《电路分析基础》课件第3章 动态电路分析

3.1电感元件和电容元件一、电感元件二、电容元件3.2动态方程及其解

一、动态电路方程二、动态电路方程解3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应一、一阶动态电路的零输入响应二、一阶动态电路的零状态响应三、一阶电路的完全响应

返回本章目录下一页前一页第3-1

页3.4阶跃函数与阶跃响应一、阶跃函数二、阶跃响应3.5二阶电路的零输入响应

一、α＞ω0(R2＞4L/C)，过阻尼情况二、α=ω0(R2=4L/C)，临界阻尼情况三、α<ω0(R2<4L/C)，欠阻尼情况3.6正弦函数激励下一阶电路的响应一、正弦激励下一阶RC电路的全响应二、一个重要结论

第3章动态电路时域分析包含电感、电容的电路称为动态电路。整个分析过程都在时间t域里进行，称为时域分析。(本章共88页)P2P84P23P48P75P67点击目录中各节后页码即可打开该节返回本章目录下一页前一页第2-2

页3.1电感元件和电容元件

用良金属导线绕在骨架上就构成了一个实际的电感器，常称为电感线圈，如图(1)所示。当电流i(t)通过电感线圈时，将激发磁场产生磁通Φ(t)与线圈交链，其中储存有磁场能量。与线圈交链的总磁通称为磁链，记为Ψ(t)。若线圈密绕，且有N匝，则磁链Ψ(t)=NΦ(t)。1、电感的一般定义应用磁链与电流的关系(习惯上称为韦安关系)来定义电感元件。一个二端元件，如果在任意时刻t，其磁链Ψ(t)与电流i(t)之间的关系能用Ψ一i平面上的韦安关系曲线描述，就称该二端元件为电感元件，简称电感。若曲线是通过原点的一条直线，且不随时间变化，如图2(a)所示，则称该元件为线性时不变电感，其理想电感电路模型符号如图2(b)所示。u(a)iLOψi(b)图2线性时不变电感元件的韦安关系及电路模型前一页第2-2

页下一页前一页第3-2

页3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-3

页

设电感元件的磁链Ψ(t)与电流i(t)的参考方向符合右手螺旋关系，则由图2(a)可写得

(3.1-1)上式称为电感元件的韦安关系式。式中L称为电感元件的电感量，单位为亨(H)。在国际单位制中，磁通和磁链的单位都是韦伯(Wb)，简称韦；2、电感的VAR(或VCR)

电感元件中，变化的电流会产生变化的磁链，并在元件两端产生感应电动势。习惯上，规定感应电动势的参考方向由“-”极指向“+”极。

设电感元件的电流i、电压u与感应电动势e的参考方向如图3中所标，且电流i与磁链Ψ的参考方向符合右手螺旋定则，则根据电磁感应定律和韦安关系，其感应电动势为所以第3-3

页前一页第3-3

页下一页前一页第3-3

页返回本章目录下一页前一页第3-3

页称为电感VAR的微分形式3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-4

页对微分式从-∞到t进行积分，并设i(-∞)=0，可得电感元件VCR的积分形式

设t=0为观察时刻，记t=0的前一瞬间为0_，可将上式改写为是t=0_时刻电感元件的电流，称为电感起始电流。3、电感元件上吸收功率与贮能

在电流、电压参考方向关联时，电感元件吸收的功率为对上式从-∞到t进行积分并约定i(-∞)=0，求得电感元件的储能第3-4

页前一页第3-4

页下一页前一页第3-4

页返回本章目录下一页前一页第3-4

页3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-5

页综上所述，对于电感元件有以下重要结论：（1）电感元件上的电压、电流关系是微积分关系，因此，电感元件是动态元件。而电阻元件上的电压、电流关系是代数关系，它是瞬时元件。（2）由VCR的微分形式可知：任意时刻的电感电压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电压为有限值时，其di(t)／dt也为有限值，相应电流必定是时间t的连续函数，此时电感电流不能跃变；当电感电流为直流时，则恒有u=0，即电感对直流相当于短路。(3)由VCR的积分形式可知：任意时刻的电感电流i(t)均与t时刻电压及该时刻以前电压的“全部历史”有关。式中，起始电流i(0-)体现了t=0以前电感电压的全部作用效果，积分项则反映了t=0-以后电压的作用效果。因此，电感电流具有“记忆”电压的作用，电感元件是一种记忆元件

。与此不同．电阻元件的电流仅取决于该时刻的电压，是无记忆的元件。

(4)贮能式表明，对于任一电流i(t)，恒有wL(t)≥0，即电感元件是储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量形式储存于自身的磁场中。第3-5

页前一页第3-5

页下一页前一页第3-5

页返回本章目录下一页前一页第3-5

页3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-6

页

(5)如图4所示，若电感上的电压、电流参考方向非关联，则相应的微、积分式分别改写为图4电感上电压、电流参考方向非关联uiL4、应用举例

例3.1-l

图(a）所示电感元件，已知L=2H，电流i(t)的波形如图(b))所示。求电感元件上的电压u(t)、吸收功率p(t)和储能wL(t)，并画出它们的波形。第3-6

页前一页第3-6

页下一页前一页第3-6

页返回本章目录下一页前一页第3-6

页3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-7

页u(t)i(t)L0t/si/A11230t/su/V11232-10t/sp/W-112320t/swL/J1123(a)(b)(c)(d)(e)

例3.1-1用图第3-7

页前一页第3-7

页下一页前一页第3-7

页返回本章目录下一页前一页第3-7

页3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-8

页解：写出电流i(t)的数学表达式为电流、电压参考方向关联，由电感元件VCR的微分形式，得将i(t)、u(t)表达式代入L吸收功率表示式得其余其余其余3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-9

页将i(t)表达式代入L上贮能表示式，求得其余画出u(t)、p(t)和wL(t)的波形如例3.1-1用图中(c)、(d)、(e)所示。点评：(1)由波形图可见，电感电流i和储能wL都是t的连续函数，其值不会跳变，但电感电压u和功率p是可以跳变的。(2)在图(d)中，p(t)>0期间，表示电感吸收功率，储藏能量；p(t)<0期间，表示电感供出功率，释放能量；两部分面积相等，表明电感元件不消耗功率，只与外电路进行能量交换。例3.1-2

如图(a)电路，已知电感电压u(t)，L=0.5H，i(0)=0；试求电感上电流i(t)及在t=1s时的储能wL(1)。3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-10

页解：

写出u(t)的表达式为当0<t≤0.5s时当t>0.5s时，波形如(b)图所示。例3.1-2用图请看！电压为零而电流不是零呦！！3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-11

页二、电容元件

电容器是最常用的电能储存器件。在两片金属极板中间填充电介质，就构成一个简单的实际电容器，如图5所示。qqiu图5

接通电源后，会在两个极板上聚集起等量的异性电荷，从而在极板之间建立电场，电场中储存有电场能量。

即使移去电源，由于极板上电荷被介质隔离而不能中和，故将继续保留，电场也继续存在。因此，电容器具有储存电场能量的作用。

电容元件是电能储存器件的理想化模型，它有精确的数学定义。

1、电容元件一般定义

一个二端元件，如果在任意时刻t，其电荷q(t)与电压u(t)之间的关系能用q-u平面上的曲线描述，就称该二端元件为电容元件，简称电容。

若曲线是通过原点的一条直线，且不随时间变化，如图6(a)所示，则称为线性时不变电容，其理想电容的电路模型符号如图6(b)所示。qqiu(a)OquC(b)图6线性时不变电容元件的库伏关系及电路模型3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-12

页在电容上，电压参考极性与带正、负电荷的极板相对应时，由图6(a)可知，电荷量q(t)与其端电压u(t)的关系满足

上式称为电容的库伏关系式。式中C称为电容元件的电容量，单位为法拉(F)，简称法。2、电容的VAR(或VCR)在电路分析中，更关心的是电容元件上的电压、电流关系。若设电容电压、电流参考方向关联，则有对上式从-∞到t进行积分，并设u(-∞)=0，可得电容上电压、电流微分关系电容上电压、电流积分关系3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-13

页

设t=0为观察时刻，并记t=0的前一瞬间为0-，积分式可改写为式中是t=0-时刻电容元件上的电压，称为电容起始电压。3、电容上吸收的功率与贮能在电压、电流参考方向关联的条件下，电容元件的吸收功率和储能分别为式中u(-∞)=03.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-14

页对于电容元件，也有与电感元件概念上相对称的5点重要结论：（1）与电感元件一样，电容元件也是一种动态元件。电感是电流记忆电压而电容是电压记忆电流。（2）电容VCR的微分形式表明：任意时刻，通过电容元件的电流与该时刻电压的变化率成正比。

当电容电流i为有限值时，其du／dt也为有限值，相应电压必定是时间t的连续函数，此时电容电压是不会跃变的；

当电容电压为直流电压时，则电流i=0，即电容对于直流而言相当于开路。

（3）电容VCR的积分形式表明：任意时刻，电容电压u(t)与t时刻电流及该时刻以前所有时刻的电流即电流的“全部历史”有关。或者说，电容电压具有“记忆"电流的作用，故电容元件是记忆元件。（4）由贮能式可知，电容元件也是储能元件，它从外部电路吸收的能量，以电场能量形式储存于自身的电场中。(5)如图7所示，若电容上的电压、电流参考方向非关联，则相应的微、积分式分别改写为iuC图7电容上电压、电流参考方向非关联3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-15

页4、应用举例u(t)iL(t)1H0.05FiC(t)2Ω例3.1-3电路如例3.1-3用图所示，已知iC(t)=e-2tA(t≥0)，uc(0-)=2V，求t≥0时的电压u(t)。例3.1-3用图解

首先，根据电容元件VCR的积分形式，求得3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-16

页由欧姆定律，计算电阻电流：然后，应用KCL，求得电感电流为电感电压：最后，应用KVL得电压三、电感、电容的串联和并联等效

图8（a）是n个电感相串联的电路，流经各电感的电流是同一电流i。根据电感元件VCR的微分形式，第k(k=1，2，…，n)个电感的端电压为1、电感串联等效

k=1，2，…，n

由KVL，得端口电压式中3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-17

页称为n个电感串联的等效电感。它等于n个相串联电感之和！

由上式画出等效电路如图8（b）所示。

(1)由式(1)得所以电感串联分压公式，电感大者分得的电压大！2、电感的并联等效3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-18

页图9（a）是n个电感并联的电路，各电感的端电压为同一电压u。根据电感VCR的积分形式，有k=1，2，…，n

由KCL，得端口电流式中(2)L称为n个电感并联的等效电感。L的倒数等于相并联各电感倒数之和！

由上式画出其等效电路如图9（b）所示。3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-19

页由式（2）得

k=1，2，…，n

电感并联分流公式。电感大者分得的电流小！3、电容串联等效…uiu1unu2C1C2Cn(b)(a)iCu图10电容串联图10（a）是n个电容相串联的电路，流经各电容的电流为同一电流i。根据电容VCR的积分形式，有k=1，2，…，n

3.1电感元件和电容元件返回本章目录下一页前一页第3-20

页应用KVL，经类似电感并联时的推导过程，可求得n个电容相串联的等效电容C，其倒数表示式为C称为n个电容串联的等效电容。C的倒数等于相串联各电容倒数之和！相应等效电路如图10（b）所示。再将等效电容VCR的积分形式写成k=1，2，…，n

电容串联分压公式，电容大者分得的电压小！下一页前一页第3-21

页返回本章目录4、电容并联：电容并联电压u相同，根据电容VAR微分形式由KCL，有i=i1+i2+…+in∴C=C1+C2+…+Cn分流公式3.1电感元件和电容元件5、电容电感串并联两点说明（1）电感的串并联与电阻串并联形式相同，而电容的串并联与电导形式相同。（2）电感与电容也可以利用△-Y等效，但注意：对电容用1/C代入。下一页前一页第3-22

页返回本章目录3.1电感元件和电容元件下一页前一页第3-23

页返回本章目录3.2动态电路方程及其解

包含有动态元件的电路称为动态电路，因动态元件上电压、电流关系为微、积分关系，所以对动态电路所建立的方程为微、积分方程，一般归结为微分方程。一、动态电路方程

列写动态电路方程的依据仍然是KCL、KVL和元件上的VAR（也常称VCR），下面由具体的动态电路来看微分方程的列写过程。1、一阶RC串联电路例图3.2-1所示的RC串联电路，t＝0时开关S闭合，求t≥0时电容上的电压uC(t)。

电路中开关的接通或断开、元件参数或电源数值的突然变化，这些现象的发生统称为发生了“换路”。对于发生换路的动态电路，我们更关注换路后电路中响应随时间t的变化情况。对A回路列KVL方程，有由于代入上式得3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-24

页返回本章目录(3.2-1)2、一阶RL并联电路例图示3.2-2所示RL并联电路，以is(t)作为激励，以iL(t)作为响应，试列写该电路方程。对节点a列写KCL方程，有由于将它们代入上式并经整理，得(3.2-2)

因（3.2-1）式、（3.2-2）式均为一阶线性常系数微分方程，所以图3.2-1和图3.2-2所示的RC和RL电路均称为一阶电路。

此时二电路中分别只含一个独立的动态元件。3、RLC串联二阶电路例

图3.2-3所示的RLC串联电路中含有两个独立的动态元件。若仍以us作为激励，以uC作为响应，列写电路方程。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-25

页返回本章目录

根据KVL对回路A列写方程，有由于将它们代入上述KVL方程并整理，得这是二阶常系数微分方程，所以该电路称为二阶电路。一般而言，如果电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程就是n阶的，就称相应的电路为n阶电路。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-26

页返回本章目录

根据以上列写动态电路方程的例子，我们可归纳总结如下结论：

n阶线性时不变动态电路，其任何处的响应与激励间的电路方程均是n阶线性常系数微分方程。二、动态电路方程解

数学中我们知道，要解微分方程还需知道初始条件，求解动态电路微分方程所需要的初始条件就是电路响应的初始值。

许多动态电路问题分析中初始值并不已知，而是由我们根据题意应用电路基本概念来求得。那么如何求电路响应初始值呢？

1.初始值的计算动态电路的初始值即是动态电路在发生换路后瞬间响应的各阶导数值。若发生换路的时刻记为to，又常取t0＝0。0+表示换路后瞬间，0-就表示换路前瞬间。

设电路响应为y（t）（或电流响应或电压响应），电路初始值即指y（0+）、y’（0+)、…，一阶动态电路有意义的初始值就只有y（0+）一个，二阶电路的初始值有y（0+）、y’（0+)两个初始值，依此类推，n阶电路的初始值应有n个。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-27

页返回本章目录由电感电流、电容电压积分关系式可分别写得如果电感电压uL和电容电流iC在无穷小区间0-～0+内为有限值，那么上两式中等号右端积分项的值为零，从而有

(3.2-4)该式是非常重要的换路定律又称开闭定律。定律表明，若在换路时刻t＝0处电感电压uL和电容电流iC为有限值，则电感电流iL和电容电压uC在该处连续，其值不能跃变。特别指出，除电感电流和电容电压之外，电路中其余各处的电流、电压值，在换路前后是可以发生跃变的。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-28

页返回本章目录一个重要结论：直流电源作用的线性时不变渐近稳定的电路（微分方程特征根的实部小于零的电路），电路达到稳态（定），电感相当于短路，电容相当于开路。

若求得iL（0-）、uc（0-），由换路定律就很容易得到iL（0+）、uc（0+）。那么又如何求得iL（0-）、uc（0-）呢？这里再明确这样一个重要结论。解释：直流电源作用的这类电路达到稳态，即是说电路中任何处的电流、电压均不再随时间t变化，所以由它们的电压、电流微分关系式容易得到电感相当于短路、电容相当于开路的结论。

因电容电压uC(0-)、电感电流iL(0-)的值决定于电路原有的储能即换路前t＝0-时刻的储能，与t≥0+（换路以后）所加的激励无关，即是说uC(0+)=uC（0-）、iL(0+)=iL（0-）相对t≥o+所加激励源是独立的，称uC（0+）、iL（0+）为独立初始值。

其余变量的初始值称为非独立初始值，它们由t≥0+时所加激励及独立初始值共同决定。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-29

页返回本章目录求动态电路初始值的步骤一般归纳为如下三个步骤：（1）求独立初始值uC（0+）、iL（0+）。①在t＝0-时若为直流电源作用达稳态的电路，将L视为短路、C视为开路，按电阻电路所学方法，容易求得uC（0-）、iL（0-）。②再应用换路定律求得uC（0+）、iL（0+）。（2）画t＝0+时等效电路。如何画？(依据替代定理)

①在t＝0+时刻，将电容C用数值等于uC（0+）的电压源替代；

②将电感L用数值等于iL（0+）的电流源替代；③直流电压源或电流源及电阻在换路后若仍存在于电路中，将它们照原数值画出。注意！所画出的等效电路是电阻电路，电路中所有的电流、电压值都是在t＝0+时刻的值。若t≠0+，该等效电路不成立，就失去意义。（3）在t＝0+等效电路中，应用电阻电路所学各种方法求出欲求的各非独立初始值。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-30

页返回本章目录例3.2-1图3.2-4(a)所示电路已处于稳态，t＝0时开关S打开，求初始值uC（0+）、i1（0+）、iC（0+）和u2（0+）。图3.2-4例3.2-1用图解（1）计算独立初始值uC（0+）。先计算uC（0-）。题目中明确开关打开前电路处于直流稳态，由前述结论知，在t＝0-时刻视电容为开路。（2）画t＝0+时刻的等效电路如（b）图。

注意电容C用6V电压源替代

（3）计算欲求的各非独立初始值。由（b）图得3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-31

页返回本章目录例3.2-2

图3.2-5（a）所示电路，在t＜0时开关S处于位置1且已达稳态。在t＝0时开关S打至位置2，求初始值iR（0+）、iC（0+）和uL（0+）。图3.2-5例3.2-2用图

解本问题中要求的初始值都是非独立初始值，但也必须先求独立初始值。

若原题中电容上无电压参考方向、电感上无电流参考方向，解题者应先设上参考方向，再按求初始值的三个步骤求解下去。设uC、iL参考方向如（a）图中所标。（1）计算独立初始值uC（0+）、iL（0+）。

由于t＜0时电路已达直流稳态，所以t＝0-时电容视为开路，电感视为短路，如（b）图所示。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-32

页返回本章目录应用电阻并联分流公式及欧姆定律分别计算，得图3.2-5例3.2-2用图由换路定律，得（2）画t＝0+时等效电路如（c）图。

注意C用12V电压源替代，L用4A电流源替代

（3）计算非独立初始值。由欧姆定律、KCL、KVL分别求得各非独立初始值为3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-33

页返回本章目录2、微分方程经典解法这个问题中我们用经典的方法求解由一阶动态电路所列写的微分方程，对求解出的结果，联系电路中的有关量值赋于明确的电路响应意义。图3.2-6所示电路已处于稳态，t＝0时开关S由a打向b，求t≥0时电容电压uC（t），电流iC（t）。（设图中US＞U0）为了概念上更清晰，采用定性讨论与定量分析相结合求解。定性分析（从物理概念上说明解释）t≤０-，

开关S合于a，U0电压源给电容C充电。由题意知电路已达稳定，即是说给C充满了电。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-34

页返回本章目录t＝0-时

电压uC（０-）＝U0

电容上电荷q（0-）＝CU0

电流iC（0-）＝0t≥0+

，

开关S合于b，US电源接着再对电容C充电（因US＞U0）。再看几个特定时刻：t=0+时由換路定律知

uC(0+)=uC(0-)=U0

电容上电荷在原有的基础上增多，即q↑

（t）电容上电压随之升高，即u↑C(t)

电容上电流3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-35

页返回本章目录Us又给电容C充满了电。uC(∞)=Us

,C上电压最终上升到Us

。C上电流

最终下降至0。

但要问換路后电容上电压按什么规律上升？电流又按什么规律下降？仅由定性讨论是不能给出满意的回答的。

这要由电路建立方程施以数学严密求解的结果来满意回答吧！定量分析

（应用数学工具严密求解）

換路后的电路如图3.2-7所示。由图中所设出的各电压、电流参考方向，应用各元件上的VCR和KVL，列写出的方程为3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-36

页返回本章目录(3.2-5)写（3.2-5）式对应的特征方程及特征根式（3.2-5）微分方程的解为式中：

τ=RC具有时间量纲,称为时间常数。，称为方程的齐次解。，称为方程的特解。(初始条件)因激励源Us是常数电源，所以设特解uCp（t）也为未知常数K。(3.2-6)3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-37

页返回本章目录将uCp（t）＝K代入原方程（3.2-5）式，有解得K＝US。即uCp（t）＝Us。

(3.2-7)将式（3.2-7）代入式（3.2-6），得(3.2-8)再将初始条件uC（0+）＝U0代入上式，解得待定系数A＝U0－Us，(3.2-9)(3.2-10)由式（3.2-9）、式（3.2-10）分别画得uC（t）、iC（t）波形如图3.2-8(a)、(b)所示。回答问题

由式（3.2-9）、式（3.2-10）函数式或图3.2-8（a）、（b）波形图均能明确回答我们：3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-38

页返回本章目录uC（t）随时间按指数规律上升且从最初的U0值最终上升至Us；iC（t）随时间上升按指数规律下降且从最初的（Us-U0）／R值最终下降至0。微分方程解与电路响应为讨论问题方便我们重写（3.2-9）式（32-11）（Ⅰ）

（Ⅱ）（Ⅰ）部分对应数学解的齐次解，函数形式为取决于电路元件（R、C）固有参数的指数函数形式，称这部分为电路的固有响应,又因为这部分响应函数形式相对所加激励的函数形式是自由的，所以也称它为自由响应。（Ⅱ）部分对应数学解的特解，函数形式受限于电路激励源的函数形式，称这部分为电路的强迫响应，或理解为这部分响应是电路在激励源的“强迫”下所作出的反响。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-39

页返回本章目录(2)强迫响应为稳态响应，记为uCs(t)。关于暂态响应与稳态响应称谓若满足(1)如果自由响应为指数衰减函数（τ＝RC＞0）;(2)特解为稳定有界函数。则称这时的(1)自由响应为暂态响应，记为uCr(t)；关于暂态过程与稳态过程之说(1)人们在观察响应波形时，对于波形随时间t衰减或上升处于变动之中的过程称为过渡过程，习惯称为暂态过程；(2)对于波形不再随时间t衰减或上升而稳定在一定的数值上（对于直流电源作用的电路）或稳定为有界的时间函数（如正弦函数作用的电路），称这样的过程为稳态过程。(3)理论上讲当t→∞时暂态过程才结朿，而实际工程中，当t≥（3～5）τ时就近似认为暂态过程已结束，达到了稳定状态。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-40

页返回本章目录再改写（3.2-9）式（3.2-12）(Ⅰ’)(Ⅱ’)(Ⅰ’)部分只与U0有关即只与电路的初始状态有关，与激励源Us无关，称为零输入响应,记为uCx(t)；零输入响应与零状态响应初步概念(Ⅱ’)部分只与激励源Us有关，与电路初始状态U0无关，称为零状态响应,记为uCf(t)。3.直流电源作用一阶动态电路的三要素法

对于一般的直流电源作用的一阶RC或一阶RL动态电路，均可从动态元件两端作戴文宁定理等效或诺顿定理等效，如图3.2-9（a）、（b）所示。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-41

页返回本章目录对（a）、(b)图分别应用KVL、KCL列写方程(3.2-13)(3.2-14)

为了方程的求解更具有一般性，抽去它们各自具体元件参数的物理意义，概括为更数学化的一般方程形式。若电路响应、激励分别用y（t）、f（t）表示，于是方程为3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-42

页返回本章目录(3.2-15)式中：b为常数；τ为电路的时间常数。设y（t）的初始值为y（0+），式（3.2-15）是一阶非齐次微分方程，其解(3.2-16)式中：yh（t）、yp（t）分别为微分方程的齐次解、特解。令上式中t＝0+，有将A＝y（0+）-yp（0+）代入式（3.3-16），得(3.2-17)3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-43

页返回本章目录

式（3.2-17）是一阶线性常系数微分方程解的一般形式，对任何函数形式的激励源情况都适用。

如果电路时常数τ＞0，f（t）为直流激励源，则这时特解yp（t）等于常数B，有yp（t）＝yp（0+）＝yp（∞）＝B，yh（∞）＝0，所以将t＝∞代入式（3.2-17），得

所以对于这种条件下的电路，可以用y（∞）代替yP（∞）亦可代替yP（0+）与yP（t），改写式（3.2-17）为(3.2-18)式（3.2-18）就是归纳总结出的直流电源作用下一阶动态电路求响应的三要素公式。

今后遇到这类一阶电路问题的求解，就不再列写方程、解方程而直接求出：初始值y（0+）、稳态值y（∞）及时常数τ三个要素代入三要素公式即可快捷地求出所要求的响应y（t），如果需要，再画出所求响应的波形图。3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-44

页返回本章目录例3.2-3

图3.2-13（a）所示电路已处于稳态，t=0时开关S由a打向b，求t≥0时电压u(t)，并画出u(t)的波形。解应用三要素法求解。（1）求初始值u（0+）由题意知t＝0-时处于直流稳态，可将电感L视为短路线(t=0-时等效电路省略)，所以画t＝0+时等效电路如（b）图，由欧姆是律及KVL可求得3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-45

页返回本章目录(2)求稳态值u（∞）。开关S由a打向b且当t＝∞时，电路又达到新的直流稳态，此时又视电感为短路线，画这时的等效电路如（c）图。显然(3)求时间常数τ。对換路后电路，求从电感L两端看的戴维宁等效电源内阻RO(求Ro电路太简单未画出)，显然套用三要素公式，得由函数表达式画波形图如（d）所示。图3.2-13例3.2-3用图3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-46

页返回本章目录

例3.2-4

图3.2-14（a）所示动态电路已处于稳态，t＝0时开关S闭合，求t≥0时电流i（t）。解（1）求初始值。由题意知t＝0-时电路处于直流稳态，视电容为开路，所以由电阻串联分压关系，算得画t=0+时等效电路如(b)图。列节点方程为解得3.2动态电路方程及其解下一页前一页第3-47

页返回本章目录（2）求稳态值i(∞)。t=∞时电路又达新的直流稳态，又视电容C为开路如（c）图所示。再列节点方程为解得

(3)求时常数τ。

对換路后电路，画求从电容C两端看的戴维宁等效电源内阻的电路如（d）图。应用电阻串并联等效，求得套三要素公式，得

最后，还必须提醒读者，今后若遇有的题目图中电容上未设电压参考方或电感上未设电流参考方向，解题者必须先设上它们的参考方向，再按三要素步骤求解下去。3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-48

页返回本章目录零输入响应、零状态响应、全响应定义零输入响应：输入为零仅由初始储能产生的响应，称为电路的零输入响应，记为yx(t)。零状态响应：电路中原有储能为零仅有t≥0时的输入作用在电路中所产生的响应，称为电路的零状态响应,记为yf(t)。全响应：既有电路中原有储能的作用，又有t≥0所加激励的作用，二者共同作用产生的响应，称为全响应，记为y(t)。本节只讨论直流电源作用一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应。3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-49

页返回本章目录一、一阶电路的零输入响应1.一阶RC电路的零输入响应图3.3-1（a）所示一阶RC电路已处于稳态，t＝0时开关S由a打向b，求t≥0时电压uC(t)和电流iC(t)。定性分析：

参看图（a）可见t≤0-时为电压源Us给C充电电路，题意告知已达稳态即是说t=0-时给C充满了电，此时3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-50

页返回本章目录

对于t≥0+时，参看图(b)，为电容C放电电路，电路中无任何输入（激励源），所以对于（b）图电路中任何处的响应，都是由电容上的初始储能产生,都属于零输入响应。先看这样几个特殊时间点：

t＝0+时

由換路定律知：

由欧姆定律,得t↑电容放电致使电容上电荷减少电压下降即

由欧姆定律，得t=∞

电容上电荷放完→q(∞)=0→uC(∞)=0→wC(∞)=0。由欧姆定律，得3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-51

页返回本章目录

由上述定性分析可得出这样的结论：开关S由a打向b以后电压随时间t增长而下降，从开始的Us到最终下降到零；电流随时间t增长而上升，从最初的-Us/R(负值)上升至零。

但要问uC(t)、iC(t)分别以什么规律随时间t的增长而变化？这要由定量分析的结果来回答。定量分析：对本问题，三要素法求解的结果即是定量分析的结果，不需要列写方程求解方程。以后再求解这类问题时也不必如本例这样经定性、定量分析过程求解，而直接用三要素法求解即可。

本问题的时间常数τ=RC,结合定性分析中得到的uC(t)、iC(t)初始值和稳态值，分别套用三要素公式，得3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-52

页返回本章目录依据uC(t)、iC(t)的函数表达式画二者的波形图如（c）图所示。

由图可见，換路后随时间t增长电压uC(t)按指数规律下降，最终下降至零。而电流iC(t)按指数规律上升，最终上升至零。2.一阶RL电路的零输入响应如图3.3-2(a)所示一阶RL电路已处于稳态，t=0时开关S由a切換至b，求t≥0时电流iL(t)和电压uL(t)。因t＝0-时处于直流稳态，视电感L为短路线，所以电流3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-53

页返回本章目录

开关S切換至b点后，电路如(b)图所示，电路中无任何激励源(输入为零)，对于t≥0+时电路中任何处的响应，都是电感L上原有的储藏能量产生，属于零输入响应。当t=∞时，原有的储能消耗巳尽，所以时间常数τ=(L／R)套三要素公式，得由电感上电压与电流的微分关系，得电压根据iL(t)、uL(t)函数式画得二者的波形如(c)图所示。

说明：如上述讨论的RC、RL一阶电路的零输入响应例，在換路后(t≥0+)的电路中无任何激励源，所求的任何响应都属于零输入响应，这种情况的响应虽无标示零输入“x”下脚标表示符号，但不会引起误会。3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-54

页返回本章目录二、一阶电路的零状态响应1.一阶RC电路的零状态响应如图3.3-3（a）所示电路已处于稳态，t＝0时开关S由a打向b，求t≥0时电压uC(t)，电流i(t)。

观察（a）图电路，开关S与a相接时是电容放电电路，t=0-时处于稳态意味着电容C放完了电，即q(0-)=0，uC(0-)=0，wC(0-)=0，电路初始储能为零，或称为电路处于零状态。

开关S打向b时(t≥0+)是电压源Us给电容C充电电路（参看（b）图），由換路电律知3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-55

页返回本章目录当t＝∞时电路达到直流稳态（US给C充满了电），视电容C为开路，所以时间常数套三要素公式，分别得到由uC(t)、i(t)函数表达式画二者的波形如（c）图所示。当然，这里的uC(t)、i(t)虽未加脚标“f”但它们是零状态响应。

2.一阶RL电路的零状态响应3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-56

页返回本章目录如图3.3-4（a）所示RL一阶电路已处于稳态，t＝0时开关S由a打向b，求t≥0时iL(t)，uL(t)，iR(t)。观察(a)图电路，t≤0-时开关S与a相接为电感L释放能量电路，t＝0-时电路处于稳态即是说L上能量释放完，wL(0-)=0→iL(0-)=0，电路初始能量为零，或称电路处于零状态。开关S打向b时（t≥0+）为电流源Is给电感L储能的电路（参看（b）图）。由換路定律知：由KCL、OL、KVL得3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-57

页返回本章目录在t=∞时电路达直流稳态，视电感L为短路线，故得时间常数

分别套用三要素公式，得3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-58

页返回本章目录由iL(t)，iR(t)，uL(t)函数表达式分别画它们的波形图如（c）、（d）图所示。

本问题也可以按这样的思路求解：先用三要素法求出电感电流iL(t)，然后应用KCL求得iR(t)，再应用KVL求得uL(t)。

三、一阶电路的全响应由动态元件上的初始储能和t≥0时外加输入（激励）共同作用所产生的响应，称为电路的全响应。对于这类线性动态电路，我们也可以分别单独求出零输入响应、零状态响应。如果需要，再将二者相加得到全响应。1、全响应的三种分解形式如果不局限于某具体的电路、某具体的电压或电流响应，用y（t）表示全响应；用yh（t）、yp（t）分别表示自由响应、强迫响应；用yr（t）、ys（t）分别表示暂态响应、稳态响应；用yx（t）、yf（t）分别表示零输入响应、零状态响应。我们可将全响应归纳如下三种分解形式：3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-59

页返回本章目录

(3.3-1)满足τ＞0,yp(t)为稳定有界函数条件(3.3-2)(3.3-3)说明：(1)式(3.3-1)、(3.3-2)是从函数形式随时间t的变化规律看，对全响应作分解的。(2)而式(3.3-3)是就产生响应的原因对全响应作分解的。(3)三种分解方式各有各的用处，但式(3.3-3)的分解方式因果关系明确，物理概念清晰，是现代电路理论学习、研究中使用最多的一种全响应分解形式。2、应用举例3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-60

页返回本章目录

例3.3-1

如图3.3-5(a)电路已处于稳态，t=0时开关S由a打向b,求t≥0+时电压u(t)的零输入响应ux(t)、零状态响应uf(t)及全响应u(t)，并画出它们的波形图。

解设电流iL的参考方向如图(a)中所标。由题意知t=0-时电路已处于直流稳态，L相当于短路，所以应用电阻并联分流公式，得(1)计算零输入响应当t≥0+时，令输入为零（将12V电压源短路）的电路如图（b）所示。3个要素显然容易求得，分别为代三要素公式，得3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-61

页返回本章目录再应用电阻并联等效及欧姆定律，算得(2)计算零状态响应

当t≥0+时，设电感元件上储能为零，即初始状态为零（iLf(0+)=0)仅由t≥0+时的输入作用的电路如图（c）所示。所以t＝0+时刻L相当于开路由电阻串联分压关系，得

当t=∞时，电路又达新的直流稳态，电感又视为短路，再次应用电阻串、并联等效及分压关系，求得时常数τ仍为0.5s再套三要素公式，得3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-62

页返回本章目录

(3)计算全响应。将零输入响应与零状态响应相加，便得全响应：画ux(t)、uf(t)、u(t)的波形图如图(d)中所示。再说明：(1)严格说来，对所求响应ux(t)、uf(t)、u(t)应加的时间区间条件为t≥0+，正如本例这样。(2)但更多的情况，从题目条件到所求响应加注的条件习惯书写为t≥0，这成了同行中的共识，所以就不必苛求书写形式上的严密性，随其大流吧！例3.3-2

如图3.3-6(a)为含受控源的电路已处于稳态，t=0时开关S由b打向a,求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)，并画出波形图。解本问题为含有受控源的一阶动态电路，一般在用三要素法求解之前先对电路中含受控源部分用戴文宁定理作等效，如图（b）所示电路，由KVL得3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-63

页返回本章目录将图（b）中a、d端短接并设短路电流如图（c）电路所示。应用KVL、KCL于(c)图，易得画出图（a）电路的等效电路如图（d）所示。3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-64

页返回本章目录(1)应用三要素法求uC(t)。由图(d)电路分别求得三要素代入三要素公式，得(2)回图(a)原电路求电流i(t)。

应用KVL求得电流画uC、i的波形分别如图3.3-7（a）、（b）所示。3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-65

页返回本章目录例3.3-3

如图3.3-8（a）所示电路已处于稳态，t＝0时开关S闭合，求t≥0时电压u(t)。解

设各量的参考方向如（a）图中所标。由题意知（a）图电路在t＝0-时刻处于直流稳态，将L看作短路，将C视为开路，所以容易求得:对求t≥0+时u1、u2，应用对短路线压缩、伸长变形等效将（a）图等效为（b）图；再依据置換定理将（b）图分别等效为（c）图（对求u1等效）、（d）图（对求u2等效）。（c）图是一阶RL电路，应用三要素法求u1

。它的三个要素易求得此时L相当于开路代三要素公式，得3.3一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应下一页前一页第3-66

页返回本章目录

(d)图是一阶RC电路，应用三要素法求u2。

它的三个要素也易求得(t＝∞时电路又达直流稳态，C相当于开路。)再代入三要素公式，得回（a）图原电路，应用KVL，得所求电压再强调:（1）今后遇到直流电源作用的一阶动态电路问题的求解，不管是求零输入响应、零状态响应、全响应都可以使用三要素法求解，而不要再去列写微分方程、解微分方程求解。三要素法求解的结果与通过列方程解方程得到的结果完全相同，但它的求解过程简单明了、易于掌握。（2）原则上讲三要素法只适用于直流电源作用的一阶动态电路的求解，但对于某些具有特征、可应用置換定理将之等效为若干个一阶电路的高阶电路，亦可间接使用三要素法求解。如本节的例3.4-3就是这样的问题。3.4阶跃函数与阶跃响应下一页前一页第3-67

页返回本章目录一、阶跃函数1、单位阶跃函数定义单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为（3.4-1）

式中符号这比上节所述的换路前一瞬间、换路后一瞬间数学上更严密。波形如图3.4-1所示。

说明：(1)ε(t)在t≤0-时恒为0，t≥0+时恒为1。(2)ε(t)在t=0时则由0阶跃到1，这是一个跃变过程，其函数值不定。

(3)从数学看，t=0为第一类间断点，函数间断点处左极限值为0，右极限值为1。2、单位阶跃函数的应用(1)表示一般的阶跃函数ε(t)乘以常数A，所得结果Aε(t)称为一般的阶跃函数，其表达式为3.4阶跃函数与阶跃响应下一页前一页第3-68

页返回本章目录（3.4-2）

波形如图3.4-2(a)所示，其中阶跃幅度A称为阶跃量。

阶跃函数在时间上延迟t0，称为延迟阶跃函数，波形如图3.4-2(b)所示，它在t=t0处出现阶跃，数学上可表示为

(3.4-3)(2)描述某些情况下的开关动作例如在图4.6-3(a)中，阶跃电压Us表示电压源Us在t=0时接入二端电路N。类似地，图3.4-3(b)中的阶跃电流Isε(t-t0)表示电流源Is在t=t0时接入二端电路N。3.4阶跃函数与阶跃响应下一页前一页第3-69

页返回本章目录(3)简洁形式表示复杂信号如图3.4-4(a)所示矩形脉冲信号，可以看成是图3.4-4(b)、(c)所示两个延迟阶跃信号的叠加，即

依据上例叠加单位阶跃函数移位加权代数和的思想，用阶跃函数还可以简洁表示“台阶式”或称“楼梯式”的更为复杂的信号，如图3.4-5(a)、(b)中的f1(t)、f2(t)，不必画叠加过程图即可写出用ε(t)简洁表示的形式，即写的规律：从时间轴负无穷向正方向“走”，若遇t=t1处是突跳点(第一类间断点)且向上跳，此处就出现正阶跃函数，跳的高度就是正阶跃函数的权系数；

若遇t=t2处是向下跳的突跳点，此处就出现负阶跃函数，下跳的高度就是负阶跃函数的权系数。上两式就是按此规律快速写出的。3.4阶跃函数与阶跃响应下一页前一页第3-70

页返回本章目录还可用ε(t)表示任意函数的作用区间设给定信号f(t)如图3.4-6(a)所示，如果要求f(t)在t=0开始作用，那么可以将f(t)乘以ε(t)，如图3.4-6(b)所示。如果要求f(t)在区间(t1，t2)上的信号起作用，那么只需将f(t)乘以[ε(t-t1)-ε(t-t2)]即可，如图3、4-6(c)所示。二、阶跃响应1、单位阶跃响应定义电路在单位阶跃函数激励下产生的零状态响应定义为单位阶跃响应，简称为阶跃响应，以符号g(t)表示。

用数学式描述这一定义可表示为（3.4-4）明确：单位阶跃函数ε(t)作用于电路相当于单位直流源(1V或1A)在t=0时接入电路，因此对于一阶电路，阶跃响应g(t)仍可用三要素法求解。2、时不变电路概念及特性如果电路结构和元件参数均不随时间变化，那么该电路就称为时不变电路。时不变电路标志性的特征是其零状态响应的函数形式与激励接入电路的时间无关。即若则（3.4-5）下一页前一页第3-71

页返回本章目录3.4阶跃函数与阶跃响应(3.4-5)式表明激励延迟t0时间，零状态响应也延迟t0时间，图3.4-7更直观地表征时不变电路的这一特征。在线性时不变动态电路中，零状态响应与激励之间的关系满足齐次、叠加和时不变性质。

电路的齐次、时不变、叠加三性质可以用图3.4-8简明表示。图3.4-8齐次、时不变、叠加三性质简图表示这个简图把单位阶跃函数、单位阶跃响应、线性电路的齐次性、叠加性、时不变电路的时不变性等重要基本概念综合在一起，很有参考价值！为什么要定义阶跃响应g(t)？若加激励如图3.4-5中(b)图的f2(t)你会如何求零状态响应？3.4阶跃函数与阶跃响应下一页前一页第3-72

页返回本章目录例3.4-1

图3.4-9(a)所示一阶电路，已知R1=6Ω，R2=4Ω，C＝0.02F。(1)若以is（t）为输入，以uC（t）为输出，求阶跃响应g(t)；(2)若激励电流源is的波形如图(b)所示，求零状态响应uCf（t）。解

(1)用三要素法求g(t)。令is(t)=ε(t)，并考虑零状态条件及阶跃响应定义，

因零状态（uC(0+)=uC(0-)=0），t=0+时C视为短路，所以

t=∞时C视为开路，所以时常数套三要素公式，得V

（2）将信号分解，即,由齐次性、时不变性及叠加性，显然下一页前一页第3-73

页返回本章目录3.4阶跃函数与阶跃响应例3.4-2

图3.4-10(a)所示电路，已知R1=6Ω，R2=4Ω，L=1.2H。(1)以us为激励(输入)，以i为响应(输出)，求该电路的阶跃响应g(t)；(2)若us为图(b)所示的波形，求零状态响应if(t)。

解

(1)用三要素法求g(t)。

令并考虑零状态条件及阶跃响应定义，因零状态，t=0+时L视为开路，所以t=∞时L视为短路，所以时常数套三要素公式，得（2）将信号分解，即下一页前一页第3-74

页返回本章目录3.4阶跃函数与阶跃响应由齐次性、时不变性及叠加性，显然可得3.5二阶电路的零输入响应

用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路，需要给定两个独立的初始条件。本节以RLC串联电路为例，仅讨论二阶电路的零输入响应。

如图3.5-1所示RLC串联电路已处于稳态，t＝0时开关S由a切換至b，求t≥0时电压uC

。以电容电压uC作为电路响应，列写该电路的方程。根据KVL,有由于代入上式并整理得(3.5-1)令式中

α称为衰减常数

称为RLC串联电路的谐振角频率求解式（3.5-1）二阶常系数齐次微分方程所需的两个初始条件uC(0+)、uC’(0+)并未给出，需由题意确定。下一页前一页第3-75

页返回本章目录下一页前一页第3-76

页返回本章目录3.5二阶电路的零输入响应

根据题目条件知：t=0-时电路处于直流稳态，视L为短路，电容为开路，所以由換路定律可知：考虑

所以初始条件之一初始条件之二将设定的α、ω0参数代入式（3.5-1）并加注上确定的初始条件，有(3.5-2)从图3.5-1电路看，对于t≥0+时电路中无任何输入，所以响应为零输入响应。从（3.5-2）式方程看，它是二阶常系数齐次微分方程，响应一定是与齐次解的函数形式相同。式（3.5-2）方程的特征方程为下一页前一页第3-77

页返回本章目录3.5二阶电路的零输入响应(3.5-3)特征根仅与电路结构和元件参数有关，通常称为电路的固有频率，其值可能为实数或复数。当R、L、C取不同值时，电路的固有频率及相应的零输入响应存在3种不同情况，下面将分别讨论。

在讨论之前先给出二阶电路齐次解的各种形式，如表3-2所示，以供在讨论各种情况的零输入响应时对照选用。

特征根

齐次解yh(t)(不相等实根)

(相等实根)(共轭复根)或(共轭虚根)或下一页前一页第3-78

页返回本章目录3.5二阶电路的零输入响应一、α＞ω0（R2＞4L/C），过阻尼情况此时为不相等的负实数，称为过阻尼情况。令特征根

(3.5-4)由表3-2得式(3.5-2)的解为

(3.5-5)式中A1、A2为积分常数。将初始条件代入上式，得(3.5-6)由式（3.5-6）解得下一页前一页第3-79

页返回本章目录3.5二阶电路的零输入响应将A1、A2代入式(3.5-5)，得(3.5-7)由电容上电流、电压微分关系，得(3.5-8)由式(3.5-7)、式(3.5-8)画得uC(t)、i(t)波形如图3.5-2所示。由图可见:(1)电路在初始储能作用下产生的零输入响应uC的波形呈单调下降，表明电容不断释放电场能量，一直处于放电状态。(2)在0＜t＜tm期间，由于uC的加速下降，使得放电电流的绝对值逐渐增大，电感储能也不断增加。在t＝tm时，电感储能达到最大。在这期间，电容释放的能量，一部分被电阻R所消耗，另一部分转換成磁场能量存储于电感中。。图3.5-2过阻尼