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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精课堂探究探究一指数函数模型指数函数y=ax(a〉1)经复合可以得到指数型函数,指数型函数的函数值变化较快,例如,生活中接触的储蓄问题,也就是增长率问题,就是指数型函数.指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同.【典型例题1】某公司预投资100万元,有两种投资方案可供选择:方案一:年利率10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;方案二:年利率9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(结果精确到0.01万元)思路分析:这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答.解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1+10%×5)=150(万元).本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1+9%)5≈153.86(万元).由此可见,方案二更有利,5年后多得利息约3。86万元.探究二对数函数模型对数函数y=logax(x〉0,a>1)经复合可以得到对数型函数,其函数值变化比较缓慢.直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多,但我们知道,对数运算实际上是求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算.【典型例题2】20世纪30年代,查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪测得的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0。001,计算这次地震的震级(精确到0.1);(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7。6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1).解:(1)依题意知M=lg20-lg0。001=lg=lg20000=lg2+lg104=4+lg2≈4。3。因此这是一次里氏约4.3级的地震.(2)由M=lgA-lgA0,可知M=lg,所以=10M。所以A=A0·10M.当M=7。6时,地震的最大振幅为A1=A0·107。6;当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0·105。所以两次地震的最大振幅之比是==107。6-5=102。6≈398,所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍.探究三幂函数模型幂函数y=xα(α〉0)经过复合可以得到幂函数型函数,其增长变化率也较快.【典型例题3】2014年某地官方数字显示:该地区人口约有60万,但其人口总数在过去40年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少?以下数据供计算时使用:真数N1。0101.0151.0171。3102。000对数lgN0.00430。00650.00730.11730。3010解:设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为y,则y·(1+x)n=60,则当n=40时,y=30,即30(1+x)40=60。∴(1+x)40=2,两边取对数,则40lg(1+x)=lg2,则lg(1+x)=≈0.007526,∴1+x≈1。017,得x=1。7%。探究四建立拟合函数模型对于给出一组数据拟合函数模型的题目,应根据数据找出比较合理的函数模型.根据数据特点,可能有多种结果,因此用哪一个还需结合实情选择,总之建立拟合函数模型是一个不断优化的过程.【典型例题4】某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件,1。2万件,1。3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(万件)与月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c(a≠0),如果已知4月份的产量为1。37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?思路分析:本题已给定两种供选择的函数模型,处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式,然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量,看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近.解:设f(x)=px2+qx+r(p≠0).由f(1)=1,f(2)=1。2,f(3)=1.3,得解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7。∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7。∴f(4)=1。3.设g(x)=abx+c(a≠0).由g(1)=1,g(2)=1。2,g(3)=1.3,得解得a=-0.8
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