2025届高考数学一轮复习第八章立体几何第六节空间向量及其运算学案理含解析

PAGE第六节空间向量及其运算[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.2.会推导空间两点间的距离公式.3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示.4.驾驭空间向量的线性运算及其坐标表示.5.驾驭空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积推断向量的共线与垂直.空间向量及其运算未单独考查.1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算‖学问梳理‖1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线相互eq\x(1)平行或重合共面对量平行于eq\x(2)同一个平面的向量共线向量定理对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使eq\x(3)a＝λb共面对量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝eq\x(4)xa＋yb空间向量基本定理定理：假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝eq\x(5)xa＋yb＋zc推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1►常用结论1．当p，a，b都是非零向量时，共面对量定理事实上也是p，a，b所在三条直线共面的充要条件．2．推论与共面对量定理实质是一样的，只是形式不同，是证明P，A，B，C四点共面的重要理论依据和判定方法．2．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔eq\x(6)a·b＝0(a，b为非零向量)；③|a|2＝eq\x(7)a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝eq\x(8)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝eq\x(9)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒eq\x(10)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔eq\x(11)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝eq\x(12)eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))►常用结论设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝λb1，,a2＝λb2，,a3＝λb3.))这一形式不能随意写成eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3).只有在b与三个坐标轴都不平行时，才能这样写，这是因为：若b与坐标平面xOy平行，则b3＝0，这样eq\f(a3,b3)就无意义了．‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)空间中随意两非零向量a，b共面．()(2)对于向量a，b，若a·b＝0，则肯定有a＝0或b＝0.()(3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．()(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(5)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是平行．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√二、走进教材2．(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不对答案：C3．(选修2－1P118A6改编)已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．答案：eq\f(π,2)三、易错自纠4．(2025届济南月考)O为空间随意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，P四点()A．肯定不共面 B．肯定共面C．不肯定共面 D．无法推断解析：选B因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，所以P，A，B，C四点共面．5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c共面，则实数λ等于()A．eq\f(62,7) B．eq\f(63,7)C．eq\f(60,7) D．eq\f(65,7)解析：选D由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝2t－μ，,5＝－t＋4μ，,λ＝3t－2μ.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(33,7)，,μ＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))6．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝1解析：选C因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，故x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).故选C．eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(空间向量及其运算))|题组突破|1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析：选Aeq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.2．已知在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c解析：选B由题意得，eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)OA，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，如图所示，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.故选B．►名师点津用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，肯定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要敏捷应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍旧成立．eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(共线、共面对量定理的应用))|题组突破|3．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.∴m＋n＝－3.答案：－34．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)推断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．解：(1)由已知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．►名师点津证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))即可．对空间随意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(空间向量数量积的应用——变式探究))【例】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．[解](1)证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝p，eq\o(AC,\s\up6(→))＝q，eq\o(AD,\s\up6(→))＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r两两夹角均为60°，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)·p＝eq\f(1,2)(q·p＋r·p－p2)＝eq\f(1,2)(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，即MN⊥AB．同理可证MN⊥CD．(2)设向量eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(MC,\s\up6(→))的夹角为θ.∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(q＋r)，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝q－eq\f(1,2)p，∴eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(1,2)p))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q2－\f(1,2)q·p＋r·q－\f(1,2)r·p))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)a2cos60°＋a2cos60°－\f(1,2)a2cos60°))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(a2,4)＋\f(a2,2)－\f(a2,4)))＝eq\f(a2,2).又|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)a，∴eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝|eq\o(AN,\s\up6(→))||eq\o(MC,\s\up6(→))|cosθ＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(3),2)a×cosθ＝eq\f(a2,2).∴cosθ＝eq\f(2,3).∴向量eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(MC,\s\up6(→))的夹角的余弦值为eq\f(2,3).因此异面直线AN与CM所成角的余弦值为eq\f(2,3).|变式探究|1．在本例条件下，试求eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→)).解：由题意得，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)p，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)p·q＋eq\f(1,4)p·r＝eq\f(a2,4).2．在本例条件下，试求|eq\o(MN,\s\up6(→))|.解：由题意得eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)p，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q＋eq\f(1,2)r，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)p＋\f(1,2)q＋\f(1,2)r))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)a2.∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)a.►名师点津空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．|跟踪训练|如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EG,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→)).解：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.(1)由题意，得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EG,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋\f(1,2)c))·(c－a)＝－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(空间向量的创新应用))【例】(2025届湖南三湘名校第三次联考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，线段AP的长度的取值范围为()A．[1，eq\r(2)] B．[1，eq\r(3)]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))[解析]以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设P(a，b，1)，M(0，1，t)(0≤t≤1)，易知A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(a－1，b，1)，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(MD1,\s\up6(→))＝(0，－1，1－t)．∵AP⊥平面BMD1，∴AP⊥BD1，AP⊥MD1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\o(BD1,\s\up6(→))＝0，,\o(AP,\s\up6(→))·\o(MD1,\s\up6(→))＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a－b＋1＝0，,－b＋1－t＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝t＋1，,b＝1－t，))∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(t，1－t，1)，∴|eq\o(AP,\s\up6