数学学案：课堂探究指数函数与对数函数的关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一求反函数求函数的反函数的主要步骤:1．从y＝f（x）中解出x＝φ（y);2．将x,y互换;3．标明反函数的定义域（即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写"．【典型例题1】求下列函数的反函数：(1）y＝log2x;（2）y＝；(3）y＝5x＋1。思路分析：按照求反函数的基本步骤求解即可．解：（1)由y＝log2x，得x＝2y,∴f－1(x)＝2x(x∈R)．（2）由y＝,得x＝，且y〉0,∴f－1(x）＝(x〉0)．（3)由y＝5x＋1,得x＝，∴f－1（x）＝(x∈R)．探究二指数函数与对数函数图象的关系互为反函数的图象特点：（1)互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致．（3）若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数．【典型例题2】（1)已知a〉0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(）(2)将y＝2x的图象先__________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2（x＋1）的图象()A．先向上平行移动一个单位长度B．先向右平行移动一个单位长度C．先向左平行移动一个单位长度D．先向下平行移动一个单位长度解析：（1)方法一:首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次,从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，又可排除D.故选B。方法二：若0〈a〈1，则曲线y＝ax下降且过点（0，1），而曲线y＝loga（－x）上升且过点(－1，0）,所有选项均不符合这些条件．若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0，1），而曲线y＝loga（－x）下降且过点（－1，0)，只有B满足条件．方法三：如果注意到y＝loga(－x）的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数（图象关于直线y＝x对称），则可直接选B.(2)本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何图形直观推断．答案：(1）B（2）D探究三指数函数与对数函数关系的综合应用根据指数函数与对数函数图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题．【典型例题3】设方程2x＋x－3＝0的根为a,方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．思路分析：根据方程的特点,难以从正面下手,可转变方程形式，用数形结合的方法求解．解：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3。如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称,由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A（a,b)，B（b，a）．则A，B都在直线y＝－x＋3上,∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.【典型例题4】已知函数f（x)＝3x,其反函数f－1（18）＝a＋2，函数g(x）＝3ax－4x的定义域为［0,1］．（1)求函数g(x）的解析式;(2）求函数g（x）的值域．思路分析：利用反函数的性质求出a,即可得g(x）的解析式,再利用配方法求g（x)的值域．解：(1）∵f（x)＝3x，∴f－1(x)＝log3x.又∵a＋2＝f－1(18）＝log318＝2＋log32，∴a＝log32，∴g(x）＝3x·log32－4x＝2x－4x.(2）∵g（x）＝2x－4x＝－＋，又0≤x≤1，∴2x∈[1，2］，∴当x＝0时，g(x）max＝0，当x＝1时，g(x)min＝－2，∴函数g（x)的值域为［－2,0］．点评通过本题可以看出互为反函数的函数关系是一个重要的知识点，利用配方法求函数的值域是求值域的一种重要方法，有时需结合换元法来进行，要注意函数的定义域对值域的影响．探究四易错辨析易错点对反函数定义理解不清而致误【典型例题5】已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(x）的图象过定点（1，2013），则y＝f－1（x＋1）的图象过定点__________．错解：∵g(x）的图象过定点(1，2013),∴y＝f（x＋1)的图象过定点（2013，1)．∴y＝f－1(x＋1)的图象过定点（1，2013)．错因分析：误认为f(x＋1)与f－1（x＋1)互为反函数．正解:(0，2014)解析：∵g(x)的图象过定点(1,2013)，∴f（x＋1)的图象过定点（2013,1）．又∵f(x）的图象可以看作由f（x＋1)的图象向右平移一个单位长度得到的，