数学学案：课堂探究棱柱、棱锥和棱台的结构特征

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一棱柱的结构特征判断一个几何体是棱柱的依据及关键点(1）依据:判断是否是棱柱要紧扣棱柱的定义．(2)抓住三个关键点．①底面：两个多边形全等且所在平面互相平行．②侧面:都是平行四边形．③侧棱：互相平行且相等．以上三点缺一不可．【典型例题1】（1)下列几何体是棱柱的有（)A．5个B．4个C．3个D．2个解析：棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行，当一个几何体同时满足这三方面的特征时,这个几何体才是棱柱．①上述三方面的特征都符合，是棱柱;②没有两个平行平面，所以不是；③符合条件,是棱柱；④虽然有两个平面平行，但其余各面不是平行四边形，因此不是；⑤只有三角形的面，没有符合的一个条件,所以不是;⑥有两个平行平面，但其余各面中有的不是平行四边形,所以⑥不是．因此符合条件的只有①③．答案：D(2)给出下列几个结论:①长方体一定是正四棱柱．②正方体一定是正四棱柱．③长方体一定是直棱柱．④有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱．⑤有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．其中错误的是__________．(填序号)解析：侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱，而底面为正多边形的直棱柱为正棱柱．对照各结论知①④⑤错误．答案：①④⑤探究二棱锥、棱台的结构特征判断棱锥、棱台的常用方法有：(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2）直接法:棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【典型例题2】判断以下说法，正确的是(）A．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥B．三棱锥的每一个面都可作为底面C．底面是正多边形，各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥D．正棱锥的所有棱长都相等解析:如图(1)的几何体所有的面为三角形，但不是三棱锥，故A错．如图(2）中,棱AD＝1，其余棱长为2,满足题意，但不是正三棱锥,故C错．正棱锥中，所有侧棱长都相等,故D错．而三棱锥又称四面体,每个面都是三角形，故每个面都可作为底面，故B正确．答案：B【典型例题3】下列关于棱锥、棱台的说法:(1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形．(3）棱锥的侧面只能是三角形．(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．(5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是__________．解析:(1)错误,若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；（2)正确,棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；（3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；（4）正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；（5)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．答案:(2)(3）(4)探究三有关正棱锥、正棱台中的计算问题1．正棱锥、正棱台中的直角三角形，正棱锥中的几个重要的直角三角形．如图所示,正棱锥中,点O为底面中心，M是CD的中点,则△SOM，△SOC均是直角三角形，很明显，△SMC，△OMC也是直角三角形．2．正棱台中的几个重要的直角梯形：如图所示，由斜高、侧棱构成的直角梯形E1ECC1，由斜高、高构成的直角梯形O1E1EO,由高、侧棱构成的直角梯形O1OCC1．【典型例题4】（1)若正四棱锥的底面积为4，侧棱长为2，则其斜高为__________．解析：正四棱锥的侧面为等腰三角形，如图,作PE⊥CD于点E，则PE为斜高，E为CD的中点．由底面积为4，知底面边长为2,在Rt△PCE中，PC＝2,CE＝1，所以PE＝＝．答案：(2）一个正四棱台的上、下底面面积分别为4，16，一侧面面积为12，求该棱台的斜高、高、侧棱长．解:如图，设O′,O分别为上、下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′,BC的中点，则EF⊥BC，EF为斜高．由上底面面积为4，上底面为正方形,可得B′C′＝2;同理，BC＝4．因为四边形BCC′B′的面积为12，所以×（2＋4）·EF＝12，所以EF＝4．过B′作B′H⊥BC交BC于点H，则BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4．在Rt△B′BH中，BB′＝＝＝．同理，在直角梯形O′OFE中,计算出O′O＝．综上,该正四棱台的侧棱长为，斜高为4，高为．探究四立体图形的展开问题解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题,一般都是将空间几何体表面按某一种方式展开，转化为求平面内两点间的线段长，这体现了数学中的转化思想．【典型例题5】如图所示，在四面体P。ABC中，PA＝PB＝PC＝2．∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°,一只蜜蜂从A点出发沿四面体的表面绕行一周，再回到A点，求蜜蜂经过的最短路程．解：将四面体沿PA剪开，并展成如图所示的平面图形，则AA′就是所求的最短路程．因为∠APA′＝90°，PA＝PA′＝2,所以最短路程AA′为．探究五易错辨析易错点：对棱柱、棱锥、棱台的结构把握不清而致误【典型例题6】如图所示，关于几何体的说法正确的序号有______．（1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台;（3）这是一个四棱柱;(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5）此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．错解：答案中含有(2)．错因分析：未对几何体侧棱延长后是否交于一点验证,而直接