2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1-1.1.2变化率问题导数的概念课时素养评价含解析新人教A版选修2-2

PAGE课时素养评价一改变率问题导数的概念(15分钟30分)1.假如函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均改变率为3,则a=()A.-3 B.2 C.3 D.-2【解析】选C.依据平均改变率的定义,可知QUOTE=QUOTE=a=3.2.一物体的运动方程是s=t+QUOTE,则在t=2时刻的瞬时速度是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】选B.Δs=2+Δt+QUOTE-2-QUOTE=Δt-QUOTE,QUOTE=1-QUOTE,所以t=2时的瞬时速度为QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.已知函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近点(1+Δx,2+Δy),则QUOTE=()A.2 B.2x C.2+Δx D.2+Δx2【解析】选A.由题意得QUOTE=QUOTE=QUOTE=2+Δx,所以QUOTE(2+Δx)=2.4.已知点P(x0,y0)是抛物线y=3x2+6x+1上一点,且f′(x0)=0,则点P的坐标为、()A.(1,10) B.(-1,-2)C.(1,-2) D.(-1,10)【解析】选B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=3Δx+6x0+6,所以f′(x0)=QUOTE=QUOTE(3Δx+6x0+6)=6x0+6=0,所以x0=-1.把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y=-2.所以P点坐标为(-1,-2).5.在曲线y=f(x)=x2+3上取一点P(1,4)及旁边一点(1+Δx,4+Δy).求:(1)QUOTE.(2)f′(1).【解析】(1)QUOTE=QUOTE=QUOTE=2+Δx.(2)f′(1)=QUOTE=QUOTE(2+Δx)=2.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.质点运动规律s=t2+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于()A.6+Δt B.6+Δt+QUOTEC.3+Δt D.9+Δt【解析】选A.质点在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度为QUOTE=QUOTE=QUOTE=6+Δt.2.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均改变率等于 ()A.-1 B.1C.-2 D.2【解析】选A.易知fQUOTE=3,fQUOTE=1,因此QUOTE=-1.3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是()A.甲 B.乙C.相同 D.不确定【解析】选B.在t0处,W1(t0)=W2(t0),但W1(t0-Δt)<W2(t0-Δt),则QUOTE<QUOTE,所以,在相同的时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小,即乙厂的治污效果较好.4.若函数fQUOTE=x2由x=1至x=1+Δx的平均改变率的取值范围是QUOTE,则Δx的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为x由x=1至x=1+Δx时,Δy=fQUOTE-fQUOTE=QUOTE-12=QUOTE+2Δx,所以函数fQUOTE=x2由x=1至x=1+Δx的平均改变率为QUOTE=Δx+2,因为QUOTE=Δx+2∈QUOTE,所以Δx∈QUOTE.5.设f(x)为可导函数,且f′(2)=QUOTE,则QUOTEQUOTE的值为 ()A.1B.-1C.QUOTED.-QUOTE【解析】选B.因为QUOTEQUOTE=-2QUOTEQUOTE=-2f′QUOTE=-2×QUOTE=-1.【误区警示】对导数概念的不理解致错导数定义f′(x0)=QUOTE中,分式的分母肯定是自变量的增量(x0+Δx)-x0,上面肯定是函数值的增量f(x0+Δx)-f(x0),假如不满意,就要利用极限运算化简.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知物体运动的速度与时间之间的关系是vQUOTE=t2+2t+2,则在时间间隔QUOTE内的平均加速度是________.

【解析】由平均改变率的定义可知,该物体在QUOTE内的平均加速度为QUOTE=QUOTE=Δt+4.答案:Δt+47.已知曲线y=f(x)=2x2+1在点M处的瞬时改变率为-4,则点M的坐标为________.

【解析】QUOTE=QUOTE(2Δx+4x0)=4x0=-4,解得x0=-1,所以点M的坐标为M(-1,3).答案:(-1,3)8.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是________;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是________.

【解析】当Δx=1时,割线AB的斜率k1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=5;当Δx=0.1时,割线AB的斜率k2=QUOTE=QUOTE=4.1.答案:54.1三、解答题(每小题10分,共20分)9.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围.【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为QUOTE=QUOTE=QUOTE=4+Δt,又QUOTE≤5,即4+Δt≤5,所以Δt≤1.又Δt>0,所以Δt的取值范围为(0,1].10.在F1赛车中,赛车位移与竞赛时间t存在函数关系sQUOTE=10t+5t2(s的单位为m,t的单位为s).求:(1)t=20s,Δt=0.1s时的Δs与QUOTE;(2)t=20s时的瞬时速度.【解析】(1)Δs=sQUOTE-sQUOTE=10QUOTE+5QUOTE-10×20-5×202=21.05QUO