2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理6.2.3-4组合组合数学案含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE6.2.3组合6.2.4组合数[教材要点]要点一组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．eq\a\vs4\al(状元随笔)(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)组合的特性：元素的无序性．取出的m个元素不讲究依次，即元素没有位置的要求．(3)依据组合的定义，只要两个组合的元素完全相同，不论元素的依次如何，都是相同的组合；假如两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合．要点二组合数与组合数公式1.组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用符号________表示．eq\a\vs4\al(状元随笔)1.同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中取出2个元素的全部组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，即组合不是数，而是完成一件事的一种方法，而该问题的组合数为3，是一个数字．2.我们可以从集合的角度理解组合数的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中任取2个的全部组合构成的集合为A＝{ab，ac，bc}，则组合数即为集合A的元素个数．3.符号Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))是一个整体，n，m均为正整数，且m≤n.2.组合数公式：Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝________________＝________(n，m∈N*，且m≤n).[教材答疑][教材P22思索](1)是组合问题；(2)是排列问题．[基础自测]1.推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)).()(2)从a、b、c、d中选取2个合成一组，其中a、b与b、a是同一个组合．()(3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个的组合数”．()(4)组合和排列一样，都与“依次”有关．()2.(多选题)下列问题中是组合问题的是()A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参与两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？D．3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种安排方法？3.Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝()A．9B．8C．7D．64.现有6名党员，从中任选2名参与党员活动，则不同选法的种数为________．

题型一组合数的相关计算——师生共研例1解方程：(1)Ceq\o\al(\s\up1(x＋1),\s\do1(13))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－3),\s\do1(13))；(2)Ceq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(x＋2))＋Ceq\o\al(\s\up1(x－3),\s\do1(x＋2))＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x＋3)).方法归纳进行组合数的相关计算时，留意以下几点：(1)像排列数公式一样，公式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)一般用于计算，而公式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,m！（n－m）！)及Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)要留意公式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m))的逆向运用．(3)对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需依据组合数公式的连乘形式或阶乘形式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题．但在求出结果后应留意验证能不能使组合数有意义，既要保证组合数Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))中下标n大于或等于该组合数的上标m，又要保证n，m均为正整数．跟踪训练1(1)7Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))－4Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))的值为________．(2)若Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(n))，则Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(20))＝()A．380B．190C．18D．9题型二组合的应用——微点探究微点1“至多”与“至少”问题例2(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484(2)现有10件产品，其中有2件次品，随意抽出3件检查，至少有1件是次品的抽法有________种．方法归纳“至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)干脆分类法，留意分类要细、要全；(2)间接法，留意找准对立面，确保不重不漏．微点2“含”与“不含”问题例3在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参与市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？(1)随意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参与；(3)甲、乙、丙三人不能参与；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参与．方法归纳“含……”或“不含……”是组合应用的常见题型．其解法一般为干脆分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特别元素去掉再取出，分步计数．必要时，还需对元素进行分类，对题目中的元素分类后，要弄清被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特别元素，被取出的元素中含不含这个特别元素，这是解题的关键．当用干脆法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．跟踪训练2从六位同学中选出四位参与一个座谈会，要求小张、小王两名同学中至多有一个人参与，则不同选法的种数为()A．9B．14C．12D．15题型三排列与组合的综合问题——微点探究微点1先选后排问题例4(1)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为()A.420B.660C.840D.880(2)用数字1，2，3，4，5、6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个．(用数字作答)方法归纳解决先选后排问题时，应遵循三大原则：(1)先特别后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步．微点2安排问题例5把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的安排方法．(1)甲2本、乙2本、丙2本；(2)甲1本、乙2本、丙3本；(3)甲4本、乙1本、丙1本．方法归纳对于不等分组，只需将元素按要求依次安排给每个对象即可．跟踪训练36名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆支配1名，乙场馆支配2名，丙场馆支配3名，则不同的支配方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种易错辨析忽视元素无序，造成计数重复例65本不同的书全部分给4名同学，每名同学至少一本，不同的分法种数为________．解析：先把5本书分成4堆，然后分给4名同学．第1步，从5本书中随意取出2本捆绑成一个整体，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种方法．第2步，把4堆书分给4名同学，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种方法．由分步乘法计数原理知，不同的分法种数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝240.答案：240【易错警示】易错缘由解答此题时易得到如下错解：先从5本书中取4本分给4名同学，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))种方法，剩下的1本书可以给随意一名同学，有4种分法，不同的分法种数为4×Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝480.该解题过程中出现了重复选取的状况．设5本书分别为a，b，c，d，e，4名同学分别为甲、乙、丙、丁．依据上述分法可能有如下的表1和表2：表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最终一本书e给甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最终一本书a给甲．从结果上看以上两种状况是完全相同的，而在计数时把它们当成了不同的状况，造成重复计数．纠错心得对于元素无序的安排问题，一般不能采纳分步计数，而是实行先选后排的方法，即可避开重复计数．eq\x(温馨提示：请完成课时作业（四）)

6．2.3组合6．2.4组合数新知初探·课前预习要点一作为一组要点二1．个数组合数Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))2.eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)eq\f(n！,m！（n－m）！)[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：AC与依次有关，是排列问题；BD与依次无关，是组合问题．故选BD.答案：BD3．解析：Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝4×3－3＝9.故选A.答案：A4．解析：由题意得，不同选法的种数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15.答案：15题型探究·课堂解透题型一例1解析：(1)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤13，,0≤2x－3≤13，,x∈N*，))得2≤x≤8且x∈N*.故原方程的解为x＝4或x＝5.(2)原方程可化为Ceq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(x＋3))＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x＋3))，即Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(x＋3))＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x＋3))，∴eq\f(（x＋3）！,5！（x－2）！)＝eq\f(（x＋3）！,10·x！)，∴eq\f(1,120（x－2）！)＝eq\f(1,10·x（x－1）·（x－2）！)，∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.经检验，x＝4是原方程的解．跟踪训练1解析：(1)7Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))－4Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))＝7×eq\f(6×5×4,3×2×1)－4×eq\f(7×6×5×4,4×3×2×1)＝0.(2)∵Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(n))，∴n＝18，∴Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(20))＝Ceq\o\al(\s\up1(18),\s\do1(20))＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20))＝eq\f(20×19,2×1)＝190.故选B.答案：(1)0(2)B题型二例2解析：(1)方法一：本题的解题关键是抓住有无红色卡片来探讨．若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝64种取法；若2张同色，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝144种取法．若红卡片有1张，剩余2张不同色，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝192种取法；剩余2张同色，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝72种取法，故共有64＋144＋192＋72＝472种取法．故选C.方法二：从16张不同的卡片中任取3张，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16))种取法，其中有两张红色的有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))种取法，三张卡片颜色相同的有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×4种取法．所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×4＝472种．故选C.(2)方法一(干脆法)分两类：第1类，抽出1件次品，抽法种数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))；第2类，抽2件次品，抽法种数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8)).由分类加法计数原理知，不同的抽法种数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))＝56＋8＝64.方法二(间接法)从10件产品中任取3件的抽法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))种，不含次品的抽法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))种，所以至少有1件是次品的抽法种数为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))＝64.答案：(1)C(2)64例3解析：(1)从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(12))＝792.(2)甲、乙、丙三人必需参与，则只须要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝36.(3)甲、乙、丙三人不能参与，则只须要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))＝126.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参与，可分两步：第1步，从甲、乙、丙中选1人，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种选法；第2步，从另外9人中选4人，有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))种选法．依据分步乘法计数原理，可得不同的选法种数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))＝378.跟踪训练2解析：方法一(干脆法)分两类：第1类，小张、小王两名同学都不参与，有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种选法；第2类，小张、小王两名同学中只有一人参与，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))种选法．依据分类加法计数原理，可得不同的选法种数为Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝9.方法二(间接法)不同的选法种数为Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝9.答案：A题型三例4解析：(1)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝840种选法，其中不含女生的有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝180种选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为840－180＝660.故选B.(2)个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数可分为以下两类：第1类，个位、十位和百位上的数字为3个偶数，即个位、十位和百位上的数字由2，4，6构成，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种排法．千位数字只能从1，3，5中选，所以有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种选法．故本类包含Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))个数．第2类，个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数，先选出这个偶数有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种选法，然后选2个奇数，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种选法，将3个数排序得到四位数的个位、十位和百位，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种排法．最终选千位数字，从余下的3个数中选，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种选法．故本类包含Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))个数．综上，依据分类加法计数原理可知，满意题意的四位数共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝180(个).答案：(1)B(2)180例5解析：(1)第一步，从6本不同的书中选2本书安排给甲，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))种方法；其次步，从剩下的4本不同的书中选2本安排给乙，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种方法；第三步，剩下的2本