2022-2023学年上海市黄浦区八年级上学期期中考试数学试卷带讲解

2022学年第一学期期中考试试卷八年级数学学科（满分100分，考试时间90分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.二次根式、、、中最简二次根式有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】解：、，即最简二次根式有和共2个，故选B．【点睛】本题考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.下列二次根式中与互为有理化因式的是（）A. B. C. D.C【分析】两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，据此得出答案即可．【详解】，与二次根式互为有理化因式的是．故选：C【点睛】本题考查了互为有理化因式的概念，熟记其定义是解题的关键．3.下列函数（其中x是自变量）中，一定是正比例函数的是（）A. B. C. D.B【分析】根据正比例函数的定义判断即可．【详解】解：A、，该函数是反比例函数，故该选项错误；B、，该函数是正比例函数，故该选项正确；C、，该函数是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误；D、，当时，该函数不是正比例函数，故该选项错误．故选B．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如的函数（k为常数，x的次数为1，且），那么就叫做正比例函数．4.关于的方程是一元二次方程的条件是（）A. B. C. D.D【分析】根据一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0的整式方程为一元二次方程即可判断．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程满足的条件是解题的关键．5.下列方程中，无实数根的方程为（）A. B. C. D.B【分析】根据一元二次方程根判别式逐项判断即可．【详解】解：A、∵，∴，∴，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．B、∵，∴该一元二次方程没有实数根，故B符合题意．C、∵，∴该一元二次方程有两个不相等实数根，故C不符合题意．D、∵，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，，故D不符合题意．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，熟练运用一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情况是解答本题的关键．6.下列问题中两个变量成正比例的是（）A.正方形面积和它的边长B.一条边确定的长方形，其周长与另一边长C.圆面积与它的半径D.半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数D【分析】根据正比例函数的定义逐项判断，即可得出答案．【详解】解：正方形面积等于边长的平方，因此正方形面积和它的边长不成正比例，故A选项不合题意；长方形的周长等于长、宽之和的两倍，因此一条边确定的长方形，其周长与另一边长不成正比例，故B选项不合题意；圆的面积等于与半径平方的积，因此圆的面积与它的半径不成正比例，故C选项不合题意；弧长，半径确定的圆中，是常数，因此弧长与该弧长所对圆心角的度数n成正比例，故D选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7.化简：=_______.【分析】根据化简二次根式的法则计算即可.【详解】解：=故答案为．【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟练掌握化简二次根式的法则是解题的关键.8.方程的解为__________．【分析】根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出△的值，最后套用求根公式解得．【详解】解：a=-1，b=-5，c=6，

△=b2-4ac=25+24=49

x=，

所以．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法或配方法，这两种方法适用于任何一元二次方程．9.函数y=的定义域为_____．x＞﹣3．【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．【详解】∵函数y=中，x+3＞0，解得x＞﹣3，∴函数y=的定义域为x＞﹣3，故答案为x＞﹣3．【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．10.的一个有理化因式是___．【分析】根据有理化因式的定义，即可求解．【详解】解：∵，∴的一个有理化因式是．故答案为：【点睛】本题主要考查了有理化因式的定义，熟练掌握有理化因式的概念：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式是解题的关键．11.若最简二次根式和是同类二次根式，那么的值是_____________．0【分析】先根据同类二次根式的定义求出a、b，再代入计算即可．【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，∴，，∴，，∴，故答案为0．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．12.写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是______________________________．【分析】根据一元二次方程的根的情况求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1，另一个根为，∴可列，化为一般式为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．13.在实数范围内分解因式：_________________．【分析】先解方程，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．14.如果正比例函数的图像y随x的减小而增大，那么k的取值范围是________．【分析】先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【详解】∵正比例函数中，y随x的减小而增大，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，解决本题的关键是掌握正比例函数中，当时，y随x的减小而增大．15.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品原来每盒200元，经过两次降价，每次降价的百分率相同，现在每盒售价128元，则这种药品每次降价的百分率为____________．【分析】设这种药品每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设这种药品每次降价的百分率为，根据题意得，，解得（舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．16.等腰三角形的周长是10厘米，腰长是厘米，底边长是厘米，请写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围____________．【分析】根据三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为10厘米，即可得出腰长y关于底边长x的函数解析式，再由三角形的三边关系即可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出x的取值范围．【详解】解：由已知得：，三角形的三边关系式可得：，解得：．故y与x的函数解析式为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元一次不等式组，解题的关键是根据等腰三角形的周长为10厘米得出腰长y关于底边长x的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的周长找出腰长y关于底边长x的函数解析式是关键．17.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则____________．或##或1【分析】依题意的两根为，结合题意，通过求解方程，即可得到答案；【详解】解：∵关于x的方程的参数同时满足和，∴方程的两根为，∵，∴，∵与互为“同伴方程”，∴或．故答案为：或．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程方程的解的定义，求得的两根为是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，OA1B1，B1A1A2，B2B1A2，B2A2A3，B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2022的坐标是____．（22021，22021）【分析】由OA1=1得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点A2的坐标，进而得到点B2的坐标，然后再一次类推得到点B2021的坐标．【详解】解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，∴△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1（1，1），同理：△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2=1，B1A2=∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2B2=2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…，Bn（2n-1，2n-1），∴B2022（22021，22021），故答案为：（22021，22021）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律．三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）19.计算：．【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．20.计算：．【分析】先把除法转换为乘法，再分别计算系数和被开方数，最后化简即可．【详解】【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键．二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式．21.解方程：．【分析】根据完全平方公式进行求解一元二次方程即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握运用完全平方公式求解．22.解方程：．【分析】先将二次系数化为1，然后利用配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，∴，∴，即，∴，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键．23.解方程：．【分析】根据因式分解法求解一元二次方程即可．【详解】解：整理，得提公因式，得∴．【点睛】本题考查了求解一元二次方程，解决本题的关键是掌握提公因式法和十字相乘法求解．24.已知y与成正比例，且当时，．（1）求y与x的函数解析式．（2）请判断点是否在此函数上，请说明理由．（1）（2）此函数上，理由见解析【分析】（1）直接用待定系数法作答即可；（2）将代入计算即可．【小问1详解】解：y与成正比例，设，将，代入得：，解得，故函数解析式为【小问2详解】解：将代入得：，故在此函数上．【点睛】本题考查了待定系数法，以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．四、解答题：（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分）25.已知关于的x方程有两个相等的实数根，求k的值及这时方程的根.见解析【详解】试题分析：将原方程整理成一般式，根据方程有两个相等的实数根即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k值，将k的值代入原方程解方程即可得出结论．试题解析：==即当，=0当，=0.26.如图，在甲、乙两名同学进行400米跑步比赛中，路程S（米）与时间（t）之间的函数关系的图像分别为折线OAB和线段OC请根据图上信息回答下列问题（1）先到达终点；（2）第秒时，追上；（3）比赛过程中，的速度适中保持不变；（4）优胜者在比赛过程中所跑路程S（米）关于时间t（秒）的函数解析式及定义域为.（1）乙；（2）40，乙，甲；（3）乙；（4）S=8t（0≤t≤50）．【分析】（1）（2）（3）观察图象，直接得出结论；（4）甲的图象是折线，说明甲的运动速度有变化，乙的图象为线段，说明速度保持不变，根据：路程=速度×时间，求速度，列出函数关系式．【详解】依题意，得（1）乙先到达终点；（2）第40秒时，乙追上甲；（3）比赛全程中，乙的速度始终保持不变；（4）乙的速度为：400÷50=8，∴S=8t（0≤t≤50）．故答案为（1）乙；（2）40，乙，甲；（3）乙；（4）S=8t（0≤t≤50）．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于结合函数图象进行解答.27.第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长；设这个长方形的宽为米，则长为_________米．（用含x代数式表示）