特训16 指数函数与对数函数 解答压轴题（全国期末九大题型）（解析版）-A4

第页特训16指数函数与对数函数解答压轴题（全国期末精选，九大题型）目录：题型1：根据函数的单调性化简求值题型2：根据零点的个数求参数范围题型3：根据方程的根、交点个数等求参数范围题型4：指、对数函数中构造或转化为二次函数解决题型5：根据最值求参数题型6：含参的定义域与值域问题题型7：恒成立问题题型8：双变量问题题型9：新定义综合题型1：根据函数的单调性化简求值1．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数．(1)解关于的不等式；(2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；(3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)是定值，1【分析】（1）利用对数函数的单调性，即可求得答案；（2）将在上有实数解，转化为在上有实数解，结合对数函数单调性求函数值域，即可求得答案；（3）利用在区间上是增函数，化简已知和式，脱掉绝对值符号，即可求得答案.【解析】（1）由得，得，，所以不等式的解集为；（2）在上有实数解，在上有实数解，因为在上是单调递增函数，故，则，即，解得或；（3）由知，在区间上是增函数，对任意划分，均有，++，所以此和式为定值1.【点睛】关键点睛：解答此题的关键是解答第三问时，要结合函数的单调性，化简和式，脱去绝对值符号，进而求解.题型2：根据零点的个数求参数范围2．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数．(1)若，求的取值范围．(2)记已知函数有个不同的零点．①若，求的取值范围；②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据题意，分与代入计算，求解不等式，即可得到结果；（2）（ⅰ）将问题转化为的实根个数问题，然后求得与时，根的个数，从而可得的范围，然后分别检验，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得，再由对勾函数的单调性，即可得到结果.【解析】（1）由题意得函数的定义域为．当时，不等式等价于，显然满足条件；当时，不等式等价于，即，解得．综上，的解集为，即当的取值范围为时，成立．（2）（ⅰ）令原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）．当时，即为，所以至多一个实根①；当时，即为，所以至多两个实根②．由①知，），所以，由②知，，所以或，所以或，且．当时，若，则有两个零点0和，符合题意．当时，①无实根，对于②，只要，化简得，则，符合题意．当时，若，则有三个不等实根，不符合题意．若，则有两个零点0和，符合题意．若，则仅有一个零点0，不符合题意．综上所述，当时，的取值范围为.（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为，显然，所以．易得函数在上单调递减，所以，所以．【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数.题型3：根据方程的根、交点个数等求参数范围3．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）定义在上的幂函数.(1)求的解析式；(2)已知函数，若关于的方程恰有两个实根，且，求的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）由幂函数的定义求出的值，并由定义域对的值进行取舍，进而得到解析式；（2）通过换元得到的解析式，确定给定方程有两个不等实根时的取值范围，再将用表示出即可求解作答.【解析】（1）是幂函数，，解得或3.当时，，与函数的定义域是R矛盾，舍去；当时，，符合题意..（2）由（1）可得，，代入函数中，有令，作函数图像如下：若，即时，；当时，，；当时，，，若，即时，；由于，，则，综上所述，，作图如下：其与直线有且只有两个交点，，且，，，，即，∵和在ln2,1上单调递增，在上单调递增，.，化简得：.即的取值范围为.【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数，且(1)求的解析式；(2)设函数，若方程有个不相等的实数解，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）列出方程，求出，得到解析式；（2）令，得到其单调性和奇偶性，换元得到在上有两个不相等的实数根，进而得到，设的两根为，的两根为，由奇偶性得到，进而求出.【解析】（1）由题有时，解得或，因为，所以，故；（2）由（1），则方程为设，当且仅当，即x=0时等号成立，可得则原方程可化为，令，因为，故函数为上的偶函数，设，，，，即函数在上单调递增，由偶函数得在上单调递减，最小值为故原条件等价于方程在有两个不相等的实数根，即，解得，不妨设的两根为，的两根为，由为上的偶函数，可得，即，，所以.【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.5．（23-24高一上·重庆江北·期末）已知函数，．(1)求函数在区间上的最大值；(2)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】(1)5(2)【分析】（1）首先化简函数Fx（2）首先化简函数ℎx【解析】（1），，，当x∈2,4，，所以Fx的值域为，所以函数的最大值为5；（2），令，则，，令，整理可得①，，作出简图，如下，当时，，显然不合题意，当时，有两个根，当时，有一个根，因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，所以①式有两个根，且一根在区间0,2内，另一根在区间内，设，则有或，即或，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是利用换元，化简函数，并将方程转化为，第二个关键点是通过的交点问题，转化为二次方程根的分布问题.题型4：指、对数函数中构造或转化为二次函数解决6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围；(3)设，当为何值时，关于的方程有实根？【答案】(1)(2)(3)或.【分析】（1）根据函数为偶函数，列式求解，即得答案；（2）分离参数，将不等式gx<0对任意的x∈1,+∞恒成立转化为,利用换元，即，可得（3）利用换元，即，将有实根转化为的根的问题，继而转化为的零点问题，分类讨论，结合二次函数的零点分布，即可求得答案.【解析】（1）由函数是定义域在上的偶函数，则对于，都有f−x=fx，即即对于，都有，即，由于不恒等于0，故，得.（2）结合（1）可得，则，令，由在上单调递增，在上单调递减，所以在x∈1,+∞上单调递增，得，则不等式gx<0对任意的x∈1,+∞恒成立等价于所以即可，又，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，所以的最小值为，即，所以实数的取值范围为.（3）令，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值2，所以，当且仅当时取等号，则，令，则，则原问题转化为关于的方程的根的问题，由于，令，则的图象为开口向上的抛物线在y轴右侧部分（含y轴），，①当时，或，此时对称轴，函数在有唯一零点；②当且在有唯一零点时，，可得：或；③当在有两个不相等零点时，设零点为，则，可得：.综上：或.【点睛】关键点睛：本题综合考查了函数奇偶性、不等式恒成立以及方程的解的问题，综合性较强，解答的关键是（3）中要将方程有解问题转化为函数零点问题，然后分类讨论，结合二次函数零点的分布，即可求解.题型5：根据最值求参数7．（23-24高一上·广东汕尾·期末）平原上两根电线杆间的电线有相似的曲线形态，这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中a、b为非零实数(1)利用单调性定义证明：当时，在上单调递增；(2)若为奇函数，函数，，探究是否存在实数a，使的最小值为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）当时，，利用定义法证明函数的单调性；（2）由为奇函数，得，则，令，则可化为，利用二次函数的性质分类讨论，由函数的最小值求出a的值．【解析】（1）当时，，设，且，则．因为，所以，，则有，，所以，即，所以在0,+∞上单调递增．（2）因为为奇函数，所以，即，得，所以，所以．令，，由函数在上单调递增，有，则可化为，．假设存在实数a，使即的最小值为，结合二次函数的性质可知，当，即时，在上单调递增，，不符合要求；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，此时；当，即时，在上单调递减，，此时，不满足．综上，当时，的最小值为．【点睛】关键点睛：函数是否存在最小值，配方和换元是解题关键，，令，问题转化为函数，是否存在最小值，利用二次函数性质求解即可.8．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知函数为对数函数，函数的图象与函数的图象关于对称，设函数，且对任意都有恒成立．(1)求函数的解析式；(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由对数函数定义求得，则，结合反函数性质得，再根据已知得为偶函数，由偶函数性质求参数n，即可得的解析式；（2）由题设，令，进而得到，且，根据二次函数性质及其最小值求参数即可.【解析】（1）由题设，可得，故，由函数的图象与函数y=gx的图象关于对称，即两函数互为反函数，故，故，定义域为R，由，即，所以为偶函数，即恒成立，故，则.（2）由（1）得，且，令，则，即，所以，且，开口向上，对称轴为，所以在上的最小值为，当，即时，，可得；当，即时，，所以，可得或，均不满足前提；综上，.【点睛】关键点点睛：第一问，注意对数函数定义、反函数性质及偶函数判断并求参；第二问，将含指数函数的复合型函数换元，转化二次函数，再利用最值求参.题型6：含参的定义域与值域问题9．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数且.(1)若，求不等式的解集；(2)若，是否存在，使得在区间上的值域是，若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）把代入，利用对数函数的性质把不等式化为一元二次不等式求解.（2）由对数函数单调性把问题转化为一元二次方程在上有两个不相等的实根，再由一元二次方程根的分布求解即可.【解析】（1）当时，函数，不等式，则有，即，整理得，解得，所以不等式的解集是.（2）函数中，，解得，即的定义域为，当时，函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，假定存在，使得在区间上的值域是，于是，即，则，因此关于的方程在上有两个不相等的实根，设，则有，整理得，显然此不等式组无解，所以不存在这样的满足条件.【点睛】易错点睛：利用对数函数的性质把对数不等式化为一元二次不等式求解，注意对数函数的定义域.10．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数（且）．(1)求的定义域；(2)若当时，函数在(1,+∞)有且只有一个零点，求实数b的范围；(3)是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；（2）根据题意分析可知在上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；（3）根据定义域和值域可得，且，结合单调性分析可知有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.【解析】（1）由，得或．所以的定义域为．（2）令，可知在(1,+∞)上为增函数，可得，且，可知的值域为，因为，则在定义域内为减函数，可得，所以函数fx在上的值域为，又因为函数在有且只有一个零点，即在上有且只有一个解，所以b的范围是．（3）存在，理由如下：假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为，由且，可得，且．令，可知在上为增函数，因为，则在定义域内为减函数，所以在上为减函数，可得，可知在上有两个互异实根，可得，即有两个大于1相异实数根．则，解得，所以实数a的取值范围.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．题型7：恒成立问题11．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数满足：对，都有，且当时，函数．(1)求实数的值，并写出函数在区间的零点无需证明；(2)函数，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，零点是；(2)存在，【分析】（1）根据，即可求出的值，结合函数性质可写出函数在区间的零点；（2）根据的定义域，得到在是增函数，若恒成立，则首先要满足ℎx>0恒成立，再利用换元法，结合在上是增函数，在上是减函数，即可求解．【解析】（1）由题意可得：，且当时，，则，解得，在上单调递减，由于，且时，增大的幅度比增大的幅度越来越快，故在上单调递增，函数在区间上单调递减，又，故函数在区间的零点是；（2）令，可得，即，定义域为，，则对，，且，可得，且在是增函数，则，即，在是增函数，若恒成立，则首先要满足ℎx>0又，，令，令，，则，解得，又，故当时，对任意时恒成立，而在上是增函数，在上是减函数，在0,3上是增函数，又，故恒成立，只需恒成立，即，解得，综上所述：存在实数，使得恒成立，的取值范围为．【点睛】难点点睛：本题考查了二次函数以及指对数函数的应用问题，涉及到函数的单调性以及零点和不等式恒成立问题，综合性强，解答的难点在于（2）中求解是否存在的问题；解答时要根据的定义域，得到在是增函数，若恒成立，则首先要满足ℎx>0恒成立，然后利用换元法结合在上是增函数，在上是减函数，进行求解．12．（23-24高一上·河南驻马店·期末）设的定义域为R，若，都有，则称函数为“函数”．(1)若在R上单调递减，证明是“函数”；(2)已知函数．①证明是上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）；②若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析，是；②【分析】（1）根据函数的单调性列不等式，整理为函数的定义的形式，由此证得是“函数”.（2）①根据函数奇偶性的定义证得是上的奇函数，根据函数的定义判断出是“函数”.②根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，利用分离常数法，结合换元法、函数的单调性等知识求得实数的取值范围．【解析】（1）若在R上单调递减，则，即，即，整理得：，所以是“函数”．（2）①定义域为R，关于原点对称，，所以是上的奇函数．在R上单调递减，是“函数”.②是R上的奇函数，并为“函数”，在上单调递减，在上恒成立，可得在上恒成立，故在上恒成立，即在上恒成立，又注意到，结合，知，得：．令，其中易知在上单调递减，在上单调递增．令，即恒成立，其中函数与函数均在上单调递增，故函数在上单调递增．故，得，则的范围为．【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.题型8：双变量问题13．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数，（，a为常数）．(1)若函数是偶函数，求实数的值；(2)若与在上的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，且，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可.（2）构造函数，结合其单调性，可得，且，从而用分析法转化不等式证明即可.【解析】（1）因为函数的定义域为,且，若函数是偶函数，则，即，化为，则，经验证符合题意，故实数的值为（2）因为函数，，则方程，化为，设当时，，易得在0,1上单调递减；当时，，易得在上单调递增；因为y=fx与在上的图象有两个不同的交点，故在有两个不同的根，且两个根分别在区间0,1和内，又，所以，且，则故即，要证，即证，即证，只需证，即证，即证，即证，因为，所以，所以成立，则成立.要证，只需证，即证，即证，即证，即证，因为，不等式显然成立，故成立，综上知，.【点睛】本题第二问的关键是构造函数，结合其单调性得到，且，从而用分析法将问题转化为单变量不等式，由此可证.14．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知函数，．(1)写出函数的单调区间；(2)若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；(3)已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是，(2)或(3)【分析】（1）去掉绝对值化简后结合函数单调性分析即可.（2）由小问（1）的单调性，画出函数的草图，结合图象分析即可.（3）由题意得，得出的范围，把两点坐标代入函数得与的关系式，借助关系式用来表示，即，构造函数，分析函数单调性可得值域，即的取值范围.【解析】（1），则的单调递增区间是，单调递减区间是，．（2）函数在单调递减，在单调递增，故在的最小值为，同理，在的最小值为，故结合图象可得，函数有两个零点时需满足解得：．或解得：．综上所述：或．（3）由题意得：，则．且，则，因为，，所以，故．所以．又，故单调递增，所以单调递增，故．因此的取值范围为．【点睛】方法点睛：要求的范围，未知数较多，遇到未知数多时需要通过减少未知数的个数来降低解决问题的难度；判断函数单调性的常用方法：①结合基本初等函数的图象或结合图象变换分析单调性；②复合函数的单调性；③多个函数加减的单调性：，，，；题型9：新定义综合15．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)试判断的单调性，并说明理由；(3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围．【答案】(1)(2)单调递增，理由见解析(3)【分析】（1）由函数解析式直接求定义域；（2）法一：利用复合函数单调性判定；法二：定义法证明单调性；（3）由题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可.【解析】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得，所以函数的定义域是．（2）在上单调递增．理由如下：法一：因为，又在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，在上为增函数，故在上单调递增．法二：因为，对任意，，且，可知，则，又，可知，所以，即．故在上单调递增，（3）由（2）可知在上单调递增，设区间是函数的“完美区间”．则，．可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．令，则，所以，当且仅当时，取等号．又在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，．所以．故实数b的取值范围为．【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．接下来利用换元法求出函数的值域即可.16．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存