《测试技术与传感器》课件第1章

1.1信号的分类及其描述

1.2信号的时域分析

1.3信号的频域分析

思考题与习题1.1信号的分类及其描述1.1.1信号的分类根据研究角度的不同，信号具有不同的分类方法。常见的信号分类方法如图1-1所示。图1-1信号的分类

1.确定性信号和非确定性信号

1)确定性信号确定性信号是指可以用明确的数学关系式来描述的信号。根据信号波形是否随时间呈规律性变化，确定性信号可分为周期信号和非周期信号。周期信号是指其波形以一定的周期重复出现的信号。可以表示为f(t)=f(t+nT)n=0，±1，±2，…(1-1)式中:T为周期，T=2π/ω0(ω0为基频)。周期信号又可分为简谐周期信号和复杂周期信号。简谐周期信号即单一频率的正弦信号，复杂周期信号是由若干正弦信号合成的，各正弦信号的频率比为有理数，如图1-2所示。图1-2周期性信号(a)简谐周期信号；(b)复杂周期信号非周期信号是不论经过多少时间都不会重复出现的信号，具有瞬变性，可分为准周期信号和瞬变信号，如图1-3所示。准周期信号由有限个不同频率的简谐周期信号合成，但各信号的频率比不为有理数，没有共同周期。瞬变信号是指在有限的时域范围内出现的信号，又称为时限信号，在该时域范围之外取值均为零。图1-3非周期信号(a)瞬变信号；(b)准周期信号

2)非确定性信号非确定性信号是指无法用明确的数学关系式来描述的信号，其变化是不可预知的，反映的是一种随机过程，例如各种噪声信号等，如图1-4所示。非确定性信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号，也称为随机过程。平稳随机过程又分为各态历经随机过程和非各态历经随机过程。统计特征参数不随时间变化的随机过程称为平稳随机过程；否则称为非平稳随机过程。

图1-4非确定性信号单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征的平稳随机过程称为各态历经随机过程；否则称为非各态历经随机过程。在工程实际中所遇到的各种物理过程往往很复杂，不是理想的确定或非确定性信号，而是相互掺杂的。

2.时限信号和频限信号时限信号分为时域有限信号和时域无限信号。时域有限信号是指信号在有限时间区间内存在不全为零的函数值，而在区间外则恒为零，如三角脉冲、矩形脉冲等信号。时域无限信号是指信号出现在无限的时间区间上，如周期信号、指数信号等。频限信号分为频域有限信号和频域无限信号。频域有限信号是指信号在有限频率区间内存在不全为零的函数值，而在区间外则恒为零。频域无限信号是指信号出现在无限的频率区间上。

3.连续时间信号和离散时间信号连续时间信号是指在某一时间范围内，在任意时刻，除若干个第一类间断点外，都存在确定函数值的信号，也称为模拟信号。例如，单位阶跃信号、矩形脉冲信号等均为连续信号，如图1-5所示。第一类间断点的条件是，函数在间断点处存在左极限与右极限，但左极限与右极限不等，间断点收敛于左、右极限函数值的中点。离散时间信号是指在某一时间范围内，只在某些不连续的瞬时才存在确定函数值的信号，也称为时域离散信号或时间序列。离散时间信号通常又可分为采样信号和数字信号。采样信号是指时间离散而幅值连续的信号；数字信号是指时间离散而幅值量化的信号。图1-5连续时间信号

4.物理可实现信号和物理不可实现信号物理可实现信号是指在实际应用中出现的信号，满足以下条件：t≤0时，x(t)=0，即在零时刻之前信号不存在，只有在大于零时刻才有确定的信号值，因此物理可实现信号也称为单边信号。物理不可实现信号是指不满足以上条件的实际应用中不可能出现的信号。物理可实现信号表明，信号经由物理系统产生，在零时刻之前没有输入，系统没有响应，即输出为零，反映了物理上的因果关系。1.1.2信号的描述根据实际测控系统的不同要求，信号需要从不同的角度描述，通常分为时域描述和频域描述。

1.信号的时域描述信号的时域描述是指以时间为独立变量来描述信号，反映信号幅值随时间变化的情况，描述信号幅值与时间的对应关系，是信号的自然表现形式，是实际系统响应过程的一种直观描述。

2.信号的频域描述信号的频域描述是指以频率为独立变量来描述信号，反映信号幅值和相角随频率变化的情况，揭示了信号的频率构成，包括幅频特性和相频特性的描述。例如，信号f(t)=A1sin(ω1t+φ1)+A2sin(ω2t+φ2)+A3sin(ω3t+φ3)的时域描述如图1-6(a)所示，频域描述如图1-6(b)所示。图1-6信号时域和频域描述1.2信号的时域分析1.2.1信号的时域分解为了便于进行信号分析，在时域中常把复杂信号分解为若干个简单信号的分量之和，信号的时域分解因信号的种类不同而有多种形式。

1.交流分量和直流分量信号f(t)可分解为直流分量fD(t)与交流分量fA(t)之和，即f(t)=fD(t)+fA(t)。直流分量也称为信号平均值，是信号的静态分量；交流分量则包含了信号的频率和相位信息，如图1-7所示。图1-7信号分解为直流分量和交流分量

2.偶分量和奇分量信号f(t)可分解为偶分量fE(t)与奇分量fO(t)之和，即f(t)=fE(t)+fO(t)，偶分量关于纵轴对称，奇分量关于原点对称，如图1-8所示。图1-8信号分解为偶分量和奇分量

3.实部分量和虚部分量信号f(t)可分解为实部分量fR(t)与虚部分量fI(t)之和，即f(t)=fR(t)+jfI(t)，虚部信号实际不存在，但可以借助其研究实信号或进行化简运算。

4.脉冲分量之和信号f(t)可分解为脉冲宽度无穷小的矩形脉冲分量之和，如图1-9所示。图1-9信号分解为矩形窄脉冲分量和

5.正交分量之和信号f(t)可以用正交函数集来表示，即，各分量的正交条件为

(1-2)即在(t1，t2)区间内各分量乘积为零，能量为有限值。例如，三角函数、复指数函数等都满足正交条件。各分量系数由下式得

(1-3)1.2.2信号的统计分析

1.均值均值是函数f(t)在整个时间轴上的平均，也称数学期望值，即

(1-4)实际应用中，无限长时间是不可实现的，因此以有限长样本的估计值代替，即

(1-5)

2.均方值均方值是信号f(t)的平方值的均值，也称为平均功率，即

(1-6)其有限长样本的估计值为

(1-7)均方值反映了信号的强度。均方值的正平方根称为均方根值

(rootmeansquare)，又称为有效值，是信号平均能量的表达，即

(1-8)

3.方差方差反映随机信号f(t)的幅值的波动程度，定义为

(1-9)其中，σf称为均方差或标准差。均值μf、均方值和方差三者之间具有以下关系:

(1-10)

4.概率密度函数随机信号f(t)的概率密度函数定义为

(1-11)对各态历经随机过程，有

(1-12)式中，P［f<f(t)≤f+Δf］表示瞬时值落在增量Δf范围内的概率，Tf=Δt1+Δt2+…表示信号瞬时值落在［f，f+Δf］区间的总时间，如图1-10所示。图1-10概率密度函数

5.概率分布函数概率分布函数表示信号f(t)落在某一区间的概率，又称为累积概率，是瞬时值f(t)小于等于某值f的概率，即

(1-13)亦可写成

(1-14)1.2.3信号的相关分析相关函数描述两个信号的相似程度，也可以描述同一信号在不同时刻的相似程度。

1.自相关信号f(t)的自相关函数定义为(1-15)实际应用时采用有限长样本，即自相关函数的估计值为

(1-16)

2.互相关信号f(t)的互相关函数定义为

(1-17)或

(1-18)实际应用时采用有限长样本，即互相关函数的估计值为

(1-19)或

(1-20)

3.相关系数函数信号本身的取值大小影响着相关函数值的大小。如果信号本身取值大，即使相关程度很低的两个信号，也可能得到很大的相关函数值，致使信号的相关程度无法准确判断。将相关函数进行归一化处理，即引入相关系数函数

(1-21)则当ρ12(τ)=0时，说明f1(t)和f2(t)完全不相关；当ρ12(τ)=1时，说明f1(t)和f2(t)完全相关；当0<|ρ12(τ)|<1时，说明f1(t)和f2(t)部分相关。1.3信号的频域分析

1.周期信号分析我们已经知道，一个周期为T的函数f(t)，在满足狄利克雷(Dirichlet)条件的情况下，可以展开成傅立叶(Fourier)级数，有三种数学表达式:(1-22)(1-23)(1-24)式中:在以上各表达式中:An~ω

和|Cn|~ω关系称为幅值谱；φn~ω关系称为相位谱；和关系称为功率谱。

例1-1

求图1-11所示周期方波的傅立叶级数，并绘制频谱图。图1-11周期方波解：在一个周期内，波形与横轴围成的面积上、下相等，所以它的平均值为

f(t)为奇函数，因为cosnω0t是偶函数，所以f(t)cosnω0t也为奇函数，而奇函数在一个对称区间内的积分值是零。因此，余弦的系数为根据上述两点可知，此周期方波信号仅由正弦分量组成，其各次正弦波的幅值为最终此方波展开的傅立叶级数如下:由上式可以看出，此方波各次谐波的幅值衰减得较慢，直到第19次谐波的幅值还为基波的1/19，而到第21次谐波的幅值才小于基波的5%。根据该方波的傅立叶级数式可知，它不含静态分量，且仅含奇次谐波。它的两个序列为该方波的幅值与相位频谱分别如图1-12(a)、(b)所示。图1-12周期方波的频谱图从以上分析可知，周期信号的频谱具有以下特征:

(1)离散性。周期信号的谱线是离散的，每条谱线代表一个正弦分量。

(2)谐波性。周期信号的所有频率成分都是基波的整数倍。

(3)收敛性。随着谐波频率的增大，谐波幅值将减小。

2.非周期信号分析非周期信号不能用傅立叶级数分解为若干个正弦信号之和，但仍可援引同样的方法解决问题，即把非周期信号看做是周期为无限大的周期信号。当T→∞时，Δω=ω0=2π/T→0，有Δω=dω,说明周期无限大时，周期信号的谱线间隔无限小，谱线无限密集，转变为连续谱线。于是，可将在周期信号中对离散频率分量求级数和，转变为在非周期信号中对连续频率求积分。若非周期信号f(t)在任一区间满足狄氏条件，且在无限区间绝对可积，则在f(t)的连续点处有

(1-25)设

(1-26)称之为f(t)的傅立叶变换，则

(1-27)称之为F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)与f(t)构成了傅立叶变换对，也可将其表示为

(1-28)(1-29)将F(ω)表示成复指数形式，有F(ω)=|F(ω)|ejφ(ω)(1-30)式中:|F(ω)|~ω关系称为幅频谱密度函数；φ(ω)~ω关系称为相频谱密度函数。

例1-2

求矩形窗函数的频谱。矩形脉冲的时域表达式为其时域波形如图1-13(a)所示。图1-13矩形脉冲及其频谱

解：该矩形脉冲的频谱函数为式中，sincx=sinx/x是一个特定表达的函数，在测试信号分析中具有广泛的应用。矩形脉冲的频谱函数X(f)的波形如图1-13(b)所示。因为X(f)只有实部，无虚部，故其幅值频谱函数为|X(f)|=hτ|sin

cπfτ|，如图1-1