数学学案：课堂探究距离（选学）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一用向量求两点间的距离用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法,设A（x1，y1，z1)，B（x2,y2，z2）,则dAB＝｜eq\o（AB,\s\up6(→））|＝eq\r（x2－x12＋y2－y12＋z2－z12），或利用｜a｜＝eq\r（a·a)求解．【典型例题1】已知矩形ABCD中，AB＝4,AD＝3，沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直，求B,D间的距离．思路分析：本题既可利用向量模求解，也可建立坐标系利用距离公式求解．解法一：过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，则由已知条件可知AC＝5，∴DE＝eq\f(3×4，5)＝eq\f(12,5），BF＝eq\f(3×4,5）＝eq\f(12,5）.∵AE＝eq\f（AD2,AC）＝eq\f（9，5)＝CF，∴EF＝5－2×eq\f(9,5）＝eq\f(7，5）.∵eq\o(DB，\s\up6（→)）＝eq\o(DE,\s\up6(→））＋eq\o(EF，\s\up6（→））＋eq\o(FB，\s\up6（→)），∴|eq\o（DB，\s\up6(→))｜2＝(eq\o（DE，\s\up6(→))＋eq\o（EF,\s\up6(→））＋eq\o(FB，\s\up6（→))）2＝eq\o(DE,\s\up6(→))2＋eq\o（EF，\s\up6(→）)2＋eq\o（FB，\s\up6(→））2＋2eq\o（DE,\s\up6(→）)·eq\o(EF,\s\up6（→）)＋2eq\o（DE，\s\up6(→)）·eq\o(FB，\s\up6（→)）＋2eq\o（EF,\s\up6(→））·eq\o（FB,\s\up6(→）).∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥BF，即eq\o(DE，\s\up6（→)）⊥eq\o(FB，\s\up6（→))，∴|eq\o(DB，\s\up6（→)）|2＝eq\o（DE,\s\up6(→)）2＋eq\o(EF,\s\up6（→）)2＋eq\o（FB，\s\up6(→)）2＝eq\f（144，25)＋eq\f（49，25）＋eq\f(144，25)＝eq\f(337,25)，∴|eq\o（DB，\s\up6（→））｜＝eq\f(\r（337）,5)。故B，D间距离是eq\f(\r(337),5).解法二：过D作DE⊥AC于E,过B作BF⊥AC于F,过E作FB的平行线EP,以E为坐标原点，EP,EC,ED所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．由解法一知DE＝FB＝eq\f（12,5），EF＝eq\f(7，5)，∴Deq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，0,\f（12,5）)),Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(12，5)，\f(7，5），0))，∴eq\o(DB,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（12，5），\f(7，5),－\f(12，5））），∴|eq\o(DB,\s\up6(→）)|＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(12,5）））2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（7,5）））2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（12，5）))2)＝eq\f(\r（337），5）.探究二求点到平面的距离利用点到平面的距离定义，求点到平面的距离，就是过点作平面的垂线，点与垂足间的线段长就是点到平面的距离，从而转化到可解三角形中求解．用向量法求点到平面的距离的方法：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量eq\o（MP,\s\up6(→)）的坐标，那么P到平面的距离d＝|eq\o(MP，\s\up6（→)）｜·｜cos〈n，eq\o（MP，\s\up6(→）)〉｜.【典型例题2】直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱AA1＝eq\r(3），在底面△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．思路分析：直接作平面的垂线较困难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直三棱柱各顶点坐标：A(1,0,0),B（0,1,0)，C（0,0，0)，A1（1,0,eq\r(3))，B1（0,1,eq\r（3）)，C1(0,0，eq\r（3）)，则eq\o（A1B1,\s\up6(→））＝（－1，1,0),eq\o(BC,\s\up6(→))＝（0，－1，0），eq\o（A1C，\s\up6（→））＝（－1,0，－eq\r（3））．设平面A1BC的法向量为n＝（x,y,z)，则n·eq\o（A1C，\s\up6（→)）＝0，n·eq\o(BC，\s\up6（→))＝0,即－x－eq\r(3)z＝0,－y＝0。令x＝－eq\r(3），则y＝0，z＝1，所以平面A1BC的一个法向量为n＝(－eq\r(3）,0，1），所以点B1到平面A1BC的距离d＝eq\f（|n·\o（A1B1,\s\up6（→)）｜,|n｜）＝eq\f（\r(3),2).探究三求平行平面之间的距离当两个平面互相平行时，其中一个平面内任一点到另一个平面的距离都相等，且都等于这两个平行平面间的距离，因此，两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离求解．【典型例题3】如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离思路分析：平面A1BD与平面B1CD1间的距离就等于平面A1BD内任意一点到平面B1CD1的距离，即转化为求点到平面的距离．解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0,1)，B(1,1，0)，D1(0,0，1)，eq\o（A1B，\s\up6（→)）＝(0，1，－1），eq\o（A1D，\s\up6（→))＝（－1，0，－1）,eq\o（A1D1，\s\up6(→))＝(－1,0,0）．设平面A1BD的一个法向量为n＝（x，y，z），则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n·\o(A1B，\s\up6（→））＝0，,n·\o（A1D，\s\up6(→）)＝0)）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y－z＝0，,－x－z＝0，））令z＝1,得y＝1,x＝－1,∴n＝(－1,1，1)，∴点D