数学学案：课堂探究空间向量的基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一共线向量定理的应用判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb,从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．【典型例题1】如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断eq\o（CE,\s\up6（→））与eq\o（MN,\s\up6（→）)是否共线？思路分析:由共线向量定理,要判断eq\o(CE,\s\up6(→））与eq\o（MN,\s\up6(→）)是否共线，即看能否找到x，使eq\o(CE，\s\up6（→））＝xeq\o(MN,\s\up6(→))成立．解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN，\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→））＋eq\o(AF,\s\up6(→)）＋eq\o(FN,\s\up6（→））＝eq\f(1,2）eq\o(CA，\s\up6(→）)＋eq\o(AF，\s\up6(→)）＋eq\f（1,2）eq\o(FB,\s\up6(→）)。又∵eq\o(MN，\s\up6（→))＝eq\o（MC,\s\up6(→））＋eq\o(CE，\s\up6(→)）＋eq\o(EB，\s\up6（→)）＋eq\o(BN,\s\up6(→)）＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→）)＋eq\o（CE，\s\up6(→)）－eq\o（AF,\s\up6（→）)－eq\f(1,2)eq\o（FB，\s\up6(→))，∴eq\f（1,2）eq\o(CA,\s\up6(→）)＋eq\o（AF,\s\up6（→））＋eq\f(1,2）eq\o（FB，\s\up6（→))＝－eq\f(1，2)eq\o(CA,\s\up6(→））＋eq\o(CE，\s\up6（→））－eq\o(AF，\s\up6(→）)－eq\f(1,2)eq\o（FB,\s\up6（→))，∴eq\o（CE,\s\up6（→))＝eq\o(CA,\s\up6（→）)＋2eq\o（AF,\s\up6（→）)＋eq\o(FB，\s\up6（→)）＝2（eq\o(MA,\s\up6（→))＋eq\o（AF,\s\up6（→))＋eq\o(FN,\s\up6(→）））＝2eq\o（MN,\s\up6(→）），∴eq\o（CE,\s\up6(→)）∥eq\o（MN，\s\up6(→）），即eq\o（CE,\s\up6(→））与eq\o(MN，\s\up6（→））共线．探究二共面向量定理的应用判断三个（或三个以上）向量共面,主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底,通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．【典型例题2】已知A，B，C三点不共线,平面ABC外的一点M满足eq\o(OM，\s\up6（→))＝eq\f(1，3）eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\f(1,3）eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1，3)eq\o（OC,\s\up6(→)）.(1）判断eq\o（MA，\s\up6(→））,eq\o(MB,\s\up6(→）),eq\o（MC，\s\up6(→）)三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内．思路分析：要证明三个向量共面，只需证明存在两个实数x,y,使eq\o（MA,\s\up6（→))＝xeq\o(MB，\s\up6（→）)＋yeq\o（MC,\s\up6(→))，证明了三个向量共面，点M就在平面内．解:(1)∵eq\o(OA,\s\up6（→)）＋eq\o（OB，\s\up6(→)）＋eq\o(OC，\s\up6(→）)＝3eq\o（OM，\s\up6(→))，∴eq\o(OA，\s\up6(→)）－eq\o（OM,\s\up6（→)）＝(eq\o（OM,\s\up6(→)）－eq\o(OB,\s\up6(→））)＋（eq\o（OM,\s\up6(→)）－eq\o(OC，\s\up6（→)))，∴eq\o(MA,\s\up6（→））＝eq\o(BM,\s\up6（→）)＋eq\o(CM，\s\up6（→)）＝－eq\o(MB,\s\up6（→））－eq\o（MC，\s\up6(→))，∴向量eq\o（MA,\s\up6（→）），eq\o（MB，\s\up6（→）)，eq\o(MC，\s\up6(→)）共面．(2)由(1）知向量eq\o(MA,\s\up6（→））,eq\o(MB，\s\up6(→)）,eq\o（MC,\s\up6(→））共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A,B，C共面,即点M在平面ABC内．探究三空间向量分解定理的应用选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．这就是向量的分解，空间向量分解定理表明,用空间三个不共面的向量组｛a，b，c}可以表示出任意一个向量，而且a,b，c的系数是唯一的．【典型例题3】如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，求满足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6（→))＋yeq\o（AD,\s\up6（→）)＋zeq\o（AP，\s\up6（→)）的实数x，y，z的值．思路分析：结合图形，从向量eq\o（MN，\s\up6(→））出发利用向量运算法则不断进行分解,直到全部用eq\o(AB，\s\up6(→）），eq\o(AD,\s\up6（→))，eq\o（AP,\s\up6（→))表示出来，即可求出x,y，z的值．解：在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF，则eq\o（MN,\s\up6（→)）＝eq\o(MF，\s\up6（→)）＋eq\o(FN，\s\up6(→））,而eq\o（FN，\s\up6(→))＝eq\o（DN，\s\up6（→)）－eq\o(DF，\s\up6（→））＝eq\f（1，2）eq\o(DP,\s\up6（→））－eq\f(1,3)eq\o(DP，\s\up6（→)）＝eq\f（1，6)eq\o（DP,\s\up6(→)）＝eq\f（1,6)(eq\o(AP,\s\up6（→)）－eq\o（AD，\s\up6(→））)，eq\o（MF，\s\up6（→))＝eq\f（2，3)eq\o(CD,\s\up6(→)）＝eq\f（2，3）Beq\o（A，\s\up6（→））＝－eq\f（2,3)eq\o（AB，\s