高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册 4.3.1等比数列的概念及通项公式

探究新知一、数列的定义一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项

首项第2项第n项简记为{an}数列的一般形式可以写成：探究新知二、数列的分类

75，87，96，103，110，5，10，20，40，80，

(1)按项数的多少分：项数有限的数列叫有穷数列项数无限的数列叫无穷数列有穷数列有穷数列(2)按项之间的大小关系:递增数列：递减数列：摆动数列：常数列：无穷数列递减数列无穷数列常数列无穷数列递增数列，摆动数列，递增数列，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；各项都相等的数列.

构成了一个数列{f(n)}探究新知三、数列与函数的关系（自变量）（函数值）数列是一种特殊的函数

从函数的观点看，是的函数。

数列的项序号定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.递推公式通项公式项与序号之间的关系相邻两项(或多项）之间的关系（n≥2）知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.：1，3，9，27，….n＝1，，，n≥2.一.数列的递推公式区别两者都能确定一个数列联系问3：数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系？数列通项公式1，2，3，4，…1，3，5，7，…2，4，6，8，…1，4，9，16，…1，2，4，8，…-1,1,-1,1,…9,99,999,9999,…归纳总结定义：我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,，即Sn=a1+a2+...+an如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

探究新知前n-1项之和Sn与an的关系式探究新知归纳总结数列的单调性：

an+1>an⟺

递增数列；

an+1<an⟺

递减数列；an+1=

an⟺

常数列；

如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列．数列的单调性的判断：（1）作差法（比较差与0的大小）；（2）利用数列的通项公式所对的函数的单调性判断．数列的其他性质：（1）最值：利用数列的单调性求最值，或求对应函数的最值(注意变量取正整数)；

（2）周期性：可以通过列举直观感知数列的周期．3.等差数列通项公式的性质：1.等差数列定义：

2.等差数列的通项公式：

复习引入若

an-an-1=d(常数)(n≥2)

{an}为等差数列.或:

若an+1-an=d(常数)

(n∈N*)

{an}为等差数列

4.等差中项：一.等差数列的性质探究新知线性运算一.等差数列的性质探究新知一.等差数列的性质探究新知二.等差数列的对称性质—设项技巧归纳总结

一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和，常用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an1.数列的前n项和：2.Sn与an的关系：3.等差数列的前n项和公式：复习引入首末项的平均数即为前n项的平均数等差数列的判定方法①定义法：③通项法：②等差中项法：④前n项和公式法：复习引入等差数列的前n项和Sn与函数的关系(3)求Sn的最值：(1)一般形式：(2)图象：结合二次函数的开口/对称轴分析探究新知1,3,5,7,…-1,-3,-5,-7,…8,6,4,2,0,-2,…7,5,3,1,-1,-3,…-4,-2,0,2,4,6,…-5,-3,-1,1,3,…等差数列的前n项和Sn与函数的关系探究新知(1)当a1>0，d<0时，Sn取得最大；通项法：利用an的符号n同时满足

n同时满足探究新知求等差数列前n项和Sn的最值的方法(2)当a1<0，d>0时，Sn取得最小。二次函数法：由

利用二次函数对称轴求最值及取得最值时n的值（

）

2024/11/254.3.1

等比数列的概念及通项公式第四章

数列我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数"，类比等差数列的研究思路和方法，本节课我们探究学习等比数列。探究新知

探究新知实例2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”探究新知

意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：细菌个数分裂次数第一次2第二次4第三次8第n次……

探究新知2，4，8，16，32，64，…

⑤类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？

取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．共同规律：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.探究新知一.等比数列的概念若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列；这个常数叫做公比，记为q(q≠0).探究新知1:公比q能否等于0？等比数列中的项能否等于0？2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数列吗？为什么？4：既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？举例说明。都不能为零常数列常数列都是等差数列，但却不一定都是等比数列。如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。探究新知思考回答以下问题如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列

一.等比数列的概念若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列；这个常数叫做公比，记为q(q≠0).注：①等比数列的每一项和公比都不为0.探究新知②非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.③当q=1时，为常数列。(5)

0,1,2,4,8,…(6)

2,0,2,0,2,…(7)

1,a,a2,a3,a4,…a≠0时，是等比数列，公比为aa=0时，不是等比数列所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号课堂练习1.判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比.二.等比数列的通项公式的推导

类比不完全归纳法得an=a1+(n-1)d不完全归纳法得an=a1qn-1探究新知

类比累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2二.等比数列的通项公式的推导探究新知三.等比数列的通项公式探究新知巩固：等比数列的通项公式课堂练习在下列两数中插入一个数，使其三个输成的等比数列

①

2，___，8；

②-1，____，-4注：三个数a,b,c成等比数列探究新知注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；

而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.③一个等比数列从第