2024春新教材高中数学第七章复数7.3.2复数乘除运算的三角表示及其几何意义分层演练含解析新人教A版必修第二册VIP

PAGE复数A级基础巩固1.复数(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)的三角形式是 ()A.sin30°+icos30°B.cos160°+isin160°C.cos30°+isin30°D.sin160°+icos160°解析:(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)=(cos80°+isin80°)╳(cos80°+isin80°)=cos160°+isin160°.答案:B2.计算(cos40°+isin40°)÷(cos10°+isin10°)=32+12解析:(cos40°+isin40°)÷(cos10°+isin10°)=cos30°+isin30°=32+123.将复数1+i对应的向量顺时针旋转45°,则所得向量对应的复数为2.解析:1+i=2(cos45°+isin45°),由题意知,所求复数为(1+i)[cos(-45°)+isin(-45°)]=2(cos45°+isin45°)·[cos(-45°)+isin(-45°)]=2(cos0°+isin0°)=2.4.在复平面内,将复数3+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°,则所得向量对应的复数为-1+3i.解析:由题意知,所求复数为(3+i)×(cos90°+isin90°)=2(cos30°+isin30°)×(cos90°+isin90°)=2(cos120°+isin120°)=-1+3i.B级实力提升5.向量OZ1,OZ2分别对应非零复数z1,z2,若OZ1⊥OZA.负实数 B.纯虚数C.正实数 D.虚数a+bi(a,b∈R,a≠0)解析:已知z1,z2为非零复数,设复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),由于OZ1⊥OZ2,所以z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(±r1r2i,即答案:B6.已知复数-3+4i的辐角主值为α,复数3-4i的辐角主值为β,则α-β=-π.解析:由题意知α-β是-3+4i3-4i的三角形式的辐角.因为-3+4i3-4i=-3-4i3-4i=-1,又由题意知π2<α<π,3π2<β<2π,所以7.已知等边三角形ABC的两个顶点A,B所表示的复数分别是12+32i和2,求另一个顶点C解:由题意可知,A,B所表示的复数分别是12+32i和2,AB所表示的复数为32-32i,点C把AB按逆时针方向旋转60°得到AC,AC对应的复数为（32-32i）(cos60°+isin60°)=32OC=OA+AC=12+32i+32+32i=2+3i,即点C将AB按顺时针方向旋转60°得到AC',AC（32-32i）[cos(-60°)+isin(-60°)]=-OC'=OA+AC'=12+32i-3i=12-32i,即点C'综上所述,另一个顶点C所表示的复数为2+3i或12-328.设点A,B分别对应非零复数z1,z2,且z12+z1z2+z22=0,试推断△解:因为z2≠0,由条件得(z1z2)2+(解得z1z2=-12±32i=cos(±2π3)所以∠AOB=23π因为|z1z2|=1,所以|z1|=|z综上可知,△AOB是顶角为2π3的等腰三角形C级挑战创新9.多空题将复数z1=3+3i对应的向量按逆时针方向旋转120°所得到的向量对应的复数为23(cos5π6+isin5π6),该复数除以复数12+32i后所得到的复数为解析:z1=3+3i=23(cosπ6+isinπ6).由题意知23(cosπ6+isinπ60·（cos2π3+isin2π3）=23（cos5π6+isin5π6）,即将