2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.1从位移速度力到向量课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价十四从位移、速度、力到向量(15分钟25分)1.下列说法正确的是 ()A.零向量没有大小,没有方向B.零向量是唯一没有方向的向量C.零向量的长度为0D.随意两个单位向量方向相同【解析】选C.零向量的长度为0,方向是随意的,故A,B错误,C正确.随意两个单位向量的长度相等,但方向不肯定相同,故D错误.2.设O为△ABC的外心,则,,是 ()A.相等向量 B.平行向量C.模相等的向量 D.起点相同的向量【解析】选C.△ABC的外心,即△ABC的外接圆的圆心,它到A,B,C三点的距离相等,即有||=||=||.3.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.

【解析】因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又因为m∥且m∥,所以m=0.答案:04.已知在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又=且=,求证:=.【证明】因为=,所以||=||且AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以||=||且DA∥CB.又因为与的方向相同,所以=.同理可证四边形CNAM是平行四边形,所以=.因为||=||,||=||,所以||=||.又与的方向相同,所以=.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设在▱ABCD中,有||=||且||=||,则这个四边形是 ()A.正方形 B.菱形C.矩形 D.平行四边形【解析】选A.因为在平行四边形ABCD中,又||=||,可推得▱ABCD为菱形.又||=||,可知▱ABCD为矩形.从而可知▱ABCD为正方形.2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是随意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则全部正确命题的序号是 ()A.① B.③ C.①③ D.①②【解析】选A.依据零向量的定义可知①正确;依据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不肯定相同,故两个单位向量不肯定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.3.若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的端点,得到的向量中有n(n∈N*)个是两两不相等的,则n的最大值是 ()A.6 B.8 C.10 【解析】选B.如图,两两互不相等的有:,,,,,,,,共8个.4.如图所示,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是 ()A.= B.=C.= D.=【解析】选D.依据相等向量的定义,分析可得:A中,与方向不同,故=错误;B中,与方向不同,故=错误;C中,与方向相反,故=错误;D中,与方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故=正确.【误区警示】向量相等需方向相同,长度相等,本题中易找不到相等关系从而错选.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为.

【解析】如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.因为∠ACD=∠BCD=∠AED,所以||=||.因为△ADE∽△BDC,所以==,故||=QUOTE.答案:QUOTE6.如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写出个互不相等的非零向量.

【解题指南】本题肯定要留意相等向量的定义,比如与及为同一向量.【解析】设AD为3个单位,则模为1个单位的向量有2个,如,;模为2个单位的向量有2个,如,;模为3个单位的向量有2个,如,,故共有6个.答案:6【补偿训练】已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为.【解析】因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,的值为1.答案:1三、解答题

7.(10分)如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形:(1)写出与,相等的向量.(2)写出与共线的向量.(3)写出与模相等的向量.(4)向量与是否相等?【解题指南】利用正方形的性质以及相等向量和共线向量的定义进行分析推断.【解析】(1)由正方形的性质可知,与相等的向量有,和,与相等的向量有,和.(2)与共线的向量为:,,,,,,,,.(3)与模相等的向量有:,,,,,,,,,,,,,,.(4)向量与不相等.因为它们的方向不同.【补偿训练】如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B.点C为小正方形的顶点,且||=QUOTE.(1)画出全部符合条件的向量.(2)求||的最大值与最小值.【解析】(1)画出全部符合条件的向量,如图所示.(2)由(1)所画的图知,①当点C位