数理统计学（第二版）教学课件3 区间估计

第3章区间估计主要内容3.1置信区间3.2正态总体参数的置信区间3.3大样本置信区间3.4贝叶斯区间估计3.1置信区间

3.1.1置信区间概念注1:一个参数的区间估计可以给出多种,但要给出一个好的区间估计需要有丰富的统计思想和熟练的统计技巧。注2:当置信度所示概率与参数θ无关时,置信度就是置信系数,以后我们将努力寻求置信度与θ无关的区间估计。注3:上述定义中区间估计用闭区间给出,也可用开区间或半开区间给出,由实际需要而定。3.1.1置信区间概念

3.1.1置信区间概念

3.1.1置信区间概念妥协方案:在保证置信系数达到指定要求的前提下,尽可能提高精确度。这一建议被广大实际工作者和统计学家接受,这就引出置信区间的概念。3.1.1置信区间概念3.1.1置信区间

3.1.1同等置信区间

3.1.1置信限

3.1.1置信域定义3.1.5设x=(x1,x2,…,xn)是来自某总体分布Fθ(x)的一个样本,其中θ=(θ1,θ2,…,θk)是k维参数,其参数空间为Θ⊂Rk。假如对Θ的一个子集R(x)有(1)R(x)仅是样本x的函数;(2)对给定的α(0<α<1),有概率不等式

Pθ(θ∈R(x))≥1-α,∀θ∈Θ(3.1.6)则称R(x)是θ的置信水平为1-α的置信域(或置信集)。而概率Pθ(θ∈R(x))在参数空间Θ上的下确界称为该置信域的置信系数,假如式(3.1.6)成立,且不依赖于θ,则称R(x)为1-α同等置信域。3.1.2枢轴量法

3.1.2枢轴量法例3.1.2设x1,x2,…,xn是来自均匀分布U(0,θ)的一个样本,对给定的α(0<α<1)寻求θ的1-α置信区间。3.1.2枢轴量法例3.1.3设x1,x2,…,xn是从指数分布exp(1/θ)中抽取的一个样本。其密度函数为:

pθ(x)=e-x/θ,

x≥0其中θ>0为总体均值,即E(x)=θ,现要求θ的1-α置信区间(0<α<1)。。3.1.2枢轴量法

3.2正态总体参数

的置信区间3.2.1正态均值μ的置信区间

3.2.1正态均值μ的置信区间例3.2.1某公司生产的滚珠的直径X服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2=0.04。某天从生产线上随机抽取6个滚珠,测得其直径(单位:毫米)如下:

14.93

15.10

14.98

14.85

15.15

15.01若取α=0.05,寻求滚珠平均直径μ的置信区间。3.2.1正态均值μ的置信区间

3.2.1正态均值μ的置信区间例3.2.2用仪器间接测量炉子的温度,其测量值X服从正态分布N(μ,σ2),现重复测量5次,结果(单位:℃)为:

1250

1265

1245

1260

1275若取α=0.05,寻求炉子平均温度μ的置信区间。3.2.2样本量的确定(一)

在统计问题中,样本量越大,一般都可使未知参数的估计的精度越高。但大样本的实现所需经费高、实施时间长、投入人力多,致使统计学的应用在某些场合受到限制。所以实际中人们关心的是:在一定要求下,至少需要多少样本量就够了。这就是样本量的确定问题。

样本量的确定有多种方法,不同场合使用不同方法。这里将在区间估计场合,限制置信区间长度不超过2d的需求下来确定样本量n,其中d是事先给定的置信区间半径。下面介绍三种方法。3.2.2样本量的确定(一)

3.2.2样本量的确定(一)例3.2.3设一个物体的重量μ未知,为估计其重量,可以用天平去称,现在假定称重服从正态分布。如果已知称量的误差的标准差为0.1克(这是根据天平的精度给出的),为使μ的95%的置信区间的长度不超过0.2,那么至少应该称多少次?3.2.2样本量的确定(一)

3.2.2样本量的确定(一)例3.2.4为了对垫圈总体的平均厚度做出估计,我们所取的风险是允许在100次估计中有5次误差超过0.02cm,近期从另一批产品中抽得一个容量为10的样本,得到标准差的估计为s0=0.0359,问现在应该取多少样品为宜?3.2.2样本量的确定(一)

3.2.2样本量的确定(一)

3.2.2样本量的确定(一)例3.2.5有一大批部件,希望确定某特性的均值,若允许此均值的估计值的误差不超过4个单位(即d=4),问在α=0.05下需要多少样本量?。3.2.3正态方差σ2的置信区间

3.2.3正态方差σ2的置信区间例3.2.6某种导线的电阻值服从正态分布N(μ,σ2)。现从中随机抽取9根导线,由测得的9个电阻值算得样本的标准差s=0.0066(单位:欧姆),试求该导线电阻值的0.95单侧置信上限。

例3.2.7从自动车床加工的一批零件中随机抽取10只,测得其直径(单位:厘米)为:

15.2

15.1

14.8

15.3

15.2

15.4

14.8

15.5

15.3

15.4若零件直径测量值服从正态分布N(μ,σ2),试求(μ,σ2)的0.90置信域。

3.2.5两正态均值差的置信区间

3.2.5两正态均值差的置信区间

3.2.5两正态均值差的置信区间例3.2.9为考察两实验室在测水中含氯量上的差异,特在该厂废水中每天取样,共取11个样品,每个样品均分两份,分别送至两实验室测定其中氯的含量,具体数据列于表3.2.1上。若假设各实验室测定水中含氯量都服从正态分布,要求其均值差的0.95置信区间。

3.3大样本置信区间3.3.1精确置信区间与近似置信区间前面叙述的枢轴量法和单调函数法都是构造精确置信区间的方法,其特点是:对给定的置信水平1-α,按这些方法一般可获得置信系数恰好为1-α的置信区间。这类方法常在小样本场合使用,当然也可用于大样本场合。还有一类构造置信区间的方法,它们仅能在大样本场合使用,所得的置信区间的置信系数不能精准地达到预先设定的置信水平1-α,只能近似于给定的置信水平1-α,这一类方法常称为大样本方法,所得置信区间称为近似置信区间,或称大样本置信区间。3.3.1精确置信区间与近似置信区间

3.3.1精确置信区间与近似置信区间

3.3.2基于MLE的近似置信区间

3.3.2基于MLE的近似置信区间

3.3.3基于中心极限定理的近似置信区间

3.3.3基于中心极限定理的近似置信区间例3.3.4设x1,x2,…,xn是来自二点分布b(1,p)的一个样本,其总体均值与方差分别为:

E(x)=p,

Var(x)=p(1-p)求基于中心极限定理的近似置信区间3.3.4样本量的确定(二)这里将讨论在大样本场合,为使比率p的估计达到给定精度至少需要多少样本量的问题。3.3.4样本量的确定(二)例3.3.5为估计某城市成年男子中吸烟率p,某调查公司接受了此项任务。首先遇到的问题是在该城市要对多少成年男子作调查才能有99%的保证概率使吸烟频率

与真实吸烟率的差异不大于0.005?3.3.4样本量的确定(二)例3.3.6某电视台委托某调查公司对其某综艺节目收视率作抽样调查,要求绝对误差不超过0.03的保证概率为0.95,但已知该节目收视率不会超过0.2。3.4

贝叶斯区间估计3.4.1

可信区间

3.4.1

可信区间

3.4.1

可信区间例3.4.2经过早期筛选后的彩色电视接收机(简称彩电)的寿命服从指数分布,它的密度函数为:

p(t|θ)=θ-1e-t/θ,

t>0其中θ>0是彩电的平均寿命。在例2.5.9中曾选用θ的共轭先验分布——倒伽玛分布IGa(α,λ),并利用先验信息确定其中两个参数:α=1.956,λ=2868。后又利用样本信息(100台彩电进行400小时试验,无一台失效,即S=40000,r=0)。最后得