数学学案：课堂探究函数的应用（Ⅱ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一指数函数模型指数函数y＝ax（a〉1）经复合可以得到指数型函数,指数型函数的函数值变化较快，例如，生活中接触的储蓄问题，也就是增长率问题,就是指数型函数．指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同．【典型例题1】某公司预投资100万元,有两种投资方案可供选择：方案一:年利率10％，按单利计算,5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？（结果精确到0.01万元)思路分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答．解：本金100万元，年利率10%，按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10％×5）＝150(万元)．本金100万元，年利率9%,按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86（万元)．由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3。86万元．探究二对数函数模型对数函数y＝logax（x〉0,a>1）经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中,也常用对数计算．【典型例题2】20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪测得的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0。001，计算这次地震的震级（精确到0.1)；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7。6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1）．解：(1）依题意知M＝lg20－lg0。001＝lg＝lg20000＝lg2＋lg104＝4＋lg2≈4。3。因此这是一次里氏约4.3级的地震．（2)由M＝lgA－lgA0，可知M＝lg，所以＝10M。所以A＝A0·10M.当M＝7。6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107。6；当M＝5时,地震的最大振幅为A2＝A0·105。所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107。6－5＝102。6≈398，所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍．探究三幂函数模型幂函数y＝xα（α〉0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快．【典型例题3】2014年某地官方数字显示：该地区人口约有60万,但其人口总数在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？以下数据供计算时使用：真数N1。0101.0151.0171。3102。000对数lgN0.00430。00650.00730.11730。3010解：设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x）n＝60，则当n＝40时，y＝30，即30（1＋x)40＝60。∴(1＋x)40＝2，两边取对数,则40lg(1＋x)＝lg2，则lg(1＋x)＝≈0.007526，∴1＋x≈1。017，得x＝1。7％。探究四建立拟合函数模型对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型．根据数据特点,可能有多种结果，因此用哪一个还需结合实情选择,总之建立拟合函数模型是一个不断优化的过程．【典型例题4】某工厂今年1，2，3月生产产品分别为1万件，1。2万件，1。3万件，为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(万件）与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数y＝abx＋c（a≠0)，如果已知4月份的产量为1。37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么？思路分析：本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式,然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量,看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近．解：设f（x）＝px2＋qx＋r(p≠0）．由f（1)＝1，f(2）＝1。2，f（3)＝1.3,得解得p＝－0.05,q＝0.35，r＝0.7。∴f(x）＝－0.05x2＋0.35x＋0.7。∴f(4)＝1。3.设g（x)＝abx＋c(a≠0）．由g（1）＝1，g(2）＝1。2，g（3)＝1.3，得解得a＝－0.8