沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题08正(反)比例函数基础概念压轴题型全攻略(原卷版+解析)

专题08正（反）比例函数基础概念压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一函数概念的辨析】 1【考点二正（反）比例概念的辨析】 2【考点三由图像求正（反）比例函数解析式】 2【考点四由函数的应用求定义域】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一函数概念的辨析】【例题1】下列各图象中，不是的函数有（

）A．

B．C．

D．

【变式1】下列曲线不能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2】下列曲线中不能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式3】下列四个图像中，不表示是的某一函数图像的是（

）A．

B．

C．

D．

【考点二正（反）比例概念的辨析】【例题2】若y关于x的函数是正比例函数，则m，n应满足的条件是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【变式1】已知(－2，4)是反比例函数图象上一点，下列各点也在该图象上的是(

)A．(－1，3) B．(2，4) C．(2，4) D．(－4，2)【变式2】给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（）A．3B．4C．5D．6【变式3】下列函数：①y＝3x；②y＝；③y＝x－1；④y＝＋1.其中是反比例函数的有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点三由图像求正（反）比例函数解析式】【例题3】如图是嘉淇某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量均为，杠杆总长．其余数据如图所示，此时杠杆处于平衡状态，则与的函数图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【变式1】在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是（

）①这次比赛的全程是米；②乙队先到达终点；③比赛中两队从出发到分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快；④乙与甲相遇时乙的速度是米/分钟；⑤在分钟时，乙队追上了甲队.A．①③④ B．①②⑤ C．①②④ D．①②③④⑤【变式2】汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【变式3】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量为（

）A． B． C． D．【考点四由函数的应用求定义域】【例题4】已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式及定义域是（

）A．（） B．（）C．（） D．【变式1】如图，已知中，，点是射线上的两个动点（点在点的右侧），且，连接，若，则关于的函数关系式是（

）

A． B．C． D．【变式2】小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式3】一个弹簧，不挂物体时长，挂上物体后，所挂物体质量每增加，弹簧就伸长，但总质量不得超过，则弹簧的总长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）之间的函数解析式是，其中自变量x的取值范围是．【过关检测】一．选择题1．点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y32．下列各点在反比例的图象上的是（

）A．（2，－3） B．（－2，3） C．（3，2） D．（3，－2）3．下列函数：①；②；③；④，y随x的增大而减小的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．下列函数是反比例函数的是（

）A． B． C． D．y=-x+55．点（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（

）A．﹣2 B．﹣ C．4 D．﹣8二.填空题6．已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则的取值范围是．7．下表反映的是高速公路上匀速行驶的汽车在行驶过程中油箱的剩余油量（升）与时间（时）与之间的关系，该关系可以表示为．行驶时间/时…剩余油量/升…8．已知一次函数，那么9．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是．10．函数的图象位于第象限．11．已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数图象上，则m与n的大小关系为．12．在中，当时，的值是13．函数中，自变量x的取值范围是；中，自变量x的取值范围是；中，自变量x的取值范围是．14．若点，在反比例函数图像上，，则，大小关系是．15．小明的爸爸骑摩托车上班，出发时油箱中有油28升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和行驶时间x（时）之间的函数关系式是（不用写自变量取值范围）．16．如图，在中，，点D是边上一动点，若，，，则的面积S与x之间的关系式为（不必写x的取值范围）.

三．解答题17．已知正比例函数图像经过点，求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点是否在这个函数图像上；(3)图像上两点，，如果，比较，的大小．18．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．

(1)求此函数的解析式；(2)当气体体积为时，气压是多少？(3)当气球内的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？

专题08正（反）比例函数基础概念压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一函数概念的辨析】 1【考点二正（反）比例概念的辨析】 2【考点三由图像求正（反）比例函数解析式】 2【考点四由函数的应用求定义域】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一函数概念的辨析】【例题1】下列各图象中，不是的函数有（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【分析】本题主要考查了函数的概念，根据函数的概念，观察图像，逐项进行判断即可．熟练掌握函数的概念：如果给的一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数，是解题关键．【详解】解：A，C，D选项．给出一个都对应唯一值，y是x的函数，故A，C，D选项．不符合题意B选项一个x值对应两个值，y不是x的函数，故B选项符合题意．故选：B．【变式1】下列曲线不能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题主要考查了函数的定义，根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键．【详解】解：根据函数的定义可得：A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意；C、对x的一个值y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意；故选：C．

【变式2】下列曲线中不能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数的定义，在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，判定即可．【详解】解：∵A、C、D的图象都满足对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，∴A、C、D的图象能表示是的函数；故A、C、D选项不符合题意；B的函数图象，对任意的一个值，y的对应值都有两个，不符合函数的定义，故此选项符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义的应用是解题关键．【变式3】下列四个图像中，不表示是的某一函数图像的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可．【详解】解：如图，D选项中的图象，对每一个确定的的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象；

ABC选项中的图象，对每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是函数图象，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的概念，注意掌握函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．【考点二正（反）比例概念的辨析】【例题2】若y关于x的函数是正比例函数，则m，n应满足的条件是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】D【分析】正比例函数的解析式为，其中，据此求解．【详解】解：是正比例函数，且，且．故选D．【点睛】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0，无常数项．【变式1】已知(－2，4)是反比例函数图象上一点，下列各点也在该图象上的是(

)A．(－1，3) B．(2，4) C．(2，4) D．(－4，2)【答案】D【分析】将（-2，4）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．【详解】所给点的横纵坐标的积为-2×4=-8，A、横纵坐标的积为-1×3=-3，不符合题意；B、横纵坐标的积为2×4=8，不符合题意；C、横纵坐标的积为2×4=8，不符合题意；D、横纵坐标的积为-4×2=-8，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．【变式2】给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．【详解】解∶①是正比例函数，故不符合题题意；②，y是x的反比例函数，故符合题意；③，y是x的反比例函数，故符合题意；④，y不是x的反比例函数，故不符合题意；⑤由2xy＝1得，y是x的反比例函数，故符合题意；⑥由－xy＝2得，y是x的反比例函数，故符合题意；其中②③⑤⑥为反比例函数，故选B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握反比例函数的定义是解题关键．【变式3】下列函数：①y＝3x；②y＝；③y＝x－1；④y＝＋1.其中是反比例函数的有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】分析：此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y=（k≠0）的形式为反比例函数．详解：①是正比例函数，故A选项错误；②属于反比例函数，故B选项正确；③是反比例函数，故C选项正确；④不是反比例函数，故D选项错误．故选C．点睛：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．【考点三由图像求正（反）比例函数解析式】【例题3】如图是嘉淇某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量均为，杠杆总长．其余数据如图所示，此时杠杆处于平衡状态，则与的函数图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据杠杆平衡的条件确定函数解析式及自变量取值范围，然后结合选项判断即可．【详解】解：根据题意得，即且，∴是的反比例函数，且经过点，故选：C．【点睛】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意是解题关键．【变式1】在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是（

）①这次比赛的全程是米；②乙队先到达终点；③比赛中两队从出发到分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快；④乙与甲相遇时乙的速度是米/分钟；⑤在分钟时，乙队追上了甲队.A．①③④ B．①②⑤ C．①②④ D．①②③④⑤【答案】C【分析】由横纵坐标可直接判断①、②；观察图象比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面可判断③；由图象得乙队在1.1至1.9分钟的路程为300米，可判断④；分别求出在1.8分钟时，甲队和乙队的路程，可判断⑤．【详解】解：①由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是500m，故①正确；②由横坐标可以看出，乙队先到达终点，故②正确；③∵比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面，∴乙队的速度比甲队的速度慢，故③错误；④∵由图象可知，乙队在1.1分钟后开始加速，加速的总路程是500-200=300（米），加速的时间是1.9-1.1=0.8（分钟），∴乙与甲相遇时，乙的速度是300÷0.8=375（米/分钟），故④正确．⑤甲队：500÷2×1.8=450（米），乙队：200+（500-200）÷（1.9-1.1）×（1.8-1.1）=462.5（米），故⑤错误．故选C．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与实际应用，准确识图是解题的关键.【变式2】汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】试题分析：由题意可知,1小时以前的速度是60千米/时,而1小时之后的速度是100千米/时,速度越大倾斜角度越大,故选C考点：函数的图象【变式3】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将点代入，即可求得的值．【详解】解：点在图象上，，解得：，故选：C．【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是由点的坐标，求出函数的解析式．【考点四由函数的应用求定义域】【例题4】已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式及定义域是（

）A．（） B．（）C．（） D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义及三角形周长可列出函数关系式；然后根据三角形的三边关系即可求出定义域．【详解】解：∵等腰三角形的的周长是36，设腰长为x，底边长为y，∴y关于x的函数关系式为，根据题意，得：，解得：，即，故选：D．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列函数关系式和三角形周长及等腰三角形的定义—等腰三角形两腰相等，解题的关键是熟练掌握根据实际问题列函数关系式的方法和三角形周长，等腰三角形的定义．【变式1】如图，已知中，，点是射线上的两个动点（点在点的右侧），且，连接，若，则关于的函数关系式是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：如图所示，，

∵，，∴，，∵是的外角，∴，则，∴，则，∴，且点是射线上运动时，，故选：．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质的综合，理解图示，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角的性质是解题的关【变式2】小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题重点考查一次函数的应用、不等式的应用等知识，正确地用代数式表示三角形的周长，根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题的关键．由周长为的等腰三角形，则底边长，腰长得，则，由三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案．【详解】解：∵周长为的等腰三角形，则底边长，腰长，∴，整理得，根据三角形的三边关系得，解得，故选：D．【变式3】一个弹簧，不挂物体时长，挂上物体后，所挂物体质量每增加，弹簧就伸长，但总质量不得超过，则弹簧的总长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）之间的函数解析式是，其中自变量x的取值范围是．【答案】【分析】弹簧的总长度=初始长度+挂物体后伸长的长度，其中初始长度为，挂物体后，弹簧伸长．【详解】解：由于不挂物体时弹簧长，即当时，，所挂物体质量每增加，弹簧就伸长，故所求y与x之间的函数关系式为．由于物体质量不超过，故．故答案为：，．【点睛】考查函数关系式及函数自变量的取值范围，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意一次函数的一般形式为（k，b是常数，且），以及自变量的取值范围．【过关检测】一．选择题1．点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】C【分析】将x的值代入函数解析式中求出函数值y即可判断．【详解】当x=-3时，y1=1，当x=-1时，y2=3，当x=1时，y3=-3，∴y3＜y1＜y2故选C．【点睛】考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．下列各点在反比例的图象上的是（

）A．（2，－3） B．（－2，3） C．（3，2） D．（3，－2）【答案】C【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．【详解】解：∵2×（−3）＝−6，−2×3＝−6，3×（−2）＝−6，而3×2＝6，∴点（2，−3），（−2，3）（3，−2），不在反比例函数图象上，点（3，2）在反比例函数图象上．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．3．下列函数：①；②；③；④，y随x的增大而减小的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：①、，所以y随x的增大而减小，故本小题正确；②、，所以y随x的增大而增大，故本小题错误；③、，在双曲线的每一支上，y随x的增大而增大，故本小题错误；④、，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，故本小题正确；故选B.4．下列函数是反比例函数的是（

）A． B． C． D．y=-x+5【答案】C【分析】根据反比例函数的定义判断即可.【详解】A选项中，当时不是反比例函数，故该选项错误.B选项中，是正比例函数，故该选项错误.C选项中，是反比例函数，故该选项正确.D选项中，y=-x+5是一次函数，故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，一般的，如果变量和之间的关系可以表示成（k是常数，且）的形式，则称是的反比例函数.掌握反比例函数的定义是解题的关键.5．点（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（

）A．﹣2 B．﹣ C．4 D．﹣8【答案】D【分析】利用待定系数法将点（2，﹣4）代入即可求出k的值．【详解】将点（2，﹣4）代入反比例函数y＝中得：，解得：k＝﹣8，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式，熟知待定系数法确定函数关系式．二.填空题6．已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则的取值范围是．【答案】【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果．【详解】解：反比例函数的图象在第二、第四象限，，则．故答案为：．【点睛】此题主要考查反比例函数的图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．7．下表反映的是高速公路上匀速行驶的汽车在行驶过程中油箱的剩余油量（升）与时间（时）与之间的关系，该关系可以表示为．行驶时间/时…剩余油量/升…【答案】/【分析】由表格数据可得：每行驶小时，耗油升．【详解】根据表格可得：每行驶小时，耗油升．与的函数表达式：．故答案为：【点睛】本题考查了写出函数关系，理解题意解题的关键．8．已知一次函数，那么【答案】—4【分析】将x＝−2代入计算即可．【详解】当x＝−2时，f（−2）＝3×（−2）＋2＝−4．故答案为−4．【点睛】本题主要考查的是求函数值，将x的值代入解析式解题的关键．9．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是．【答案】【分析】由图像可知在第三象限，点在第一象限，所以a-2＜0，a+3大于0．【详解】∵反比例函数的图象在一三象限，a-2＜a+3,，∴在第三象限，点在第一象限，所以a-2＜0，a+3大于0．解得：−3<a<2故答案为−3<a<2.【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的坐标特征，解题的关键是列出不等式.10．函数的图象位于第象限．【答案】二、四【分析】根据反比例函数的性质：y=，k＞0时，图象位于一三象限，k＜0时，图象位于二、四象限，可得答案．【详解】解：反比例函数y=-的k=-6＜0，∴反比例函数y=-的图象位于第二、四象限，故答案为二、四．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是利用y=，k＞0时，图象位于一三象限，k＜0时，图象位于二、四象限判断．11．已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数图象上，则m与n的大小关系为．【答案】【分析】由反比例函数可知函数的图象在第二、四象限内，可以知道在每个象限内，y随x的增大而增大，根据这个判定则可．【详解】解：∵反比例函数中，，∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵0＜1＜2，∴A、B两点均在第四象限，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．12．在中，当时，的值是．【答案】【分析】把代入函数解析式，进行求解即可．【详解】解：当时，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查求自变量的值．正确的计算是解题的关键．13．函数中，自变量x的取值范围是；中，自变量x的取值范围是；中，自变量x的取值范围是．【答案】且【分析】根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件即可得答案．【详解】∵有意义，∴，解得：．∵有意义，∴，解得：且．∵有意义，∴，解得：．故答案为：；且；【点睛】本题考查分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数为非负数．14．若点，在反比例函数图像上，，则，大小关系是．【答案】y1＞y2【分析】反比例函数中，，图像经