2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.3椭圆习题课限时规范训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE其次章2.22.2.3基础练习1．已知点(2,3)在椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上【答案】D【解析】由椭圆的对称性易知点(2，－3)在椭圆上．故选D．2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满意eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))【答案】C【解析】由题意可知eq\o(MF1,\s\up6(→))⊥eq\o(MF2,\s\up6(→))，∴点M在以F1F2为直径的圆上．又点M在椭圆内部，∴c<b.∴c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2.∴eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又e>0，∴0<e<eq\f(\r(2),2).3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋mx－(2m＋1)＝0的两个实数根，则经过两点A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))的直线与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1公共点的个数是()A．2 B．1C．0 D．不确定【答案】A【解析】由题意可知，对于随意的m，方程x2＋mx－(2m＋1)＝0总有两个实数根．当m＝0时，方程可化为x2－1＝0，故x1＝－1，x2＝1.A，B两点的坐标为(－1,1)，(1,1)．此时，A，B两点均在椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内部，故直线AB与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1有2个公共点．4．(2024年江西南昌期末)已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若eq\o(FA,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|等于()A．eq\r(2) B．2C．eq\r(3) D．3【答案】A【解析】设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆方程知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．由eq\o(FA,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，得(1，n)＝3(x0－1，y0)，即1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝eq\f(4,3)，y0＝eq\f(1,3)n.将x0，y0代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)n))2＝1.解得n2＝1.∴|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝eq\r(2－12＋n2)＝eq\r(2).5．(2024年天津模拟)若过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________________．【答案】x＋2y－4＝0【解析】设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),16)＋eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),16)＋eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).∴所求直线的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.6.经过椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，则弦长|AB|＝，eq\x\to(OA)·eq\x\to(OB)＝.【答案】eq\f(4\r(2),3)－eq\f(1,3)【解析】椭圆右焦点为(1,0)，求得l：y＝x－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝x－1代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得3x2－4x＝0.所以A(0，－1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，所以|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，eq\x\to(OA)·eq\x\to(OB)＝－eq\f(1,3).7．当实数m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144有一个公共点？两个公共点？没有公共点？解：联立直线与椭圆方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,9x2＋16y2＝144，))整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0.Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14400.当Δ＝0时，m＝±5，直线与椭圆有一个公共点．当Δ>0时，－5<m<5，直线与椭圆有两个公共点．当Δ<0时，m<－5或m>5，直线与椭圆没有公共点．8．已知斜率为1的直线l过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求|AB|.解：由椭圆方程，知右焦点F(eq\r(3)，0)．已知直线斜率为1，则直线方程l：y＝x－eq\r(3).把y＝x－eq\r(3)代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，整理得5x2－8eq\r(3)x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，∴x1＋x2＝eq\f(8\r(3),5)，x1·x2＝eq\f(8,5).∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(2)·eq\r(x1－x22)＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(8,5).实力提升9．设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝1内B．必在圆x2＋y2＝2外C．必在圆x2＋y2＝eq\r(2)外D．必在圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2形成的圆环之间【答案】D【解析】椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝－eq\f(c,a)，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝eq\f(b2,a2)＋eq\f(2ac,a2)>eq\f(a2＋c2,a2)＝1＋e2.∵0<e<1，即0<e2<1，∴1<e2＋1<2.∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)>1.又eq\f(b2,a2)＋eq\f(2ac,a2)<eq\f(b2＋a2＋c2,a2)＝2，∴1<xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)<2，即点P在圆x2＋y2＝1与x2＋y2＝2形成的圆环之间．故选D．10．已知椭圆M：eq\f(x2,4)＋y2＝1的上、下顶点为A，B，过点P(0,2)的直线l与椭圆M相交于不同的两点C，D(C在线段PD之间)，则eq\o(OC,\s\up6(→))•eq\o(OD,\s\up6(→))的取值范围是()A．(－1,16) B．[－1,16]C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(13,4))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(13,4)))【答案】D【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，C(0,1)，D(0，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝－1.当直线斜率存在时，设斜率为k(k≠0)，则直线方程为y＝kx＋2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＝64k2－48＞0，得k2＞eq\f(3,4).x1＋x2＝－eq\f(16k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(12,1＋4k2)，∴y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝k2·eq\f(12,1＋4k2)＋2k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16k,1＋4k2)))＋4＝eq\f(41－k2,1＋4k2).∴eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(12,1＋4k2)＋eq\f(41－k2,1＋4k2)＝eq\f(16－4k2,1＋4k2)＝－1＋eq\f(17,1＋4k2).∵k2＞eq\f(3,4)，∴1＋4k2＞4,0＜eq\f(17,1＋4k2)＜eq\f(17,4)，则－1＜eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＜eq\f(13,4).综上，eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(13,4))).故选D．11．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．【答案】－eq\f(1,3)【解析】由e2＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(6,9)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3).设M(x，y)，A(m，n)，B(－m，－n)，则k1·k2＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2).把y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,a2)))，n2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(m2,a2)))代入，化简，得k1·k2＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,3).12.(2024年吉林长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2))).(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若eq\x\to(AF1)＝2eq\x\to(F1B)，求直线l的斜率k的值.解：(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f