2024-2025学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示学案含解析新人教A版选择性必修第一册VIP

PAGE1.3.2空间向量运算的坐标表示新课程标准学业水平要求1.驾驭空间向量的线性运算的坐标表示．2．驾驭空间向量的数量积的坐标表示．1.会利用空间向量的坐标运算解决简洁的运算问题．(数学运算)2．驾驭空间向量运算的坐标表示，并会推断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．驾驭空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简洁几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)必备学问·自主学习导思1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？1.空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝＝；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝.若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则肯定有eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)成立吗？提示：不肯定，只有当b1，b2，b3均不为0时，eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)成立．3．空间两点间的距离在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；P1P2＝||＝．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝(－2，4，－2).()(2)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|.()(3)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b.()(4)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3，－3).()(5)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．()提示：(1)√.b＝a＋b－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).(2)√.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(12＋22＋02)＝eq\r(5)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(（－2）2＋02＋12)＝eq\r(5)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)).(3)√.由a·b＝0，得a⊥b.(4)×.由A(1，2，3)，B(4，5，6)，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4－1，5－2，6－3)＝(3，3，3).(5)×.若x1＝y1＝z1＝1，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，所以a不是单位向量．2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(A．(16，0，4)B．(8，－16，4)C．(8，16，4)D．(8，0，4)【解析】选D.4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，所以4a＋2b＝(8，03．已知a＝(2，－3，1)，b＝(4，－6，x)，若a⊥b，则x等于()A．－26B．－10C．2D．10【解析】选A.由于a＝(2，－3，1)，b＝(4，－6，x)，且有a⊥b，所以a·b＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x＝0，解得x＝－26.4．(教材二次开发：例题改编)已知A点的坐标是(－1，－2，6)，B点的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角是________．【解析】cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(－1×1＋（－2）×2＋6×（－6）,\r(（－1）2＋（－2）2＋62)×\r(12＋22＋（－6）2))＝eq\f(－41,41)＝－1，所以〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝π.答案：π关键实力·合作学习类型一空间向量的坐标运算(数学运算)1.若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2，－4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－1))，则2a－3b＝()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，3，－7))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－5))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14，7，－11))2.若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，－1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，2))，则a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋c))的值为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6，－5)) B．5C．7 D．363．若向量a，b的坐标满意a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，2))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－3，－2))，则a·b等于()A．5B．－5C．7D．－1【解析】1.选C.因为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2，－4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－1))，所以2a－3b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2，－4))－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－5)).2．选B.b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，5))，a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋c))＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.3．选B.因为a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，2))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－3，－2))，两式相加得2a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－4，0))，解得a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，1，2))，所以a·b＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))×1＋0×2＝－5.空间向量坐标运算方法一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，运用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要娴熟应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.【补偿训练】已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b【解析】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2).(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6).(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)因为2a所以(2a)·(－b＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.类型二用向量运算解决平行与垂直(数学运算、逻辑推理)【典例】已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).(1)若a∥b，分别求λ与m的值；(2)若|a|＝eq\r(5)，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.【思路导引】(1)依据向量平行，设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，列出方程组，即可得出λ与m的值；(2)由向量垂直以及模长公式得出λ＝－1，即可求出向量a.【解析】(1)因为a∥b，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6k，,1＝k（2m－1），,2λ＝2k))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k＝\f(1,5)，,m＝3，))所以λ＝eq\f(1,5)，m＝3.(2)因为|a|＝eq\r(5)且a⊥c，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ＋1）2＋12＋（2λ）2＝5，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋1))－2λ×1－λ×2λ＝0，))化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5λ2＋2λ＝3，,2－2λ2＝0，))解得λ＝－1.因此a＝(0，1，－2).向量平行与垂直问题的两种题型(1)平行与垂直的推断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要留意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．1．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，2))，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k＝()A．eq\f(7,5)B．1C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,5)【解析】选A.因为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，2))，所以ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k，2))，2a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－2))，又因为ka＋b与2a－b相互垂直，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ka＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))＝0，所以3k－3＋2k－4＝0，解得k＝eq\f(7,5).2．设x，y∈R，向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，1，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，y，1))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－4，2))，且a⊥c，b∥c，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝()A．2eq\r(2)B．eq\r(10)C．3D．4【解析】选C.因为b∥c，所以2y＝－4×1，所以y＝－2，所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2，1))，因为a⊥b，所以a·b＝x＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＋1＝0，所以x＝1，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，1))，所以a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1，2))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2＋22)＝3.类型三用向量运算求夹角和距离(数学运算)角度1求夹角【典例】已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－1))，则下列向量中与a成60°角的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，1))【思路导引】用夹角公式计算夹角余弦值，进一步求角．【解析】选B.对于A选项中的向量a1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))，cos〈a，a1〉＝eq\f(a·a1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1)))＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，则〈a，a1〉＝120°；对于B选项中的向量a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，0))，cos〈a，a2〉＝eq\f(a·a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，则〈a，a2〉＝60°；对于C选项中的向量a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，1))，cos〈a，a3〉＝eq\f(a·a3,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a3)))＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，则〈a，a3〉＝120°；对于D选项中的向量a4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，1))，此时a4＝－a，两向量的夹角为180°.角度2求距离【典例】ABC­A1B1C1是正三棱柱，若AB＝1，AB1⊥BC1，则AA1A．eq\r(2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(3),3)【思路导引】由题意画出图形，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，再由＝0列式求解a值，则答案可求．【解析】选B.如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系．设AA1＝a，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，a))，则＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，a))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，a)).由AB1⊥BC1得＝－eq\f(1,2)＋a2＝0，即a＝eq\f(\r(2),2).所以AA1＝eq\f(\r(2),2).利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：依据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为夹角与距离问题．1．在空间直角坐标系Oxyz中，O(0，0，0)，E(2eq\r(2)，0，0)，F(0，2eq\r(2)，0)，B为EF的中点，C为空间一点且满意|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝3，若cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,6)，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))＝()A．9B．7C．5D．3【解析】选D.设C(x，y，z)，B(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y，z)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－eq\r(2)，y－eq\r(2)，z)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－2eq\r(2)，2eq\r(2)，0)，由cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(EF,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→)))))＝eq\f(（－2\r(2)，2\r(2)，0）·（x－\r(2)，y－\r(2)，z）,4×3)＝eq\f(1,6)，整理可得x－y＝－eq\f(\r(2),2)①，由|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝3得eq\r(x2＋y2)＝eq\r(（x－\r(2)）2＋（y－\r(2)）2)，化简得x＋y＝eq\r(2)②，由①②联立得x＝eq\f(\r(2),4)，y＝eq\f(3\r(2),4)，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))＝(x，y，z)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2\r(2)，0))＝2eq\r(2)y＝3.2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________．【解析】设BC边的中点为D，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(－1，－2，2)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋4＋4)＝3.答案：33．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4).(1)计算2a－3b和eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－3b)).(2)求〈a，b〉．【解析】(1)因为向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)，所以2a－3b＝(4，－2，－4)－(3，3，－12)＝(1，－5，8)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－3b))＝eq\r(12＋（－5）2＋82)＝3eq\r(10).(2)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(9,3×3\r(2))＝eq\f(\r(2),2).因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,4).备选类型向量法解决存在性问题(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝eq\r(2)，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【思路导引】依据图形特征建立坐标系，设出点G的坐标，利用到点P，B，C，D的距离都相等建立方程组，考察方程组的解的状况．【解析】因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．连接GB，GC，GP，设AB＝AP＝t，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则B(t，0，0)，P(0，0，t)，D(0，4－t，0).因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0).所以eq\o(GC,\s\up6(→))＝(1，3－t－m，0)，eq\o(GD,\s\up6(→))＝(0，4－t－m，0)，eq\o(GP,\s\up6(→))＝(0，－m，t).由|eq\o(GC,\s\up6(→))|＝|eq\o(GD,\s\up6(→))|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①由|eq\o(GD,\s\up6(→))|＝|eq\o(GP,\s\up6(→))|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．立体几何存在性问题的解法存在性问题通常都是假设存在，即设出点的坐标，运用题目条件建立方程或不等式，有解说明存在，无解说明不存在，即要把立体几何的存在性转化为方程或不等式有解问题．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，在棱B1B上是否存在一点M，使得D1M⊥平面EFB【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，设M(1，1，m).连接AC，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0).而E，F分别为AB，BC的中点，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).又因为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－1))，＝(1，1，m－1)，而D1M⊥平面EFB1，所以D1且D1M⊥B1E，即·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，且＝0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,2)＋（m－1）×0＝0，,0－\f(1,2)＋1－m＝0，))解得m＝eq\f(1,2)，即M为B1B的中点．课堂检测·素养达标1．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满意条件(c－a)·2b＝－2，则x的值为()A．2 B．－2 C．0 【解析】选A.因为c－a＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b＝2(1，2，1)＝(2，4，2)，所以(c－a)·2b＝2－