利用勾股定理可求值，则最小值可求．【详解】解：连接∵四边形是正方形，∴．又于点F，，∴四边形是矩形．∴．所以当最小时，就最小．根据垂线段最短，可知当时．当时，在正方形中，在中，根据勾股定理可得，解得．故答案为：．3．（2024上·广东河源·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，E，F分别是过，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值，当时，根据垂线段最短，即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：∵四边形是菱形，∴，∵G，H分别为，的中点，∴是的中位线，∴，当时，最小，得到最小值，则，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．4．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．

(1)求证：四边形为矩形．(2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明．(3)在矩形中内部有一动点P，满足，求的最小值．【答案】(1)见解答(2)当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，理由见解答(3)【分析】（1）根据双角平分线可得即可得证；（2）四边形要变成一个正方形，则，即即可；（3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称即可求出最小值．【详解】（1）证明：∵，，∴，，∵是外角的平分线，∴，∴，∵，∴，∴四边形为矩形；（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，由（1）知四边形为矩形，∵是等腰直角三角形，，∴，∴四边形是正方形；（3）解：，∴，即，解得，即点P在平行于且到的距离为4的直线上，如图：

作点C关于点P所在直线的对称点F，连接，此时的值最小为的长，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查角平分线的性质，矩形的判定，正方形的判定，线段和的最小值，熟练掌握以上知识是解关键．5．（2023下·浙江丽水·八年级期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：（1）周长的最小值是．（2）四边形周长的最小值是．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键．作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可．将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题．【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，，的最小值为，周长的最小值为，作于，于，，，，，，，，，，周长的最小值为．故答案为：．如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，，且，四边形为平行四边形，，由对称得，，为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，，，，，，四边形周长的最小值为：．故答案为：．6．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．

(1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值；(2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出的最小值；(3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值．【答案】(1)4(2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值(3)作图见解析，的最小值为6【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解；（2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值；（3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，，∴，，则，均为等边三角形，∴，∵点为菱形对角线的交点，∴点为的中点，

连接，，∵为的中位线，∴，也为的中位线，则，，∴；（2）由（1）可知，均为等边三角形，则，∵，∴，则为等边三角形，∴，则，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，

∵，则，又∵，∴，∴，则点为中点，∵，，∴，∴，，由勾股定理可得：，，∴，∵，∴，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即：与点重合（点为中点），与重合时取等号，综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值；（3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，∵为等边三角形，∴，由对称可知：，

则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，

∵，则∴过点（点），且，可知，为等边三角形，，，，即，，，分别为，，的中点，∴此时，作图，如下：

作法：取的中点为，作交于；综上，的最小值为6．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键．【考点三矩形、菱形、正方形中求最大值问题】例题：（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．连接，则是的中位线，，当最大时，有最大值求出即可．【详解】解：连接，如图：，分别是，的中点，是的中位线，，当最大时，有最大值，，分别是边，上的动点，当与重合时，最大为的长，正方形边长为2，，的最大值为，故答案为：．【变式训练】1．（2023·安徽宣城·安徽省宣城市第三中学校考模拟预测）在矩形中，，，动点P点A的距离，连接，M为的中点，连接，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】连接，取的中点O，分别连接，，，只有时，取最大值，此时B，O，M三点在同一条直线上，利用三角形中位线和矩形的性质求出和即可．【详解】如图1，连接，取的中点O，分别连接，，，只有时，取最大值，此时B，O，M三点在同一条直线上（如图2），

，，，∵M为的中点，是的中位线，，是矩形，点O是的中点，，的最大值为，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，正确作出辅助线并熟练运用矩形的性质求线段的长是解题的关键2．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，P为边上的一动点（含端点），F为的中点，则长度的最大值为．【答案】【分析】连接，根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】解：如图所示，连接，∵E为中点，F为中点，∴为的中位线，∴，当取得最大值时，的值最大，故当点P与点B重合时，最大，∴，∴长度的最大值为，故答案为：．【点晴】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接，构造三角形中位线．3．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期中）矩形中，，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接．则线段的长度最大值是．【答案】9【分析】取的中点，连接、，当、成一条直线时，有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案．【详解】解：取的中点，连接、，当、成一条直线时，有最大值，在矩形中，，，，∴，在中，，在中，，的最大值是，故答案为：9．【点睛】此题考查的是矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为．

【答案】【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴，当在同一条直线上时，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等边三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵点为的中点，∴为的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．5．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点，分别在菱形的边，上滑动，且，不与，，重合．当点在，上滑动时，求面积的最大值．

【答案】【分析】连接，根据菱形的性质以及等边三角形的性质可得和为等边三角形，可证明，从而得到，进而得到，是定值由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短，的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，此时点E与点H重合，过点A作于点G，根据，可得的面积就会最大，即可求解．【详解】解：如图，连接．

四边形为菱形，，为正三角形，∴，，，，，和为等边三角形，，，在和中，，，，是定值．作，垂足为点，则，∴，．由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短，的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，此时点E与点H重合，过点A作于点G，∴,，∴,∴．又，则此时的面积就会最大，．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证是解题的关键，有一定难度．【考点四矩形、菱形、正方形中点四边形问题】例题：（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．

(1)请判断四边形的形状，并说明理由．(2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．(3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据三角形的中位线定理，进行判断即可；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可；（3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可．【详解】（1）解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，∴，，∴，∴四边形是平行四边形；（2）当四边形满足时，四边形是菱形，理由如下：∵，，∴，∴平行四边形是菱形；（3）当四边形满足时，四边形是矩形，理由如下：∵，，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查中点四边形．解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的判定定理．【变式训练】1．（2022下·湖北武汉·八年级期中）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（

）．A．四边形一定是平行四边形B．当时，四边形为矩形C．当时，四边形为菱形D．当时，四边形为矩形．【答案】B【分析】根据题意证出四边形是平行四边形，再分别证明当时，当时，当时，四边形的形状即可．【详解】连接，分别为四边形各边的中点，，且，，且，故四边形为平行四边形，故A正确；当时，故平行四边形不是矩形，B错误；当时，则，故四边形为菱形，C正确；当时，，，故四边形为矩形，D正确；故选：B．【点睛】该题主要考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，以及三角形中位线定理，解题的关键是掌握各种四边形的性质和判定方法．2．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（

）

A．若，则四边形为矩形B．若，则四边形为菱形C．若是平行四边形，则与互相平分D．若是正方形，则与互相垂直且相等【答案】D【分析】根据三角形的中位线定理可得，，，，从而得到四边形为平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质，进行逐一判断即可得到答案．【详解】解：点分别是四边形边的中点，是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，，，，，四边形为平行四边形，A、若，则，四边形为菱形，故A错误，不符合题意；B、若，则，则四边形为矩形，故B错误，不符合题意；C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，与不一定互相平分，故C错误，不符合题意；D、若是正方形，则，由是的中位线，是的中位线，得，，因此与互相垂直且相等，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，是解题的关键．3．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足时，四边形是菱形．【答案】【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且相等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件．【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下：点，分别是，的中点，，同理，，∵，四边形是平行四边形．，又可同理证得，，，四边形是菱形．故答案为．【点睛】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形．4．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，下列说法；①若，则四边形为矩形：②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数有个

【答案】1【分析】先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可．【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点，∴，，，，，，∴，，∴四边形为平行四边形，①当时，则，则四边形为菱形，①说法错误；②当时，则，则四边形为矩形，②说法错误；③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误；④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确；故答案为：1．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．5．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．(1)猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由；(2)点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)菱形(2)成立，理由见解析(3)图见解析，正方形，理由见解析【分析】（1）证明，可得，根据三角形中位线的性质，可得，进而可得，即可得出结论；（2）连接，．证明，可得，同（1）的方法，即可得证；（3）连接，．证明，同理可得四边形是菱形，证明，即可得证．【详解】（1）解：四边形是菱形．如图所示，连接，∵∴，即，又∵，，∴，∴，∵点，，，分别是，，，的中点，∴，∴，∴四边形是菱形．（2）成立．理由：连接，．，．即．又，，，．，，，分别是，，，的中点，，，，分别是，，，的中位线．，，，．．四边形是菱形．（3）解：补全图形，如图．判断四边形是正方形．理由：连接，．（2）中已证：，．，．又，，．（2）中已证，分别是，的中位线，，．．又（2）中已证四边形是菱形，菱形是正方形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四