湘教版七年级数学上册压轴题攻略专题13难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)

专题13难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一一元一次方程的应用--古代问题】 1【类型二一元一次方程的应用--销售问题】 5【类型三一元一次方程的应用--方案问题】 11【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】 18【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 25【典型例题】【类型一一元一次方程的应用--古代问题】例题：（2023秋·安徽淮北·七年级校考期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？【变式训练】1．（2022·江西新余·统考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．2．（2023秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题，“今有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买单的人有个．3．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？4．（2023秋·七年级课时练习）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？5．（2023·安徽六安·统考模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？6．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________岁；(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？【类型二一元一次方程的应用--销售问题】例题：（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）2023年4月16日至18日“金沙贡茶文化节”在岩孔贡茶古镇举行，开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约．其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品．已知甲种茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元．若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品3件，共需要700元．(1)求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元?(2)该采购商购进了甲种茶叶商品300件，乙种茶叶商品200件．在销售时，甲种茶叶商品的每件售价为110元，要使得这500件茶叶商品所获利润率为，求每件乙种茶叶商品的售价是多少元?【变式训练】1．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售价150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120元，他只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与“每满100元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？2．（2023·全国·七年级假期作业）某水果店第一次购进西瓜千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进千克西瓜，进货价比第一次每千克少元，两次进货共花费元．(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有%的损耗，第二次购进的西瓜有%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利元，每千克西瓜的售价为多少元?3．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率；乙种商品每件进价40元，售价60元．(1)每件甲种商品的进价为元；每件乙商品的利润率为．(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于或等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按购物总金额打九折超过600元其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？4．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的标价为90元/副，优惠活动如下：销售量单价不超过10副的部分每副立减14元超过10副但不超过20副的部分每副立减22元超过20副的部分每副立减30元(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；③若该班级家委会购买了副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．5．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，某经销商销售带有“蓉宝”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，若经销商购进30个甲类纪念品和40个乙类纪念品共需要4300元．已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表：种类种类进价（元/件）售价（元/件）甲a80乙90(1)甲、乙两种纪念品每件进价各多少元？(2)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共200个，全部售完后总利润（利润售价进价）为4700元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？(3)经销商第二次购进了与第（2）问中第一次同样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚1400元，求甲类纪念品打了几折？【类型三一元一次方程的应用--方案问题】例题：（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（）(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？【变式训练】1．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、乙两单位共人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够人．经了解，该风景区的门票价格如下表：数量(张)张及以上单价(元/张)元元元如果两单位分别单独购买门票，一共应付元．(1)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？(2)如果甲单位有名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？2．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x只（），现从A、B两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元．A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；B超市的优惠政策为所有商品八折．(1)若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元（用含x的式子表示），到B超市购买费用是_____元（用含x的式子表示）；(2)在（1）的条件下，当购买书架x多少只时？到A、B两家超市购买费用相等．(3)学校要购买20张书柜和60只书架．①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元，到B超市购买费用是____元；②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并求出购买费用是多少元？3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）年月日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完成全自主快速交会对接．中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．正式开启了中国空间站常态化运营的新篇章．中国空间站模型在某商店价格规定如下表：购买数量套套套以上每套价格元元元某校七年级（1）班和（2）班共人计划购买模型，其中（1）班有多人，不足人，经估算，如果两个班以班为单位每人购买一套，则一共应付元，问：(1)两班各有多少学生？(2)如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？(3)如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）有下列两种移动电话计费方法：月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫A套餐381000.2免费B套餐985000.25免费其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费．(1)小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用B套餐节省_________元．(2)小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择B套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间．(3)设主叫时间为t分钟，直接写出t满足什么条件时，B套餐省钱．【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】例题：（2023秋·七年级课时练习）目前，某市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）第1档不超过180度的部分第2档超过180度的部分(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费________元．(2)若该市某户12月用电量为度，请用含的式子分别表示和时该户12月应交电费多少元．(3)若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度？【变式训练】1．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收费标准如下表：每户每月用电量（度）电费（元/度）不超过200度超过200度且不超过500度的部分超过500度的部分(1)小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？(2)小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为元/度，求小明家今年7月份用电多少度？2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一家通讯公司推出两种移动电话计费方法，如表所示：计费方法A计费方法B每月基本服务费（元/月）68元98元每月免费通话时间（分）200分500分超出后每分钟收费（元/分）0.25元0.20元(1)若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为元，使用计费方法B的用户话费为元；(2)若月通话时间是x分钟，则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？3．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：价目表每月用电量价格不超过180千瓦时的部分0.5元/千瓦时超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分0.6元/千瓦时超过280千瓦时的部分0.8元/千瓦时(1)若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；(2)若小明家8月份用电a千瓦时（其中），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简）(3)若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时．4．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市2022年自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题：每月用水量价格价不超出的部分元目超出不超出的部分4元表超出的部分元(1)若某用户9月份用水，则应交水费__________元；(2)若该用户10月份应收水费77元，则用水__________(3)若该用户11月份和12月份两个月共用水（11月份用水量超过了12月份），设12月份用水，求该用户两个月各交水费多少元．（用含的代数式表示，并化简）5．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：消费金额（元）小于或等于500元500～10001000～15001500以上返还金额（元）060100150注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1200元的商品，则消费金额为960元，获得的优惠额为（元）．(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)若顾客在该商场购买一件标价x元的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示）(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元的商品后，第二次又购买了一件标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）[应用意识]如图，数轴上两点所表示的数分别为为原点，为数轴上一动点且表示的数为．点以2个单位长度/秒的速度，点以3个单位长度/秒的速度，分别自两点同时出发，相向而行，在数轴上运动．设运动时间为秒．(1)若点在点处相遇，求点所表示的数；(2)若，求的值；(3)当时，求的值；(4)若同时一只宠物鼠以4个单位长度/秒的速度从点出发，与点相向而行，宠物鼠遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回……直到点相遇为止．求宠物鼠在整个过程中所经过的路程．【变式训练】1．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，点B在点A左边且点A点B的距离，动点P、Q分别从点A、B两点同时向左移动，点P的度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．(1)求出数轴上点B表示的数；(2)求经过几秒点P追上点Q？(3)经过几秒，P、Q两点的距离为6个单位长度，并求出此时点P表示的是多少？2．（2023秋·陕西西安·七年级统考期末）问题提出：（1）如图，点在数轴上表示的数分别是，且满足，则______，______．

问题探究：（2）将小木棒放到图上的位置．长为，长为6，将以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时以3个单位长度/秒的速度向左运动，求两根木棒擦身而过，从点与点相遇到点与点相遇经历的时间．问题解决：（3）有一条长为千米的双向多道隧道．某时刻从隧道两端点分别驶来两列高铁（此时两车车头恰好在随道两端点）．甲车长240米．乙车长200米，甲车车速为3千米/分钟，乙车车速为2千米/分钟．请直接写出甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间．3．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问：

(1)动点P从点A运动至E点需要______秒，此时点Q对应的点是______；(2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？(3)求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．4．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动．若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（s）．(1)当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇；(2)当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为；(3)在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，数轴上的点A、O、B分别表示数a、0、b，且a、b满足，电子蚂蚁C从点A出发，沿着数轴以每秒4个单位的速度向右运动；电子蚂蚁D从点B出发，沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．电子蚂蚁C与D同时出发，运动的时间为t秒．(1)填空；______，______，当______秒时，电子蚂蚁D与C相遇；(2)当电子蚂蚁D与C相距20个单位长度时，求t的值；(3)在（1）的条件下，电子蚂蚁D与C相遇后，各自分别按原方向、原速度继续运动．若在B的右侧9个单位处放一挡板E，电子蚂蚁在碰到挡板E后，以原来的速度向相反的方向运动，试探究在整个运动过程中，电子蚂蚁C与D能否再次相遇，若能，求出第二次相遇时C表示的数．

专题13难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一一元一次方程的应用--古代问题】 1【类型二一元一次方程的应用--销售问题】 5【类型三一元一次方程的应用--方案问题】 11【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】 18【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 25【典型例题】【类型一一元一次方程的应用--古代问题】例题：（2023秋·安徽淮北·七年级校考期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？【答案】大和尚有25人，小和尚有75人【分析】设大和尚有人，则小和尚有人，根据“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．”再建立方程求解即可．【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，根据题意，得．解这个方程，得．经检验，符合题意．．答：大和尚有25人，小和尚有75人．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·江西新余·统考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．【答案】【分析】设共有客人人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗”列出方程即可．【详解】解：设共有客人人，根据题意，得．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．2．（2023秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题，“今有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买单的人有个．【答案】21【分析】设买单的人有x个，根据每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元，列出方程，解方程即可．【详解】解：设买单的人有x个，根据题意得：，解得：，即买单的人有21个，故答案为：21．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．3．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？【答案】天【分析】首先设经过天相遇，根据题意可得等量关系：野鸭天的路程＋大雁天的路程，再根据等量关系列出方程，再解即可．【详解】解：设经过天相遇，根据题意，得∶，解得：．答：经过天相遇．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．4．（2023秋·七年级课时练习）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？【答案】绳子长为36尺，井深8尺【分析】设井深为x尺，则根据“将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺”即可列出方程求解.【详解】设绳子长尺，依题意得，解得，所以．答：绳子长为36尺，井深8尺．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在弄清题意，找到等量关系并列出方程．5．（2023·安徽六安·统考模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？【答案】清酒2斗，醐酒有2斗．【分析】设清酒x斗，则醐酒有斗．根据“拿20斗谷子，共换了4斗酒”，即可得出关于x的方程，解之可得答案．【详解】解：设清酒有x斗，则醐酒有斗．根据题意，得，∴，．答：清酒2斗，醐酒有2斗．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．6．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________岁；(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？【答案】(1)(2)丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁【分析】（1）根据他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子列式即可，再根据儿子只活了他全部年龄的一半列式；（2）设丢番图的寿命为岁，则根据题中的描述他的年龄的童年生命的年儿子的年龄年，可列出方程，即可求解．【详解】（1）解：设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为岁，儿子的寿命为岁,故答案为：，；（2）设丢番图的寿命为岁，根据题意得：，解得：，当时，可得儿子的寿命为，答：丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解．【类型二一元一次方程的应用--销售问题】例题：（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）2023年4月16日至18日“金沙贡茶文化节”在岩孔贡茶古镇举行，开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约．其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品．已知甲种茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元．若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品3件，共需要700元．(1)求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元?(2)该采购商购进了甲种茶叶商品300件，乙种茶叶商品200件．在销售时，甲种茶叶商品的每件售价为110元，要使得这500件茶叶商品所获利润率为，求每件乙种茶叶商品的售价是多少元?【答案】(1)甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80，100元(2)每件乙种茶叶商品的售价是121元【分析】（1）设甲种茶叶商品每件的进价为元，则乙种茶叶商品每件的进价为元，由题意知，，计算求解，然后作答即可；（2）设每件乙种茶叶商品的售价是元，由题意知，，计算求解即可．【详解】（1）解：设甲种茶叶商品每件的进价为元，则乙种茶叶商品每件的进价为元，由题意知，，解得，∴（元），∴甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80，100元；（2）解：设每件乙种茶叶商品的售价是元，由题意知，，解得，，∴每件乙种茶叶商品的售价是121元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式训练】1．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售价150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120元，他只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与“每满100元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？【答案】(1)购进甲种服装25件(2)购买一件甲种服装需要元【分析】（1）设购进甲种服装x件，则购进乙种服装件，根据总进价用去元列方程求解即可；（1）该超市第二天推出的让利活动是先打折再进行满减活动，根据乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元列方程求解．【详解】（1）解：设购进甲种服装x件，则购进乙种服装件，根据题意得：，解得：．答：购进甲种服装25件．（2）该超市第二天推出的让利活动是先打折再进行满减活动，根据题意得：解得：，(元)，(元)．答：购买一件甲种服装需要109.5元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，设恰当未知数列出方程是解题的关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）某水果店第一次购进西瓜千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进千克西瓜，进货价比第一次每千克少元，两次进货共花费元．(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有%的损耗，第二次购进的西瓜有%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利元，每千克西瓜的售价为多少元?【答案】(1)元(2)元【分析】（1）设第一次购进西瓜的进价为每千克元，则第二次购进西瓜的进价为每千克元，根据题意列一元一次方程即可求解．（2）设每千克西瓜的售价为元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解．【详解】（1）设第一次购进西瓜的进价为每千克元，则第二次购进西瓜的进价为每千克元，依题意得：，解得：．答：第一次购进西瓜的进价为每千克元．（2）设每千克西瓜的售价为元，依题意得：解得：．答：每千克西瓜的售价为元．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键．3．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率；乙种商品每件进价40元，售价60元．(1)每件甲种商品的进价为元；每件乙商品的利润率为．(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于或等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按购物总金额打九折超过600元其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？【答案】(1)50；(2)购进甲种商品100件(3)购进乙种商品13件【分析】（1）设每件甲种商品的进价为x元，根据列出方程解方程即可，根据求出乙商品的利润率即可；（2）设购进甲种商品y件，则购进乙种商品件，根据甲、乙两种商品的总进价为21000元，列出方程，解方程即可；（3）设小华购买乙种商品总价为m元，根据小华购买乙种商品实际付款564元列出方程，解方程得出实际付款数，然后再求出件数即可．【详解】（1）解：设每件甲种商品的进价为x元，根据题意得：，解得：，每件乙商品的利润率为：；故答案为：50；．（2）解：设购进甲种商品y件，则购进乙种商品件，根据题意得：，解得：，（件），答：购进甲种商品100件．（3）解：（元），（元），∵，∴小华购买乙种商品总价超过600元，设小华购买乙种商品总价为m元，根据题意得：，解得：，（件），答：购进乙种商品13件．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程，熟练掌握，．4．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的标价为90元/副，优惠活动如下：销售量单价不超过10副的部分每副立减14元超过10副但不超过20副的部分每副立减22元超过20副的部分每副立减30元(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；③若该班级家委会购买了副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．【答案】(1)①152，②1100，③(2)25副【分析】（1）①根据购买“不超过10副”确定优惠条件，并列式计算；②根据购买“超过10副但不超过20副”确定优惠条件，并列式计算；③购买了副这种防蓝光眼镜，根据根据销售量“不超过10台的部分”、“超过20台的部分”确定优惠条件，然后列出代数式；；（2）设购买了x副这种防蓝光眼镜，需要对销售量分三种情况进行讨论．【详解】（1）①（元），故答案为：152；②（元），故答案为：1100；③（元）故答案为：（2）设他们购买了x副防蓝光眼镜，①当时，均价76元，不合题意，舍去；②当时，

解之得，，不在范围内，舍去；③当时，

解之得，答：他们购买了25副防蓝光眼镜．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，某经销商销售带有“蓉宝”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，若经销商购进30个甲类纪念品和40个乙类纪念品共需要4300元．已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表：种类种类进价（元/件）售价（元/件）甲a80乙90(1)甲、乙两种纪念品每件进价各多少元？(2)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共200个，全部售完后总利润（利润售价进价）为4700元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？(3)经销商第二次购进了与第（2）问中第一次同样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚1400元，求甲类纪念品打了几折？【答案】(1)甲纪念品每件进价50元，乙纪念品每件进价70元(2)甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个(3)甲类纪念品打了8折【分析】（1）根据题意列出关于a的一元一次方程，解方程即可求解；（2）设甲类x个，则乙类个，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解；（3）设甲类打y折，根据题意列出关于y的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）由题意得：，解得：（元），∴（元）．答：甲纪念品每件进价50元，乙纪念品每件进价70元．（2）设甲类x个，则乙类个，由题意得：，解得：（个），∴（个），答：甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个．（3）设甲类打y折，由题意得：，解得：．答：甲类纪念品打了8折．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，找准等量关系是解答本题的关键．【类型三一元一次方程的应用--方案问题】例题：（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（）(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？【答案】(1)，(2)购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多(3)按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元【分析】（1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：；（2）由（1）列等式求解即可；（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可．【详解】（1）解：A方案购买可列式：元；按B方案购买可列式：元；故答案为：，；（2）由（1）可知，当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，即解得．答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．（3）当时，按A方案购买需付款：（元）；按B方案购买需付款：（元）；按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：（元）；∵，∴省钱的购买方案是：按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．【变式训练】1．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、乙两单位共人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够人．经了解，该风景区的门票价格如下表：数量(张)张及以上单价(元/张)元元元如果两单位分别单独购买门票，一共应付元．(1)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？(2)如果甲单位有名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？【答案】(1)甲单位有人，乙单位有人(2)甲乙两单位联合起来选择按元一次购买张门票最省钱【分析】（1）设甲单位有退休职工人，则乙单位有退休职工)人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付元”建立方程求出其解即可；（2）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买张门票．分别求出三种方案的付费，比较即可求解．【详解】（1）解：设甲单位有退休职工人，则乙单位有退休职工人．依题意得：，解得：．则乙单位人数为：．答：甲单位有人，乙单位有人；（2）解：甲单位有名退休职工因身体原因不能外出游玩，甲单位外出游玩的人数有人，方案一：各自购买门票需元；方案二：联合购买门票需元；方案三：联合购买张门票需元；综上所述：因为．故应该甲乙两单位联合起来选择按元一次购买张门票最省钱【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用.解答时建立方程求出各单位人数是关键．2．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x只（），现从A、B两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元．A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；B超市的优惠政策为所有商品八折．(1)若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元（用含x的式子表示），到B超市购买费用是_____元（用含x的式子表示）；(2)在（1）的条件下，当购买书架x多少只时？到A、B两家超市购买费用相等．(3)学校要购买20张书柜和60只书架．①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元，到B超市购买费用是____元；②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并求出购买费用是多少元？【答案】(1)(2)25只(3)①9200，8640②8560元【分析】（1）根据两个超市的优惠政策列代数式即可；（2）根据购买费用相等以及（1）题中的代数式列方程求解即可；（3）①将书架数量为60分别代入（1）题中的代数式求解即可；②选择最便宜的方案后再代入计算即可．【详解】（1）解：A超市：由题意得，在A超市只需买20张书柜及只书架，∴A购买费用为：元B超市费用为：元故答案为：，（2）解：由题意得：

解得：，

答：购买25只书架时，到A、B两家超市购买费用相等．（3）①解：将代入得元将代入得元故答案为：9200，8640；②到A超市购买20个书柜（赠送20个书架），到B超市购买40只书架元．

答：购买费用是8560元．【点睛】本题主要考查列代数式以及一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解决本题的关键．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）年月日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完成全自主快速交会对接．中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．正式开启了中国空间站常态化运营的新篇章．中国空间站模型在某商店价格规定如下表：购买数量套套套以上每套价格元元元某校七年级（1）班和（2）班共人计划购买模型，其中（1）班有多人，不足人，经估算，如果两个班以班为单位每人购买一套，则一共应付元，问：(1)两班各有多少学生？(2)如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？(3)如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？【答案】(1)（1）班有学生名，（2）班有学生名；(2)两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省元；(3)组织（1）班去购买套模型最省钱．【分析】（1）由（1）班人数确定（2）班人数在范围内，且每套售价元，依题意列方程求解即可；（2）两班共人，超过，计算出即为所省的钱；（3）计算出套模型的钱数与实际比较即可．【详解】（1）因为（1）班有多人，所以根据题意可知，（2）班人数在范围内，且每套售价元．设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生．解得：答：班有学生名，（2）班有学生名．（2）（元）答：如果两班联合起来，作为一个团体购买，可省元．（3）因为（1）班有名学生，正常花费元；而买套模型则花费元，元，所以，组织（1）班去购买套模型最省钱．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；解题的关键是正确建立方程求解，结合题意分析比较．4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）有下列两种移动电话计费方法：月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫A套餐381000.2免费B套餐985000.25免费其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费．(1)小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用B套餐节省_________元．(2)小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择B套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间．(3)设主叫时间为t分钟，直接写出t满足什么条件时，B套餐省钱．【答案】(1)40(2)400分或900分(3)【分析】（1）根据“A套餐”“B套餐”的计费方式，分别求得通话时间200分钟时的计费，再进行比较即可得出结论；（2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x分，分别讨论若和，根据“A套餐”“B套餐”的计费方式，列出关于x的一元一次方程，解之即可，（3）根据（2）所求即可得出结论．【详解】（1）根据题意得：∵∴A套餐需交费：（元），∵∴B套餐需交费98元所以，选用A套餐比选用B套餐节省的费用为：（元）故答案为：40；（2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x分，若，根据题意得：，解得：，若，根据题意得：，解得：，综上所述，小宇的爸爸7月份的主叫时间为400分或900分（3）当，选择B套餐省钱【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程，正确掌握分类讨论思想是解题的关键．【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】例题：（2023秋·七年级课时练习）目前，某市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）第1档不超过180度的部分第2档超过180度的部分(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费________元．(2)若该市某户12月用电量为度，请用含的式子分别表示和时该户12月应交电费多少元．(3)若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度？【答案】(1)102(2)当时，该户12月应交电费为元；当时，该户12月应交电费为元；(3)该户12月用电量为240度【分析】（1）根据总价单价数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论；（2）分及两种情况，用含的代数式表示出该户12月应交电费；（3）由（1）可得出，结合（2）的结论即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：，，，（元）．故答案为：102．（2）解：当时，该户12月应交电费为元；当时，该户12月应交电费为，，（元）．（3）解：，，，．答：该户12月用电量为240度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．【变式训练】1．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收费标准如下表：每户每月用电量（度）电费（元/度）不超过200度超过200度且不超过500度的部分超过500度的部分(1)小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？(2)小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为元/度，求小明家今年7月份用电多少度？【答案】(1)3月份应缴电费166元(2)7月份用电750度【分析】（1）根据题意列算式求解即可；（2）设7月份用电x度，依题意可得，进而列一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：（元），答：3月份应缴电费166元．（2）解：设7月份用电x度，依题意可得，则，解得，答：7月份用电750度．【点睛】本题考查有理数四则混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式和方程是解答的关键．2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一家通讯公司推出两种移动电话计费方法，如表所示：计费方法A计费方法B每月基本服务费（元/月）68元98元每月免费通话时间（分）200分500分超出后每分钟收费（元/分）0.25元0.20元(1)若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为元，使用计费方法B的用户话费为元；(2)若月通话时间是x分钟，则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？【答案】(1)93；98；(2)按种计费方法的用户话费为元，按种计费方法的用户话费为元；(3)当通话320分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出月通话时间是5小时，计费方法和对应的费用；（2）根据题意和表格中的数据，可以含的代数式表示出按、两种计费方法的用户话费；（3）根据题意，可以分两种情况，然后列出相应的方程，求解即可．【详解】（1）小时（分钟），若月通话时间是5小时，则使用计费方法的用户话费为：（元，使用计费方法的用户话费为：98元，故答案为：93；98；（2）由题意可得，若月通话时间是分钟，按种计费方法的用户话费为：元，按种计费方法的用户话费为：元；（3）当时，令，解得；当，显然方式比方式便宜，答：当通话320分钟时，按、两种计费方法所需的用户话费相等．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．3．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：价目表每月用电量价格不超过180千瓦时的部分0.5元/千瓦时超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分0.6元/千瓦时超过280千瓦时的部分0.8元/千瓦时(1)若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；(2)若小明家8月份用电a千瓦时（其中），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简）(3)若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时．【答案】(1)102元(2)(3)500千瓦时【分析】（1）由小明家8月份用电200千瓦时，可知小明家8月份电费应分2部分计算；（2）由，可知小明家8月份电费应分3部分计算；（3）先根据缴电费326元判断用电量的范围，再求解即可．【详解】（1）（元）答：应缴电费102元．（2）（3）由于用电280千瓦时应缴电费为元，而，所以用电量超过了280千瓦时，故由（2）得答：小明家8月份用电500千瓦时．【点睛】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法，根据题意列式或列方程是解题关键．4．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市2022年自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题：每月用水量价格价不超出的部分元目超出不超出的部分4元表超出的部分元(1)若某用户9月份用水，则应交水费__________元；(2)若该用户10月份应收水费77元，则用水__________(3)若该用户11月份和12月份两个月共用水（11月份用水量超过了12月份），设12月份用水，求该用户两个月各交水费多少元．（用含的代数式表示，并化简）【答案】(1)25(2)22(3)11月应交水费元，12月份当时，交水费为元；当时，总水费为元．【分析】（1）根据不超出的部分，价格为元/，据此计算即可；（2）设该用户10月份用水x，超出的部分为，然后列一元一次方程求解即可；（3）设12月份用水；可知，然后根据12月份用水量分类讨论即可解答；【详解】（1）解：∵不超出的部分，价格为元，∴应收水费为：（元）．故答案为25．（2）解：设该用户10月份用水x，则由题意可得：∴，解得：．故答案为22．（3）解：月共用水月份用水量超过了12月份月份用水量大于，月用水，则11月份用水，此用户11月应交水费为2.元12月份用水量，①当时，12月应交水费：元；②当时；12月应交水费：元；答：此用户11月应交水费元，12月份当时，交水费为元；当时，总水费为元．【点睛】本题考查了列代数式中的分段计费问题、整式的加减等知识点；熟练运用分类讨论的思想是解题的关键．5．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：消费金额（元）小于或等于500元500～10001000～15001500以上返还金额（元）060100150注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1200元的商品，则消费金额为960元，获得的优惠额为（元）．(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)若顾客在该商场购买一件标价x元的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示）(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元的商品后，第二次又购买了一件标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？【答案】(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元(2)当时，顾客获得的优惠额是元，当时，顾客获得的优惠额是元(3)这名顾客第一次购买商品的标价是1990元【分析】（1）根据已知条件列出算式求出结果；（2）①分情况讨论当时，②时，列出算式；（3）在（2）的基础上列出方程解出符合条件的数．【详解】（1）∵商场内所有商品按标价的80%出售，∴（元），∵，∴顾客获得的优惠额是100元，打折后优惠额：（元），∴购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是（元），答：购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元；（2）∵顾客在该商场购买一件标价x元的商品，①当时，顾客获得的优惠额是元，②当时，顾客获得的优惠额是元，综上所述：当时，顾客获得的优惠额是元，当时，顾客获得的优惠额是元；（3）①时，，解得，②时，，解得（舍去），综上所述这名顾客第一次购买商品的标价是1990元．【点睛】本题考查一元一次方程应用、列代数式，掌握列代数式的关键条件，分情况讨论是解题关键．【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）[应用意识]如图，数轴上两点所表示的数分别为为原点，为数轴上一动点且表示的数为．点以2个单位长度/秒的速度，点以3个单位长度/秒的速度，分别自两点同时出发，相向而行，在数轴上运动．设运动时间为秒．(1)若点在点处相遇，求点所表示的数；(2)若，求的值；(3)当时，求的值；(4)若同时一只宠物鼠以4个单位长度/秒的速度从点出发，与点相向而行，宠物鼠遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回……直到点相遇为止．求宠物鼠在整个过程中所经过的路程．【答案】(1)点所表示的数是1(2)的值是3或5(3)的值是2或4(4)12个单位长度【分析】（1）根据相遇时，表示同一个数得：，解得的值，即可得到答案；（2）运动后表示的数为，运动后表示的数为，故，或，可解得答案；（3）由，得或，可解得答案；（4）用时间乘以速度即可．【详解】（1）解：依题意，得，解得，即点运动3秒后相遇．．故点所表示的数是1．（2）依题意，得，解得；或，解得．故的值是3或5．（3）依题意，得，解得；或，解得．故的值是2或4．（4）由（1）知，点同时出发，相向而行，经过3秒后相遇，即宠物鼠运动的时间为．．故宠物鼠在整个过程中所经过的路程是12个单位长度．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，表示出运动后表示的数为，运动后表示的数为.【变式训练】1．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，点B在点A左边且点A点B的距离，动点P、Q分别从点A、B两点同时向左移动，点P的度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．(1)求出数轴上点B表示的数；(2)求经过几秒点P追上点Q？(3)经过几秒，P、Q两点的距离为6个单位长度，并求出此时点P表示的是多少？【答案】(1)(2)7秒(3)经过4秒，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是；经过10秒，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是【分析】（1）根据数轴上表示数的方法和求解即可；（2）设经过t秒以后，点P追上点Q，根据题意列出方程求解即可；（3）设经过x秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，根据题意分两种情况，分别列出方程求解即可．【详解】（1）数轴上点B表示的数是；（2）设经过t秒以后，点P追上点Q．则，解得：．∴经过7秒，点P追上点Q；（3）设经过x秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，依题意有：①相遇前P、Q两点的距离为6个单位长度，，解得，则点P表示的数是；②相遇后P、Q两点的距离为6个单位长度，，解得．则点P表示的数是．经过4秒，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是；经过10秒，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（2023秋·陕西西安·七年级统考期末）问题提出：（1）如图，点在数轴上表示的数分别是，且满足，则______，______．

问题探究：（2）将小木棒放到图上的位置．长为，长为6，将以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时以3个单位长度/秒的速度向左运动，求两根木棒擦身而过，从点与点相遇到点与点相遇经历的时间．问题解决：（3）有一条长为千米的双向多道隧道．某时刻从隧道两端点分别驶来两列高铁（此时两车车头恰好在随道两端点）．甲车长240米．乙车长200米，甲车车速为3千米/分钟，乙车车速为2千米/分钟．请直接写出甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间．【答案】（1），；（2）秒；（3）秒【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，解之即可得出，的值；（2）设两根木棒擦身而过，从点与点相遇到点与点相遇经历的时间为秒，利用路程速度时间，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）将两车的速度换算成米秒，设甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间为秒，利用路程速度时间，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1），，，，．故答案为：，10；（2）设两根木棒擦身而过，从点与点相遇到点与点相遇经历的时间为秒，根据题意得：，解得：．答：两根木棒擦身而过，从点与点相遇到点与点相遇经历的时间为秒；（3）3千米分钟米秒，2千米分钟米秒．设甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间为秒，根据题意得：，解得：．答：甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间为秒．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、偶次方及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．3．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示2