高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册 2.3.3点到直线的距离公式_第1页
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第二章直线与圆的方程2.3.3点到直线的距离公式·选择性必修第一册·探究新知回顾在初中，“点到直线的距离”定义是什么？定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.如右图，点

P到直线

l

的距离是垂线段PQ.探究探究新知探究分析探究新知探究探究新知探究探究新知公式思考：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转

化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你

发现引起复杂运算的原因了吗?一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.

如何求已知点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By

＋C=0

的距离？

如图，过点P0作直线

l的垂线P0P1，交

l于点P1(x1，y1)，则P0到直线

l的距离

d

=|P0P1|．

由于两条线段P0P1和P0N都与

l垂直，因此它们共线，夹角为0或π，则它们表示的向量的数量积的绝对值等于它们的长度的乘积，即

从P0出发作有向线段表示直线

l的法向量P0N=(A，B)．探究新知

由此得到

则

又点P1(x1，y1)在直线

l上，则有Ax1＋By1

＋C=0．

所以可以得到点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By

＋C=0

的距离公式：探究新知总结：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点

间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向

量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．探究新知公式定义两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．应用新知例8证明探究新知公式

强调：（1）应用公式前，必须把直线方程要化成一般式；

（2）两直线方程中要求x，y的系数要对应相同，若不同要先化为相同，再应用公式求距离.

思考：直线

l有什么特性?

由此你能给出简便解法吗?应用新知---基础巩固分析例5：详解一条垂直于

x轴的直线：类比应用新知---基础巩固详解将直线方程化为一般式方程是非常关键的！应用新知详解例6.已知直线l过点A(1,2)且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．应用新知---基础巩故能力提升例题7【详解】【详解

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