2024-2025学年新教材高中数学第10章三角恒等变换10.2二倍角的三角函数课时素养评价含解析苏教版必修第二册

PAGE课时素养评价十三二倍角的三角函数(20分钟35分)1.sin22°30'·cos22°30'的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选B.原式=QUOTEsin45°=QUOTE.2.若sinQUOTE=QUOTE,则cosα等于 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为sinQUOTE=QUOTE,所以cosα=1-2sin2QUOTE=1-2×QUOTE=QUOTE.3.若QUOTE=QUOTE,则tan2α等于 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,故tanα=-3,所以依据倍角公式,得tan2α=QUOTE.【补偿训练】设f(tanx)=tan2x,则f(2)的值为 ()A.QUOTEB.-QUOTEC.-QUOTED.4【解析】选B.因为f(tanx)=QUOTE,所以f(2)=QUOTE=-QUOTE.4.化简QUOTE-2QUOTE= ()A.2sin4 B.-2sin4C.2cos4 D.-2cos4【解析】选A.原式=QUOTE-2QUOTE=2|cos4|-2|sin4+cos4|,因为π<4<QUOTE,所以cos4<0,sin4+cos4<0.所以原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.5.已知tanα=-QUOTE,则QUOTE=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=tanα-QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE6.已知函数f(x)=cosQUOTE+sin2x-cos2x+2QUOTE·sinxcosx.(1)化简f(x);(2)若f(α)=QUOTE,2α是第一象限角,求sin2α.【解析】(1)f(x)=QUOTEcos2x-QUOTEsin2x-cos2x+QUOTEsin2x=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x=sinQUOTE.(2)f(α)=sinQUOTE=QUOTE,2α是第一象限角,即2kπ<2α<QUOTE+2kπ(k∈Z),所以2kπ-QUOTE<2α-QUOTE<QUOTE+2kπ,所以cosQUOTE=QUOTE,所以sin2α=sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若tanα=3,则QUOTE= ()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】选D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=2tanα=6.2.QUOTE-QUOTE等于 ()A.-2cos5° B.2cos5°C.-2sin5° D.2sin5°【解析】选C.原式=QUOTE-QUOTE=QUOTE(cos50°-sin50°)=2QUOTE=2sin(45°-50°)=-2sin5°.3.已知等腰三角形底角的正弦值为QUOTE,则顶角的正弦值是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.设底角为θ,则θ∈QUOTE,顶角为180°-2θ.因为sinθ=QUOTE,所以cosθ=QUOTE=QUOTE.所以sin(180°-2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.下列关于函数f(x)=1-2sin2QUOTE的说法错误的是 ()A.最小正周期为πB.最大值为1,最小值为-1C.函数图象关于直线x=0对称D.函数图象关于点QUOTE对称【解析】选C.函数f(x)=1-2sin2QUOTE=cosQUOTE=sin2x,函数的最小正周期T=π,A正确.最大值为1,最小值为-1,B正确.由2x=kπ+QUOTE⇒x=QUOTE+QUOTE,k∈Z,得函数图象关于直线x=QUOTE+QUOTE,k∈Z对称,C不正确.由2x=kπ⇒x=QUOTE,k∈Z,得函数图象关于点QUOTE,k∈Z对称,D正确.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列选项中,值为QUOTE的是 ()A.cos72°cos36° B.sinQUOTEsinQUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE-QUOTEcos215°【解析】选AB.对于A,cos36°cos72°=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故A正确;对于B,sinQUOTEsinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE=QUOTE·2sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTE,故B正确;对于C,原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4,故C错误;对于D,QUOTE-QUOTEcos215°=-QUOTE(2cos215°-1)=-QUOTEcos30°=-QUOTE,故D错误.6.若2cos2α=sinQUOTE,则sin2α的值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选AC.若2cos2α=sinQUOTE,即2(cos2α-sin2α)=QUOTEcosα-QUOTEsinα,当cosα=sinα时,满意条件,此时,tanα=1,sin2α=1.当cosα≠sinα时,则2(cosα+sinα)=QUOTE,即cosα+sinα=QUOTE,所以1+2sinαcosα=QUOTE,即sin2α=2sinαcosα=-QUOTE.综上可得,sin2α=1或-QUOTE.【补偿训练】(多选题)若函数f(x)=(1+QUOTEtanx)cosx,则f(x)的()A.最小正周期为π B.最大值是2C.最小正周期为2π D.最大值是1【解析】选BC.f(x)=(1+QUOTEtanx)cosx=QUOTEcosx=QUOTEsinx+cosx=2sinQUOTE.所以f(x)的最小正周期为2π,当x+QUOTE=2kπ+QUOTE,k∈Z时,f(x)取到最大值2.三、填空题(每小题5分,共10分)7.函数f(x)=2cos2QUOTE-1的最小正周期为________.

【解析】f(x)=cosQUOTE=sin2x,故f(x)的最小正周期为π.答案:π【补偿训练】函数f(x)=cos2x+4sinx的值域是________.

【解析】f(x)=cos2x+4sinx=1-2sin2x+4sinx=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3.当sinx=1时,f(x)max=3;当sinx=-1时,f(x)min=-5.答案:[-5,3]8.若sinα+2cosα=0(0<α<π),则tanα=________,cosQUOTE=________.

【解析】因为sinα+2cosα=0(0<α<π),所以sinα=-2cosα,即tanα=-2.所以cos(2α+QUOTE)=QUOTEcos2α-QUOTEsin2α=QUOTE·QUOTE-QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE-QUOTE·QUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:-2QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知α为其次象限角,且sinα=QUOTE,求QUOTE的值.【解析】原式=QUOTE=QUOTE.因为α为其次象限角,且sinα=QUOTE,所以sinα+cosα≠0,cosα=-QUOTE,所以原式=QUOTE=-QUOTE.10.设函数f(x)=2cos2ωx+sinQUOTE+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为QUOTE.(1)求ω的值;(2)设f(x)在区间QUOTE上的最小值为QUOTE,求a的值.【解析】f(x)=1+cos2ωx+QUOTEsin2ωx-QUOTEcos2ωx+a=sinQUOTE+a+1.(1)由2ωx+QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z),得ωx=kπ+QUOTE(k∈Z).又ω>0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x=QUO