数学学案：例题与探究等差数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1已知a，b，c，d四数依次成等差数列,且a2+b2+c2+d2=94，ad—bc=-18，求a，b,c,d.思路分析：在等差数列中,已知五个元素a1,an，n，d，Sn中任意三个，便可求出其余的两个.已经给出两个等式,而未知数有四个，应该有四个方程才行.那么，能否减少未知数个数呢?考虑到等差数列的结构,不妨取公差为2d,这样四个数可表示为x—3d，x—d,x+d，x+3d,根据其对称的表达式，很容易解出x,d.解:将a,b，c，d表示为x-3d，x-d，x+d,x+3d.由题意，有即∴d2=,x2=.当x=,d=时，四个数依次为-1,2，5，8;当x=，d=时，依次为8，5,2,-1;当x=,d=时,四个数依次为-8，-5，—2，1;当x=,d=时,四个数依次为1,-2,—5，—8。绿色通道：在设等差数列时,适当地注意对称性可有效地减少运算,如三数成等差,可设为a-d，a,a+d；四个数成等差，可设为a-3d,a—d,a+d，a+3d,这样在计算时，如遇到乘积、平方和这些我们平时很“怵"的问题,都可以迎刃而解了。黑色陷阱:在设a,b，c,d时,很容易设等差数列的公差为m，则b=a+m,c=a+2m,d=a+3m,这样运算量就太大了,且运算量大导致错误的机率大。变式训练（2006全国高考Ⅰ,理10）设｛an｝是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12A。120B.105C.90思路解析：{an｝是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,设a1=a2—d，a3=a2+d，则可得3a2=15，（a2—d）a2解得a2=5,a1a3a12=a2+10d=35.∴a11+a12+a13=3a12=105。答案:B例2等差数列｛an｝中,a1=25，S17=S9,问数列前多少项之和最大，求此最大值。思路分析:数列的首项是正数,而且求出的公差是负数，可知这个数列是递减数列,到某一项开始出现负项,则这个数列存在前n项和最大的情况,即所有的正数项的和是最大的。解法一:由得从而Sn=25n+（—2)=-（n-13)2+169。故前13项和最大，且最大值为169。解法二:由S17==9a5以及S17=S9,得d=—2.所以an=a1+(n-1）d=25—2（n—1)=27—2n。显然，a13=1,a14=—1.所以前13项和最大,最大值为S13==169。绿色通道:数列前n项和的最值问题的解决可从两个方面思考：(1)求出前n项和公式,利用函数的最值解决;(2）结合数列的特征,运用函数单调性的思路解决。当一个数列是递减数列时，一定会出现一个时刻:在此之前的项都是非负数，而后面的项都是负数，显然最值问题很容易判断。第二种思路运算量小,可简化运算，提高计算的正确率。这两种思路都是在函数思想指导下完成的。变式训练设等差数列｛an}的前n项和为Sn,已知a3=12，且S12＞0,S13＜0.(1）求公差d的取值范围.(2）该数列的前几项的和最大？说明理由.思路分析:为了求公差d的取值范围,显然要设法把S12,S13表达成d的表达式，这一点是不难做到的,然后利用S12＞0,S13＜0计算d的范围.不过从已知条件可以估计{an}是一个递减数列，d是一个负数。（1）解:根据题意，有整理得解之，得＜d＜—3.(2）解法一：解关于n的不等式组由，可得所以5.5＜n＜7,即n=6.所以S6最大.解法二：利用前n项和公式,得Sn=na1+d=n(12-2d）+d=n2+（12—d)n=［n-(5—）］2-［（5-)］2.∵d＜0，∴［n(5-）]2最小时，Sn最大.由于＜d＜-3,则6＜(5-)＜6。5,∴n=6时，[n（5-)]2最小，因此S6最大.例3（2006北京高考,文20)设等差数列{an｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(1）若a11=0，S14=98,求数列｛an｝的通项公式；（2）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式。思路分析：在解题过程中正确选择前n项和公式的形式以达到简化运算的目的,在根据不等式求解数列的首项和公差时,应注意a1，d都是整数,可先确定其中一个变量的范围，然后再求另一个变量.解:（1）由S14=98,得2a1+13d=14。又a11=a1+10d=0，故解得d=—2,a1=20.因此,｛an}的通项公式是an=22—2n，n=1,2，3,….（2）由①+②,得-7d＜11,即d＞。①+③，得13d≤-1,即d≤.于是＜d≤。又d∈Z,故d=-1。④将④代入①②，得10＜a1≤12。又a1∈Z，故a1=11或a1=12。所以，所有可能的数列{an｝的通项公式是an=12-n和an=13—n，n=1,2,3,….绿色通道：解决等差数列中的问题，关键是数列中的基本元素的求解,抓住首项和公差这两个量.变式训练1（2006广东高考,6）已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A。5B。4C。3思路解析:d=3.答案:C变式训练2（2006天津高考，理7）已知数列｛an}、｛bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1,b1,且a1+b1=5，a1,b1∈N+。设cn=(n∈N+)，则数列{cn｝的前10项和等于（）A.55B。70C.85思路解析:cn=(n∈N+），则数列{cn｝的前10项和等于++…+=++1+…+，=a1+(b1-1)=4，∴++…+=4+5+6+…+13=85.答案:C例4（2006安徽高考,文21）在等差数列{an}中,a1=1,前n项和Sn满足条件,n=1，2，….（1)求数列{an｝的通项公式;(2)记bn=(p＞0），求数列{bn｝的前n项和Tn.思路分析：根据已知条件,令n=1,便可求得a2，从而求得公差d，求出通项公式；在求数列{bn｝前n项和时，要观察分析数列的特征，充分利用数列项的特征,对于所含参数，要进行分类讨论.解：(1）设等差数列｛an｝的公差为d，由，令n=1，得.所以a2=2，即d=a2-a1=1。所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.(2)由bn=，得bn=npn.所以Tn=p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1+npn.当p=1时,Tn=；当p≠1时,pTn=p2+2p3+3p4+…+(n-1)pn+npn+1.两式相减，得（1-p）Tn=p+p2+p3+…+pn-1+pn—npn+1=，即Tn=绿色通道：在利用已知条件求解相关量的时候,要善于利用赋值法寻找所求量之间的关系,避免利用复杂的式子进行运算，便可达到简化运算的目的。求解数列的通项公式,关键是解决数列的首项和公差.研究数列时,要注意研究数列中项的特征.变式训练1(2006全国高考Ⅱ,理11）设Sn是等差数列｛an}的前n项和，若，则等于（）A.B。C。D.思路解析:由等差数列的求和公式,得，可得a1=2d且d≠0。所以。答案:A变式训练2（2006江西高考,理7文10）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若=a1+a200，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O），则S200等于（）A.100B.101C。200思路解析:∵点A、B、C共线且该直线不过点O,∴=λ且、、不共线,λ∈R。=-=（a1+a200)-=(a1—1)+a200，λ=λ(-)=λ—λ，∴（a1—1）+a200=λ—λ,(a1—1+λ）=(λ-a200).∵与不共线,∴a1—1+λ=λ—a200=0.∴a1+a200=1,S200==100.答案:A问题探究问题1数列中大量渗透了函数思想，那么数列与函数有何内在联系?导思:数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1，2,…，n}）的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。数列与函数之间的关系是一般与特殊的关系。探究：(1）对于公差不为零的等差数列｛an｝来说，它的通项是关于n的一次函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一次函数y=ax+b(a≠0)的图象上;它的前n项和Sn是关于n的无常数项的二次函数，因此也是关于n的一次函数。若在等差数列中，an=（p、q是非零常数)，则p、q必然满足关系p+2q=0。这是因为an是关于n的一次函数，故pn+q与n-1或2n—1是同类因式。由待定系数法,知p+q=0(舍去)或p+2q=0。而许多关于项的问题,可以转化为关于点的问题.如:等差数列{an}中，ap=q,aq=p（p≠q）如何求ap+q.由于等差数列的通项an是关于n的一次函数,故三点（p,q),(q，p）,(p+q,ap+q）共线，由斜率相等，得，可得ap+q=0。（2）在数列{an｝中，如果an＜an+1对n∈N+都成立，那么称｛an}是递增数列；如果an＞an+1对n∈N+都成立,那么称｛an}是递减数列.数列的单调性可以用函数的单调性来刻画。例如，d≠0的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同,当d＞0时，那么这个等差数列是递增数列，当d＜0时，那么这个等差数列是递减数列.在等差数列中其前n项和Sn是关于n的无常数项的二次函数,所以可以根据二次函数的特点找出前n项和Sn的最大值和最小值,这与其顶点坐标有密切关系，但是同时要注意其定义域的范围.总之,运用函数观点研究等差数列或者其他数列的问题都是很方便的，可以更深刻地认识数列的本质,同时又能深化对函数概念的理解.问题2老师在向学生介绍等差数列前n项和时,总是要讲一个小故事:德国的“数学王子"高斯,在小学读书时，老师出了一道算术题：1+2+3+…+100=?,老师刚读完题目,高斯就在他的小黑板上写出了答案：5050，其他同学还在一个数一个数的挨个相加呢。那么,高斯是用什么方法做得这么快呢？这与推导等差数列前n项和公式时的方法有什么不一样?导思:高斯的方法是：101=1+100=2+99=3+98=…这样的数共有50对,则50×101=5050，运用的是等差数列的一个性质。探究:教材推导前n项和公式时,采用倒序相加法,即将前n项和倒着写一遍，即Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+an-2+…+a1，将以上两式相加,得2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2）+…+（an+a1