高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册 第二课时　抛物线的标准方程及性质的应用(习题课)

第二课时抛物线的标准方程及性质的应用(习题课)题型突破·析典例01知能演练·扣课标02目录CONTENTS01题型突破·析典例⁠题型一直线与抛物线的位置关系【例1】

已知直线l:y＝kx＋1,抛物线C:y2＝4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.

①当Δ＞0,即k＜1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;②当Δ＝0,即k＝1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;③当Δ＜0,即k＞1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k＝1或0时,l与C只有一个公共点;当k＜1,且k≠0时,l与C有两个公共点;当k＞1时,l与C没有公共点.通性通法直线与抛物线的位置关系的判断方法设直线l:y＝kx＋b,抛物线:y2＝2px(p＞0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2＋(2kb-2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ＞0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ＝0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ＜0时,直线与抛物线相离,无交点.⁠

已知抛物线方程为y2＝8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是

⁠.

解析:由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y＝k(x＋2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2＋(4k2-8)x＋4k2＝0,当k＝0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ＝(4k2-8)2-4k2·4k2＝64(1-k2)≥0,解得-1≤k＜0或0＜k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[-1,1].答案:[-1,1]题型二抛物线的焦点弦问题

A.x2＝8yB.x2＝4y

答案

CC.y2＝8xD.y2＝4x通性通法

通过抛物线的特殊性质,脱离于传统的联立方程组求解,较为迅速的得到结果.⁠

答案:-4

【例3】

抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.

通性通法

⁠

经过抛物线C:y2＝2px(p＞0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,则p＝

⁠.

答案:2

【例4】

过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若｜AF｜＝2｜BF｜,则｜AB｜＝(

)A.4C.5D.6

答案

B通性通法

将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系,转化为焦半径问题.⁠如图,过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且｜AF｜＝4,则线段AB的长为(

)A.5B.6

⁠1.已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点,则直线l与抛物线的位置关系是(

)A.相交B.相切C.相离D.相交或相切解析:D

当直线l与y轴平行或重合时,直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)有一个交点,此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在,直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时,直线l与抛物线相切.

C.13D.9

3.过抛物线C:y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若｜AF｜＝6,则｜BF｜＝(

)A.9或6B.6或3C.9D.3

4.过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则｜AB｜＝

⁠.

答案:105.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则k＝

⁠.

解析:当k＝0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消去y,得k2x2＋4(k-2)x＋4＝0,由题意Δ＝16(k-2)2-16k2＝0,∴k＝1.综上,k＝0或1.答案:0或102知能演练·扣课标⁠1.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1＋y2＝6,则｜P1P2｜＝(

)A.5B.6C.8D.10解析:C

抛物线x2＝4y的准线为y＝-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点到准线的距离分别是y1＋1,y2＋1,所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8.故选C.2.与直线2x-y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(

)A.2x-y＋3＝0B.2x-y-3＝0C.2x-y＋1＝0D.2x-y-1＝0

C.1D.2

A.5pB.10pC.11pD.12p解析:B

直线方程代入抛物线方程,可得x2-4px-p2＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝4p,所以y1＋y2＝9p.因为直线过抛物线的焦点,所以｜AB｜＝y1＋y2＋p＝10p.5.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上三点A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F为抛物线的焦点,则下列说法正确的是(

)A.抛物线的准线方程为x＝-1C.若A,F,C三点共线,则y1y2＝-1D.若｜AC｜＝6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2

6.直线y＝x-1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是

⁠.

答案:(3,2)

8.已知直线l:y＝x-1经过抛物线C:y2＝2px(p＞0)的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则｜AB｜＝

⁠.

答案:89.过抛物线C:y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且A,B两点的纵坐标之积为-4,求抛物线C的方程.

10.如图,已知抛物线C:y2＝2px(p＞0)过点A(1,1).(1)求抛物线C的方程;解:(1)由题意得2p＝1,所以抛物线方程为y2＝x.(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.

⁠

B.(1,±2)C.(1,2)

A.y2＝6xB.y2＝8xC.y2＝16xD.y2＝20x

13.抛物线y2＝4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为

⁠.

14.已知抛物线C:y＝2x2和直线l:y＝kx＋1,O为坐标原点.(1)求证:l与C必有两交点;解:(1)证明:联立抛物线C:y＝2x2和直线l:y＝kx＋1,可得2x2-kx-1＝0,所以Δ＝k2＋8＞0,所以l与C必有两交点.(2)设l与C交于A,B两点,且直线OA和OB斜率之和为1,求k的值.

⁠15.已知F为抛物线C:y2＝4x的焦点,过F作两条互