数学学案：课堂探究平面的基本性质与推论

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一文字语言、图形语言和符号语言的转换我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数与几何中的差异．首先是结合集合知识了解规定符号的背景，找出它们的区别与联系:（1)“∈，∉，⊂，∩”等符号来源于集合符号,但在读法上用几何语言,例如,A∈α，读作“点A在平面α内”，a⊂α读作“直线a在平面α内",α∩β＝l读作“平面α，β相交于直线l”．（2)在“A∈α，A∉α，l⊂α，l⊄α”中“A”视为平面α(集合）内的点(元素），直线l(集合)视为平面α（集合)的子集．明确这一点，才能正确使用集合符号．【典型例题1】如图所示，写出图形中的点、直线和平面之间的关系．图（1）可以用几何符号表示为________________．图（2）可以用几何符号表示为________________．解析：图(1）可以用几何符号表示为α∩β＝AB,a⊂α，b⊂β,a∥AB,b∥AB．即平面α与平面β相交于直线AB，直线a在平面α内，直线b在平面β内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．图（2)可以用几何符号表示为α∩β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，C∈β,B∉MN，C∉MN．即平面α与平面β相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上，点B在α内但不在直线MN上，点C在平面β内但不在直线MN上．答案：α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥ABα∩β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN探究二点线共面问题(1)证明点线共面的主要依据：①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（基本性质1)；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（基本性质2及推论)．（2）证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．【典型例题2】(1)有下列四个说法:①过三点确定一个平面；②矩形是平面图形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域．其中错误的序号是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．②和③解析：不共线的三点确定一个平面,故①错；三条直线两两相交，交于三点时,确定一个平面，交于一点时，可确定一个或三个平面，故③错．答案：B（2）如图所示,已知直线a与两平行直线b,c都相交．求证：a，b，c三线共面．思路分析:有两种方法．①先用两平行直线b，c确定一个平面，再证a也在这个平面内;②先由两条相交直线a，b确定一个平面，再证c也在这个平面内．证法一：因为b∥c,则b，c确定一个平面，设为α，如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，所以A∈α，B∈α，所以AB⊂α，即直线a⊂α．所以a，b，c三线共面．证法二:因为a与b是相交直线，则a，b确定一个平面,设为α，如图，设a∩c＝A，过A点在α内作直线c′∥b,因为c∥b，c′∥b，所以c∥c′．又因为c与c′相交于点A，所以c与c′重合．所以a,b,c三线共面．点评本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式,但整体套路都是先用部分对象确定一个平面,再证明剩余对象都在这个平面内．探究三点共线、线共点问题证明多点共线，通常是过其中两点作一条直线，然后证明其他的点也在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点同时在两个相交平面内，然后根据基本性质3就得到这些点在两个平面的交线上．证明三线共点问题，可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证另两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看做某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证这两点重合，从而得到三线共点．【典型例题3】（1)如图，α∩β＝l,在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α,CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点）．证明：如图,在梯形ABCD中，设AB∩CD＝E，因为AB⊂α，CD⊂β，所以E∈α,E∈β．又α∩β＝l，所以E∈l，即AB,CD，l共点(相交于一点)．(2）如图所示，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R．求证：点P，Q，R在同一条直线上．证明：已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本性质3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l．因为P∈直线AB，所以P∈平面ABC．又直线AB∩α＝P，所以P∈α．所以P是平面ABC与平面α的公共点．因为平面ABC∩平面α＝l，所以P∈l．同理，Q∈l,R∈l．所以点P,Q，R在同一条直线l上．探究四交线问题画两平面的交线时，关键是找到这两个平面的两个公共点,这两个公共点的连线即是．在找公共点的过程中往往要借助于基本性质1和基本性质3，一般是用基本性质1找到,再用基本性质3证明．【典型例题4】如图所示，G是正方体ABCD.A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G及直线AC；（2)过三点E，F，D1．思路分析:找出两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线．解:（1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC，则MA，CN，MN,AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND