《电路分析基础》课件第6章 电路频率响应

6.1网络函数与频率响应一、网络函数二、网络频响特性

6.2常用一阶电路的频率响应一、RC一阶低通电路二、RC一阶高通电路6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性

一、串联谐振

二、频率特性

三、通频带

6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性

一、并联谐振

二、频率特性三、通频带下一页前一页第6-1

页第6章电路的频率响应回本章目录(本章共59页)点击目录中各节后页码即可打开该节P2P8P41P20

电路频率响应，就是讨论电路响应（电流或电压）相量与电路激励（电流或电压）相量的比值函数随频率变化关系的。如何正确的选用或设计网络，使它的频率特性适应人们的需要，这是无线电、电子电路技术应用中的一个重要课题。6.1网络函数与频率响应一、网络函数1、定义：网络函数定义为电路的响应相量与电路的激励相量之比，以符号H(jω)表示。即（6.1-1）(1)可以是电压相量，也可以是电流相量(2)可以是电压相量，也可以是电流相量(3)可以是同一对端钮上的相量，也可以是非同一对端钮上的相量。

(4)可以是同一对端钮上的相量，也可以是非同一对端钮上的相量。

2、说明：频率函数！下一页前一页第6-2

页6.1网络函数与频率响应下一页前一页第6-3

页3、分类策动网络函数响应相量和激励相量为同一对端钮上的相量传输网络函数响应相量和激励相量为非同一对端钮上的相量

输入阻抗Zin输入导纳Yin输出导纳Yout输出阻抗Zout以图6.1-1为例对传输网络函数再做进一步的说明。（a）图中的11’加的是电压源相量；(b)图中的11’加的是电流源相量；图中，N为无独立源的电路，22’为它的输出端。对于（a）图情况，若以为响应相量，则N的网络函数（6.1-2）无单位6.1网络函数与频率响应若以为响应相量，则N的网络函数（6.1-3）对于（b）图情况，若以为响应相量，则N的网络函数（6.1-4）若以为响应相量，则N的网络函数（6.1-5）观察式（6.1-2）~（6.1-5），显而易见：S单位Ω单位无单位(1)若网络N的结构、元件值一定，当选定激励端与响应端时，H1(jω)～H4(jω)只是频率的函数。(2)因响应相量类型、激励相量类型的不同，对一确定的网络来说，它的传输网络函数形式可能不同，或是H1(jω)或是H2(jω)或是H3(jω)或是H4(jω)。(3)当网络一定时，若选的激励端、响应端不同，其网络函数亦是不同的。二、网络频率特性下一页前一页第6-4

页一般，含动态元件电路的网络函数H(jω)是频率的复函数，将它写为指数表示形式，有（6.1-6）1、网络的幅频特性与相频特性6.1网络函数与频率响应下一页前一页第6-5

页式中：称为网络函数的模，称为网络函数的辐角，它们都是频率的函数。将与ω的关系画出的曲线（函数图形）称为网络的幅频特性；

将与ω的关系画出的曲线称为网络的相频特性；

若特殊情况，网络函数H(jω)是ω的实函数，亦可将幅频特性与相频特性合二为一画在一个实平面上：H(jω)为纵坐标轴，ω为横坐标轴。在横轴上面的曲线部分对应各频率的相位均为0o；在横轴下面的曲线部分对应各频率的相位均为180o或-180o。2、频率特性分类根据网络的幅频特性，可将网络分类成低通、高通、带通、带阻、全通网络，也称为相应的低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。各种理想滤波器的幅频特性如图6.1-2（a），（b），（c），（d），（e）所示。

图中：“通带”表示频率处于这个区域的激励源信号（又称输入信号）可以通过网络，顺利到达输出端产生响应信号输出。6.1网络函数与频率响应下一页前一页第6-6

页“止带”表示频率处于这个区域的激励源信号被网络阻止，不能到达输出端产生输出信号，即被滤除掉了。滤波器名称的由来就源于此。符号ωc称为截止角频率。图（a）（低通滤波器）中的ωc表示角频率高于ωc的输入信号被截止，不产生输出信号，它的通频带宽度（6.1-7）图（b）（高通滤波器）中的ωc表示角频率低于ωc的输入信号被截止，不产生输出信号，它的通频带宽度（6.1-8）图（c）（带通滤波器）中的ωc1，ωc2，分别被称为下、上截止角频率，其意为角频率低于ωc1的输入信号和角频率高于ωc2的输入信号被截止，它的通频带宽度（6.1-9）图（d）（带阻滤波器）中的ωc1，ωc2，亦分别称为下、上截止角频率，其意为角频率高于ωc1而低于ωc2的输入信号被截止，不产生输出信号，它的带阻宽度为ωc1～ωc2；它的通带要分作两段表示，即（6.1-10）6.1网络函数与频率响应下一页前一页第6-7

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应该说，对于带阻滤波器来说，人们更关注的是它的带阻宽度。

图（e）（全通滤波器）中无截止角频率，意味着对于所有频率分量的输入信号都能通过网络，到达输出端产生输出信号，全通滤波器也就由此而得名。3、关于超前、滞后网络概念根据网络的相频特性，又可将网络分类为超前网络与滞后网络。(1)若满足的网络，称为超前网络；(2)若满足的网络，称为滞后网络。(3)若满足在此频率区间属超前网络。在此频率区间属滞后网络。6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-8

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从时域看，列写的网络输入、输出方程是几阶的微分方程，那就是几阶的网络。从电路的具体结构看，电路中包含多少个独立的动态元件，那就是多少阶的电路。一、RC一阶低通电路的频率特性在图6.2-1的电路中，若选为激励相量，为相应相量，则网络函数（6.2-1）式中（6.2-2）（6.2-3）根据（6.2-2）和式（6.2-3）可分别画得网络的幅频特性和相频特性如图6.2-2（a），（b）所示。6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-9

页由图6.2-2（a）、（b）可见：(1)当ω=0，即输入为直流信号时，，。这说明输出信号电压与输入信号电压大小相等、相位相同；(2)当ω=∞时，，。这说明输出信号电压大小为0，而相位滞后输入信号电压90o。

对图6.2-1电路来说，直流和低频信号容易通过，而高频信号受到抑制，所以这样的网络属于低通网络。

但从图6.2-2（a）所示该网络的幅频特性看，它与图6.1-2(a)所示理想低通的幅频特性相比有明显的差异。

图6.2-2(a)中的与ω的关系是单调下降的连续变化曲线，在ω=ωc处不像图6.1-2（a）所示那样为第一类间断点（突跳点），而是其数值为0.707的连续点。尽管沿用理想低通网络用的术语亦称ωc为截止角频率，但“截止”的含义已打了折扣，从图6.2-2（a）所示曲线就可以看出，当ω＞ωc时，输出信号是减小了，但不是零，并没有明显截止的“界限”。

6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-10

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网络的截止角频率是个重要概念，在滤波网络中经常用到。那么，截止角频率的电路含义是什么，如何确定它的数值呢？实际低通网络的截止角频率是指网络函数的幅值下降到值0.707即倍时所对应的角频率，记为ωc。这样定义的截止角频率具有一般性。对图6.2-1所示的RC一阶低通网络，因所以按来定义。由式(6.2-2)，得所以则（6.2-4）

引入截止角频率以后，可将式（6.2-1）这类一阶低通网络的网络函数归纳为如下的一般形式：6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-11

页（6.2-5）它是与网络的结构及元件参数有关的常数。由式（6.2-5）或图6.2-2可以看出：当ω=ωc时，,。对于这类低通网络，当ω高于ωc时，，输出信号的幅值较小，工程实际中常将它忽略不记，认为角频率高于ωc的输入信号不能通过网络，被滤除了。通常，亦把的角频率范围作为这类实际低通滤波器的通频带宽度。如果用分贝为单位表示网络的幅频特性，其定义为（6.2-6）也就是说，对取以10为底的对数并乘以20，就得到了网络函数幅值的分贝数。6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-12

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当ω=ωc时有所以又称ωc为3分贝角频率。如果从功率角度看，输出功率与输出电压平方成正比。在图6.2-1网络中，最大输出电压U2=U1，所以最大输出功率正比于，当ω=ωc时，，它只是最大输出功率的一半，因此3分贝频率点又称为半功率频率点。说明:(1)3分贝频率点或半功率频率点即是前述的截止频率点，它只是人为定义出来的一个相对标准。(2)按关系来定义通频带边界频率即截止频率的实际背景与“历史”原因:早期，无线电技术应用于广播与通信，人的耳朵对声音的响应关系呈对数关系，也就是说，人耳对高于截至频率ωc以上的频率分量及低于ωc的频率分量，能感觉到它们的显著差异。由图6.2-2（b）可以看出，随着角频率的增加，相位角将从0o到90o单调下降，说明输出信号电压总是滞后输入信号电压的，滞后的角度介于0o～90o之间，具体数值取决于输入信号的角频率与网络的元件参数值。因此，图6.2-1所示的RC一阶低通网络属于滞后网络。6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-13

页今后亦可以从网络函数式判断网络的阶次，网络函数H(jω)的分母中包含(jω)的方次是几阶的，该网络函数所对应的网络就是几阶网络。例6.2-1

如图6.2-3所示由电阻、电容构成的一阶低通网络，其输出端接负载电阻。试分析其频率特性（绘出幅频特性、相频特性），并求出截止角频率。解：以作为输入相量，作为输出相量，则网络函数令则代入左式，得6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-14

页（6.2-7）显然（6.2-8）（6.2-9）将ω=0代入（6.2-8）式，得（6.2-10）按定义网络的截止角频率，即由上式得（6.2-11）由式(6.2-8)、(6.2-9)可分别画出幅频特性与相频特性如图6.2-4（a）,（b）所示。6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-15

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由此例可见，加负载以后的RC一阶低通网络对输出直流电压的大小及截止角频率都有影响。负载重（负载电阻减小）时，输出直流电压明显降低，截止角频率升高，对交流信号的滤除作用也相对减弱。由电阻、电容构成的这类实际的低通网络常用于电子设备的整流电源中，以滤除整流后电源电压中的交流分量。例6.2-2

在图6.2-5所示的网络中，已知C=0.01μF，在f=10kHz时输出电压滞后输入电压30o

，此时电阻R应为何值？若输入电压振幅U1m=100V，此时输出电压振幅U2m应是多少伏？解：由式(6.2-9)可得所以

则又

故6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-16

页二、RC一阶高通电路的频率特性图6.2-6所示网络是多级放大器中常用的RC耦合电路，若选为输入相量，为输出相量，则网络函数（6.2-12）式中（6.2-13）（6.2-14）由式(6.2-13)和式(6.2-14)可分别画得网络的幅频特性与相频特性，如图6.2-7（a）,（b）所示。由式(6.2-13)和式(6.2-14)或由图6.2-7（a）、（b）可以看出：6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-17

页(1)当ω=0时，有｜H(j0)｜=0，φ(0)=90o，说明输出电压大小为0，而相位超前输入电压90o。(2)当ω=∞时，有｜H(j∞)｜=1，φ(∞)=0o，说明输入与输出电压相量大小相等、相位相同。

由此可见，图6.2-6所示网络的幅频特性恰与低通网络的幅频特性相反，它起抑制低频分量、易使高频分量通过的作用，所以它属于高通网络。

从相位特性看，随着ω由0向无穷大增高时，相移由90o单调的趋向于0o，这说明输出电压总是超前输入电压的，超前的角度介于90o～0o之间，超前角度的数值取决于输入电压频率和元件参数值。因此，这类网络属于超前网络。实际高通网络的截止角频率可按下式定义：（6.2-15）对于图6.2-6所示的RC一阶高通网络，考虑｜H(j∞)｜=1,所以根据定义式（6.2-15）并联系幅频特性式（6.2-13），有故解得（6.2-16）一阶RC低通和高通网络的截止角频率的数值都等于一阶电路时间常数的倒数，但低通、高通网络截止角频率的含义恰恰是相反的。6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-18

页同低通网络类似，在引入截止角频率后，对一节高通网络的网络函数亦可归纳为如下形式：（6.2-17）它是与网络的结构和元件参数有关的常数。例6.2-3

图6.2-8为某晶体管放大器的低频等效电路。图中，为放大器的输入信号电压，已知β=40，RL=2kΩ，C为输入端耦合电容。试求该放大器的电压放大倍数Au的表达式

若要求放大器低频截止频率fc=50Hz，则电容C应为多大？解：这个问题可先不管晶体管放大器的等效电路是如何得到的，只根据图6.2-8所示电路来加以计算。由图可得电流6.2常用一阶电路的频率响应下一页前一页第6-19

页式中，输出电压则（6.2-18）式(6.2-18)与一阶高通网络函数的通式(6.2-17)是一样的。由上式可见：当ω下降时，Uo下降，Au亦下降。从物理概念上看，这主要是电容C对低频信号的阻止作用造成的。当频率很高时，即，这时放大倍数式中，负号说明此时与反相。该放大器低频截止角频率若要求低频截止频率fc=50Hz，则电容为6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-20

页收音机输入电路采用的串联谐振电路模型如图6.3-1所示。图6.3-1串联谐振电路的电路模型设正弦激励电压源的角频率为ω，其电压相量为，为了讨论问题方便，取的初始相位为0o。串联回路的总阻抗（6.3-1）则回路电流（6.3-2）式中（6.3-3）（6.3-4）6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-21

页电容上电压（6.3-5）式中（6.3-6）（6.3-7）由式(6.3-2)与式(6.3-5)可以看出：，与电路中元件参数有关，与频率有关，也与激励源有关。所以直接用响应相量，不管是电压相量或电流相量，均不能客观反映电路本身的频率特性。6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-22

页一、串联谐振设回路中各元件参数保持一定，电源的幅度不变而频率可变，看回路阻抗如何随频率而改变的。图6.3-2串联谐振电路的电抗及阻抗模曲线XL、XC、X及阻抗模｜Z｜隨ω变化曲线如图6.3-2所示。当串联回路中电抗等于0时，称回路发生了串联谐振。

相应的角频率用ω0表示。由于这时（6.3-8）故得（6.3-9）或（6.3-10）1、谐振角频率6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-23

页由式(6.3-9)和(6.3-10)可以看出：回路的谐振频率仅由回路本身的电感、电容的元件参数决定，而与外加电压源的电压大小、频率无关。

2、特性阻抗发生谐振时的感抗或容抗值大小，称为电路的特性阻抗，以符号ρ表示，即（6.3-11）将代入上式，所以特性阻抗亦可改写为（6.3-12）3、品质因数Q回路特性阻抗与回路中电阻r的比值定义为回路的品质因数，用符号Q表示，即（6.3-13）考虑式(6.3-11)，(6.3-12)特性阻抗的表达形式，所以品质因数Q亦可以改写为（6.3-14）由式(6.3-12)、式(6.3-14)可见，特性阻抗、品质因数也只取决于电路元件的参数值，而与外界因素无关。这里应明确，电路的品质因数概念是电感、电容元件品质因数概念的扩展。为了客观的反映实际线圈储能与耗能的作用，人们希望储能与耗能之比要大，把这一比值定义为衡量元件质量好坏的参数，即元件的品质因数。6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-24

页若从功率角度描述，元件的品质因数是元件上无功功率与损耗功率之比，即（6.3-15）考虑线圈的损耗时（参看图6.3-3（a）），分别计算有耗电感上的无功功率和消耗功率代入上式，有图6.3-3有耗电感、电容元件模型（6.3-16）实际电容元件极板间的介质并非理想绝缘，也或多或少有漏电，与之对应，呈现有漏电阻跨接于电容两极板之间，其模型如图6.3-3（b）所示。也分别计算无功功率和损耗功率代入式(6.3-15)，得（6.3-17）从式(6.3-16)和式(6.3-17)看，好像元件的品质因数随ω升高而升高。事实上，实际电感元件等效串联损耗电阻r是随频率升高而升高的，而实际电容元件等效并接漏电阻R是随频率升高而减小的。为什么？请思考并讨论。

6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-25

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当用实际电感线圈、电容组成谐振电路时，仍用式(6.3-15)来定义回路的品质因数，不过这时“无功功率”应理解为电感中的无功功率或电容中的无功功率，而“损耗功率”应理解为回路中损耗的总功率。

由于仅在谐振时，电容中的无功功率数值上才等于电感中的无功功率，所以回路的品质因数仅在谐振时有意义,计算回路Q值时应该用谐振频率。4、电路调谐的两种方式(1)一种是电路元件参数一定，改变电源频率使之等于电路的谐振频率，电路达到了谐振。在试验室里观察确定电路的谐振状态，或测试它的频率特性时遇到的就是这种情况。(2)另一种是电源频率一定，改变电路的参数（调电容C或电感L），即改变电路的谐振频率，使f0=f，同样也可使电路处于谐振状态。用收音机收听广播电台的节目就是这样的。5、串联谐振时的特点(1)由式(6.3-1)可得谐振时的回路阻抗（6.3-18）为纯电阻，且数值最小。6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-26

页(2)由式(6.3-2)可得谐振时的回路电流（6.3-19）其值最大，且与激励源同相位。(3)谐振时电阻r上的电压（6.3-20）它与激励源大小相等、相位相同。(4)谐振时电容C、L上的电压分别为（6.3-21）（6.3-22）比较式(6.3-21)与式(6.3-22)可见：电路在谐振时，电容C上电压与电感L上的电压大小相等、相位相反。两者电压大小都等于电源电压的Q倍。例6.3-1

在图6.3-4的串联谐振电路中，已知回路品质因数Q=50,电源电压有效值Us=1mV。试求：电路的谐振频率f0、谐振时回路中电流有效值I0、电容上电压有效值UC0。图6.3-4例6.3-1使用电路解：谐振频率6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-27

页为求谐振时的电流，须先求得回路中的电阻，由式(6.3-14)稍作改写可得所以谐振时的电流有效值电容上电压有效值例6.3-2

图6.3-5（a）所示串联谐振电路，由L=1mH，QL=200的电感线圈及C=160pF的电容器组成，接到有效值Us=10mV的信号源上，信号源的内阻为Rs，信号源的频率等于回路的谐振频率。图6.3-5例6.3-2使用电路解：（1）由式(6.3-9)算得6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-28

页因回路谐振，又Rs=0，此时电路Q值等于QL，所以（2）电源内阻Rs=10Ω，回路总损耗电阻为r=rL+Rs

。所以，此种情况下的回路品质因数Q不等于电感线圈的品质因数QL，根据式(5.3-16)，求得此时电容上电压有效值

从这一结果可以看到，电源内阻对谐振回路的影响是相当大的，在本题条件下，它使电容器上的谐振电压由原来的2V降低了近一半。（3）实际电压表都有一定的内阻，若用电压表测量电容电压，相当于在电容器两端并接了一个电阻。这里Rv=125kΩ,应用阻抗并联化为串联的等效，可将（b）图等效为（c）图。6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-29

页考虑到，在图（c）中，所以有由图（c）可见，这时回路总的损耗电阻为所以，在这种情况下的品质因数电容上电压有效值（忽略图（c）中rV上电压）

这就是用电压表测量的数值。从这一结果可以看到，若用电压表测量电抗元件上的谐振电压，电压表必须要具有很高的内阻。否则，测量误差太大！6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-30

页二、频率特性参看图6.3-1所示电路，若以为激励相量，以电流为响应相量，则网络函数图6.3-1串联谐振电路的电路模型考虑，

，代入上式，得（6.3-23）这里所定义的网络函数就是导纳函数，单位为S。6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-31

页令（6.3-24）称为相对失谐。表示无失谐（处于谐振状态）数值大表示失谐严重当失谐较小时，例如时,,于是相对失谐可近似地表示为（6.3-25）式中，是相对于谐振频率的失谐量。将式（6.3-24）代入式（6.3-23），得(6.3-26)6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-32

页式中（6.3-27）（6.3-28）由式(6.3-27)和式(6.3-28)可画出该网络的幅频特性与相频特性。为了通用性和分析问题的方便，一般对H(jω)采用归一化处理，定义谐振函数（6.3-29）由式(6.3-23)，得（6.3-30）将式(6.3-26)和式(6.3-30)代入式(6.3-29)，得（6.3-31）式中（6.3-32）（6.3-33）6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-33

页若以Q为参变量，由式(6.3-32)和式(6.3-33)可画得归一化的幅频特性与相频特性，如图6.3-6（a），（b）所示。图6.3-6串联谐振电路的归一化频率特性(a)幅频特性；(b)相频特性曲线严格对称于ξ=0点以f为自变量画出的幅频特性与相频特性并不对称于f0点。不过，在小失谐的情况下，若用式(6.3-25)将式(6.3-32)和式(6.3-33)中的ξ换算为f，即得（6.3-34）（6.3-35）

在这种近似条件下，幅频特性与相频特性可以看作对称于中心频率f0，工程应用中，对许多实际问题的分析就是这样做的。例6.3-3

某晶体管收音机输入回路的电感L=310μH，今欲收听载波频率为540kHz的电台信号，问这时调谐电容应是多大？6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-34

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若回路的品质因数Q=50，频率为540kHz的电台信号在天线线圈上的感应电压有效值Us1=1mV，同时有另一频率为600kHz的电台信号在天线线圈上的感应电压有效值Us2=1mV，试求两者在回路中产生的电流。解：为能收听到频率为540kHz的电台节目，应调节电容C，使回路谐振频率等于540kHz，因回路谐振频率，所以回路对频率540kHz电台的信号谐振，此时回路电流有效值因，所以，将r代入上式可得回路对频率为600kHz电台的信号失谐，此时回路阻抗6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-35

页所以那么频率为600kHz电台信号在回路中产生的电流有效值为而（本题），所以

由此例具体的计算结果可见，回路对频率有选择性。虽然两电台信号都在天线线圈上感应1mV的电压，但是由于回路对频率为540kHz的电台信号谐振，对频率为600kHz的电台信号失谐，所以两个信号在回路中产生的电流数值相差10倍以上。6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-36

页三、通频带

从图6.3-6的谐振曲线可看出，回路Q值愈高，谐振曲线愈尖锐，选择能力就愈强。也就是说，选用Q值较高的电路，有利于从众多的各种单一频率信号中选择出所需要的信号，而抑制其他的干扰。

而实际信号都占有一定的频带宽度，就是说，实际信号是由若干频率分量所组成的多频率信号，我们不能只选择出需要实际信号中某一频率分量而把实际信号中其余有用的频率分量抑制掉，那样就会引起严重的失真，这是不能允许的。

人们期望谐振电路能够把实际信号中的各有用频率分量都能选择出来，而且对各有用的频率分量能“一视同仁”的进行传输，对于不需要频率的信号（统称为干扰）能最大限度的加以抑制。1、通频带定义

为了衡量回路选择频率的能力与传输有一定带宽的实际信号的能力，这里定义串联谐振电路的通频带。

在中心频率f0两侧，当时，对应的频率fc1，fc2，如图6.3-7所示。其中，高于f0的fc2称为上截止频率，低于f0的fc1称为下截止频率。对应于fc1、fc2之间的频率范围称为电路的通频带宽度，即6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-37

页或图6.3-7通频带示意图2、计算通频带的重要公式推导根据通频带定义，有则整理上式，得解以上两个二次方程，舍去无意义的负根，得上截频下截频6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-38

页所以电路通频带宽度（6.3-36）或（6.3-37）该式表明：网络的通频带与网络的谐振频率成正比，与网络的品质因数成反比。3、“选择性”与“带宽”矛盾的折衷处理

电路的Q值高，电路的选择性能好，但电路通频带就窄。从某种意义上说，“选择性”与“带宽”是一对矛盾。实际中如何处理好这一对矛盾是很重要的。(1)在满足电路带宽等于或略大于欲传输信号带宽的前提下，应尽量使电路的Q值高，以利于“选择性”。(2)为了减小所要传输信号的失真，不但要使信号的各频率分量都处于电路带宽之内，而且电路对它们要“平等对待”地传输，这就要求在通频带内的那部分电路谐振曲线最好是平坦的。电路的Q值低，带内曲线平坦度好，相对来说引起带内信号幅度失真小。6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-39

页(3)电路Q值究竟是高好，还是低好，不能一概而论，要针对具体的情况具体分析。若主要矛盾方面是“选择性”，那就使用Q值高些的电路；相反，若主要矛盾方面是“带宽”，那就可适当的降低电路的Q值。例6.3-4在图6.3-8所示rLC串联谐振电路中，已知，ω0为电路谐振角频率，C=400pF，r上消耗的功率为5mW，电路通频带BW=4×104rad/s，试求。图6.3-8例6.3-4使用电路解：因电路处于谐振状态，所以电阻r上的电压与电源电压相等。由所以又所以故6.3常用rLC串联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-40

页因所以6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-41

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由实际的电感线圈、电容器相并联组成的电路，称为实用的并联谐振电路。图6.4-1是它的电路模型形式。图6.4-1实用并联谐振电路模型

图中，电流源是放大器的等效电流源，r是反映实际线圈本身损耗的等效电阻，实际电容器的损耗很小，可忽略不计。设正弦激励电流源的频率为f、相量为，为了讨论问题方便，取的初始相位为0o。并联回路两端导纳（6.4-1）式中（6.4-2）（6.4-3）一、并联谐振1、谐振频率满足式(6.4-3)为0的角频率，称为并联谐振回路的谐振角频率，以符号ω0表示。即有6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-42

页（6.4-4）谐振条件式由式(6.4-4)得（6.4-5）解上式，得（6.4-6）

式(6.4-6)表明，对于图6.4-1所示的并联谐振电路，其谐振角频率不但与回路中的电抗元件参数有关，而且与回路中的损耗电阻r也有关。2、品质因数在并联谐振电路中，回路品质因数Q的物理含义，同串联谐振电路时是一样的,也是谐振时电感（或电容元件）上无功功率与电路中有功功率（对图6.4-1的并联谐振电路，即是r上消耗的功率）之比。因流经r与L的电流同是，所以（6.4-7）并联谐振电路谐振频率精确表达式同串联谐振电路时计算公式相同6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-43

页由式(6.4-7)，可有（6.4-8）所以（6.4-9）将式(6.4-9)代入式(6.4-6)，则并联谐振回路的谐振角频率又可表示为（6.4-10）或（6.4-11）实际应用的并联谐振电路一般满足（称高Q条件），所以式(6.4-10)和式(6.4-11)，在工程计算中常近似为（6.4-12）（6.4-13）若无特殊说明，所给出的并联谐振电路即按上两式计算它的谐振角频率或频率。6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-44

页关于并联谐振电路调谐的两种情况，同串联谐振电路时类似，这里就不赘述。

并联谐振电路在发生谐振时，即激励源的角频率ω等于电路的谐振角频率ω0时，具有以下特点：(1)联系式(6.4-4)谐振条件，由式(6.4-1)并考虑在高Q条件下，当发生谐振时并联回路两端导纳（6.4-14）其值最小，且为纯电导。若换算为阻抗，即（6.4-15）其值最大，且为纯电阻。提醒！在分析计算实际并联谐振电路的问题时，经常要计算R0，除了用式(6.4-15)计算外，联系回路的Q值、特性阻抗ρ，还可诱导出其它形式的R0常用计算式。如（6.4-16）（6.4-17）6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-45

页(2)由图6.4-1，得谐振时回路两端电压(6.4-18）其数值为最大值，且与激励源同相位。

实验室中观察并联谐振电路的谐振状态，常用电压表并接到回路两端，以电压表指示最大作为回路处于谐振状态的标志。(3)并联回路谐振时电容支路的电流将代入上式，可得（6.4-19）谐振时电感支路电流考虑高Q条件，所以（6.4-20）比较式(6.4-19)和式(6.4-20)可看出，回路谐振时的电容支路电流与电感支路电流几乎大小相等，相位相反。二者的大小都近似等于电源电流Is的Q倍。

因为谐振时相并联两支路的电流近似大小相等、相位相反，这犹如一个电流在并联回路里闭合流动，所以又常把谐振时回路中的电流称为环流。6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-46

页例6.4-1

在图6.4-2所示的并联谐振电路中，已知，，虚框线所围的空载回路，信号源电压有效值,内阻Rs=25kΩ。若欲使回路谐振，电源的角频率应是多少？求谐振时的总电流I0、环流Il、回路两端电压U0及回路消耗的功率P。图6.4-2例6.4-1使用电路解：电源频率等于回路谐振频率时回路谐振，所以电源角频率由式(6.4-17)算得回路谐振电阻所以电流环流回路两端电压6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-47

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回路消耗功率可用两种方法计算，因回路中只有电阻r消耗功率，所以回路消耗功率就是电阻r上消耗的功率，故有又考虑式(6.4-16)，回路消耗功率P也可看作I0流过R0所消耗的功率，故有

今后遇此类求回路功率的问题，可直接应用回路谐振时的等效电阻来求解，这往往更为简便。二、频率特性并联谐振回路通常用作高频、中频放大器的负载。参看图6.4-1所示电路，若以为激励相量，以回路两端电压为响应相量，则网络函数6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-48

页图6.4-1实用并联谐振电路模型假设满足高Q条件，且ω为靠近谐振角频率ω0附近的角频率，则有ωL≈ω0L＞＞r，所以上式可近似写为考虑，，代入上式，得（6.4-21）式中（6.4-22）6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-49

页（6.4-23）这里定义的网络函数其实就是并联谐振回路两端的阻抗函数。用相对失谐ξ代替式(6.4-22)和式(6.4-23)中的，可得（6.4-24）（6.4-25）如同讨论串联谐振电路时一样，对H(jω)归一化处理，定义谐振函数（6.4-26）将代入式(6.4-21)，得（6.4-27）

再将式(6.4-21)和式(6.4-27)代入式(6.4-26)，得（6.4-28）式中（6.4-29）（6.4-30）6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-50

页考虑，代入式(6.4-29)和式(6.4-30)，则可得（6.4-31）（6.4-32）若以Q为参变量，以ξ为自变量，由式(6.4-31)和式(6.4-32)可画出幅频特性与相频特性，与上节中图6.3-6（a）、（b）所示的完全一样,如图6.4-3’所示。图6.4-3’

并联谐振电路的归一化频率特性(a)幅频特性；(b)相频特性曲线严格对称于ξ=0点由图6.4-3’（a）可见，回路Q值愈高，谐振曲线愈尖锐。就是说，在谐振频率附近（ξ=0点附近）回路阻抗值大，在Is一定的情况下，回路两端的电压值也大；而在远离谐振频率处（｜ξ｜很大），回路阻抗值小，因而回路两端电压也小；而且回路Q值愈高，二者相差得愈多。并联谐振电路有着这样的谐振曲线，就决定着它有“选频”作用。6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-51

页由图6.4-3’（b）可知，时，，也就是说阻抗角大于0，此时电路呈感性，电压超前电流；ξ=0（谐振）时，，与同相位；当ξ＞0(即f＞f0)时，，也就是说阻抗角小于0，此时电路呈容性，电压滞后电流。还可看到，回路品质因数愈高，在ξ附近（即f0附近）相位特性的斜率就愈大。例6.4-2

图6.4-3为某晶体管高频放大器的等效电路，并联回路（虚线框所围部分）的Q0值为100，L=100μH，C=100pF，又知放大器输出电流（集电极电流）中有两个频率分量，即

图6.4-3例6.4-2使用电路试求两电流在回路两端产生的电压有效值。解：回路谐振角频率6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-52

页由给出的两电流的表达式可知，回路对电流源is1(t)谐振，对电流源is2(t)严重失谐，所以电流源is1(t)在回路两端产生的电压有效值而所以，电流源is2(t)在回路两端产生的电压有效值6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-53

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由此例可看出，回路对频率不同而大小一样的两个电流源，分别处于谐振状态和严重失谐状态。由于回路的选频作用，它们在回路两端所产生的电压相差了100多倍（对此例），从工程观点看，就认为回路两端电压只有U1，而U2可以忽略不计。这样，并联谐振回路就把与之谐振的信号is1(t)选择出来了。三、通频带

比较并联谐振电路的谐振函数式(6.4-31)与串联谐振电路的谐振函数式(6.3-32)以及由两式分别画得的谐振曲线，可见二者是完全相同的。

因此，并联谐振电路若采用与串联谐振电路一样的通频带定义，便可用同样的推导过程求得并联谐振电路通频带与电路谐振频率、品质因数之间的关系，因而有（6.4-33）或（6.4-34）

必须说明一点，式(6.4-33)和式(6.4-34)是在假设满足高Q条件下导出的，或者说两式带有一定的近似性。不过，实际应用的并联谐振电路一般都满足高Q条件，因而可以应用式(6.4-33)或式(6.4-34)来计算并联谐振电路的通频带。关于通频带的物理含义已在6.2节阐述过，这里不再重复。6.4实用rLC并联谐振电路的频率特性下一页前一页第6-54

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电源内阻和负载电阻的接入对电路的Q值和通频带的影响是必须考虑的。这是因为实际应用的并联谐振