数学学案：课堂探究两条直线的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一判断两条直线的位置关系1．（1）判断两条直线平行，需要判断其斜率相等（斜率存在时），即k1＝k2。两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x＝a1,x＝a2，只需a1≠a2即可；（2)判断两条直线平行，也可用系数比．2．判断两条直线垂直：（1)如果斜率都存在，只判断k1k2＝－1,如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断,应注意上面的两种情况；(2)利用A1A2＋B1B2＝0判断．【典型例题1】判断下列各组直线的位置关系,若相交，求出交点的坐标．（1)l1：4x＋3y－2＝0与l2：x＋2y＋2＝0；(2)l1：x＋2y－＝0与l2：2x＋4y－1＝0；(3）l1：x－3y＝0与l2:y＝x＋1.思路分析：判断两直线位置关系的解法有三种:一是根据方程组的解的个数判定；二是根据方程的系数间的关系判定;三是化成斜截式方程判定．解法一：（1)解方程组①×2－②×3得5x－10＝0,所以x＝2.将x＝2代入①得y＝－2，所以两直线相交，交点坐标为（2，－2）．（2）解方程组①×2－②得0＝0，即此方程组有无数多个解，所以两直线重合．（3)解方程组由①得x＝3y,代入②得y＝y＋1,即0＝1不成立，所以方程组无解，所以两直线平行．解法二：（1）由于A1＝4，B1＝3，C1＝－2,A2＝1，B2＝2,C2＝2，所以D1＝A1B2－A2B1＝4×2－1×3＝5≠0，所以两直线相交．解方程组得所以两直线的交点为（2，－2)．（2）由于A1＝1,B1＝2，C1＝－，A2＝2，B2＝4，C2＝－1，所以D1＝A1B2－A2B1＝1×4－2×2＝0,D2＝A1C2－A2C1＝1×（－1)－2×＝－1＋1＝0，所以两直线重合．（3）由于A1＝1，B1＝－3，C1＝0，A2＝,B2＝－1，C2＝1,所以D1＝A1B2－A2B1＝1×（－1)－×(－3）＝－1＋1＝0,D2＝A1C2－A2C1＝1×1－×0＝1－0＝1≠0，所以两直线平行．解法三:(1）l1:y＝－x＋，l2：y＝－x－1。因为k1≠k2,所以两直线相交．（2)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x＋。因为k1＝k2且b1＝b2，所以两直线重合．(3）l1：y＝x，l2：y＝x＋1.因为k1＝k2且b1≠b2，所以两直线平行．点评根据方程组解的个数判断两直线位置关系，当x，y的系数是未知数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆；化成斜截式易操作．探究二利用两条直线的位置关系确定参数利用两直线的位置关系求字母参数取值时，提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系，这样不易丢解或增解;若用比例式求解，一定要对特殊情况单独讨论．【典型例题2】（1）直线l1：（m＋2)x＋（m2－3m）y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3）y－1＝0，如果l1∥l2,求m的值；（2）直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2:（a－1）x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．思路分析：既可以用直线一般式方程形式判断,也可以用斜率的关系求解，但需考虑斜率不存在的情况．(1）解法一:当l1，l2的斜率都存在时，由l1∥l2，得＝,解得m＝－4；当l1，l2的斜率不存在时，l1与l2的方程分别为x＝－,x＝,显然l1∥l2，m＝3.故m＝－4或m＝3即为所求．解法二：若l1∥l2，则有解得m＝－4。当m＝3时，直线l1与l2的方程分别为x＝－,x＝，显然l1∥l2，综上所述m＝－4或m＝3。（2）解法一：当a＝1时，l1为x＝3，l2为y＝,故l1⊥l2;当a＝－时,l1的方程为－x＋y＝3,l2的方程为－x＝2，显然l1，l2不垂直；当a≠1，且a≠－时，由k1·k2＝－1，得×＝－1，解得a＝－3.综上所述，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.解法二:利用A1A2＋B1B2＝0，即a（a－1)＋（1－a)(2a＋3)＝0,解得a＝1或a＝－3.探究三求与已知直线平行或垂直的直线方程1．求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可设为y＝kx＋m（m≠b），然后通过待定系数法，求参数m的值．2．求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．3．求与直线y＝kx＋b（k≠0）垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可设为y＝－x＋m(k≠0)，然后通过待定系数法，求参数m的值．4．求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零）垂直的直线时，可巧设为Bx－Ay＋m＝0（A，B不同时为零），然后用待定系数法，求出m.【典型例题3】已知点A(2,2）和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1）过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．思路分析:本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系，求出所求直线的斜率后用点斜式求解，也可利用直线系方程来求解．(1）解法一:利用直线方程的点斜式求解．由l：3x＋4y－20＝0，得直线l的斜率kl＝－.设过点A且平行于l的直线为l1,则直线l1的斜率kl1＝kl＝－，所以l1的方程为y－2＝－（x－2），即3x＋4y－14＝0.解法二:利用直线系方程求解．设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0（m≠－20）．由点A(2,2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14.故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0。(2)解法一：设过点A与l垂直的直线为l2，直线l的斜率为kl，直线l2的斜率为。因为kl＝－1，所以kl2＝，故直线l2的方程为y－2＝（x－2），即4x－3y－2＝0.解法二：设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x－3y＋m＝0。因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0,解得m＝－2。故l2的方程为4x－3y－2＝0.探究四对称问题关于对称问题，主要有中心对称和轴对称两种：（1)对于点关于点的对称，只需运用中点坐标公式即可；(2)对于直线关于点的对称,根据所求直线与已知直线平行可先设出方程,然后利用已知直线上任取一点的对称点一定在所求直线上即可求出方程．结论为l关于点P(x0，y0）对称的直线方程是A(2x0－x）＋B（2y0－y)＋C＝0.对于点关于直线的对称,一般按下列步骤处理．若两点P1(x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1,P2的直线垂直于对称轴l。由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0,x1≠x2)．【典型例题4】（1）求点A（3，2)关于点B(－3,4）的对称点C的坐标；(2）求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；(3)求点A（2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点B的坐标．思路分析:（1)利用中点坐标公式列方程求解；（2)根据所求直线上任意一点关于点P（2，－1）的对称点的坐标均满足已知直线方程来求解；（3）利用中点坐标公式及垂直关系联合列式求解．解:(1)设C(x，y），由中点坐标公式得解得故所求的对称点的坐标为C（－9，6）．（2）取直线l上任一点（x，y），则它关于点P（2,－1）的对称点(4－x,－2－y）在直线3x－y－4＝0上．所以3(4－x)－（－2－y)－4＝0。所以3x－y－10＝0。所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.（3）设B（a，b)是A(2，2）关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，根据直线AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0上，则有解得所以所求的对称点的坐标为B(1,4）．探究五易错辨析易错点：忽视了两条直线垂直的特殊情况而致误【典型例题5】求经过点A（2,1）且与直线2x＋ay－10＝0垂直的直线l的方程．错解：因为所求直线与2x＋ay－10＝0垂直，所以根据l1⊥l2k1k2＝－1，得所求直线的斜率为，所以根据点斜式得l:y－1＝（x－2），整理得ax－2y－2a＋2＝0。错因分析：漏掉了当a＝0时这一特殊情况的讨论，其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的，但却不能用k1k2＝－1来求．正解：①当a＝0时，已知直线化为x＝5,此时直线斜率不存在,则所求直线l的斜率为0，因为直线l过点A（2,1)，所以直线l的方程为y－1＝0（x－2)，即y