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文档简介
河北省邢台第八中学2023-2024学年高三下学期综合练习(二)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.2.某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体中最长的棱长为().A. B. C.1 D.3.若实数、满足,则的最小值是()A. B. C. D.4.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()A. B.C. D.5.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.6.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.47.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.8.若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.若的展开式中的系数之和为,则实数的值为()A. B. C. D.110.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.11.已知集合,若,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点,为坐标原点.若,则直线的斜率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知变量x,y满足约束条件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,则14.已知关于的方程在区间上恰有两个解,则实数的取值范围是________15.展开式中的系数的和大于8而小于32,则______.16.在平面直角坐标系中,点的坐标为,点是直线:上位于第一象限内的一点.已知以为直径的圆被直线所截得的弦长为,则点的坐标__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱柱中,已知四边形为矩形,,,,的角平分线交于.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是边长为2的菱形,点E,F分别为棱DC,BC的中点,点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证:(1)直线平面EFG;(2)直线平面SDB.19.(12分)为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效地改良玉米品种,为农民提供技术支援,现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.(1)求出易倒伏玉米茎高的中位数;(2)根据茎叶图的数据,完成下面的列联表:抗倒伏易倒伏矮茎高茎(3)根据(2)中的列联表,是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)设的最小值为,正数,满足,证明:.21.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)若,求曲线与的交点坐标;(2)过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线,交于点,且的最大值为,求的值.22.(10分)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如下的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,求这个零件尺寸的中位数(结果精确到);(2)若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个,设表示尺寸在上的零件个数,求的分布列及数学期望;(3)已知尺寸在上的零件为一等品,否则为二等品,将这个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售,每箱个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验,已知每个零件的检验费用为元.若检验,则将检验出的二等品更换为一等品;若不检验,如果有二等品进入买家手中,企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了个,结果有个二等品,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验?请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由题可知,设函数,,根据导数求出的极值点,得出单调性,根据在区间内的解集中有且仅有三个整数,转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数的取值范围.【详解】设函数,,因为,所以,或,因为时,,或时,,,其图象如下:当时,至多一个整数根;当时,在内的解集中仅有三个整数,只需,,所以.故选:C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力.2、B【解析】
首先由三视图还原几何体,进一步求出几何体的棱长.【详解】解:根据三视图还原几何体如图所示,所以,该四棱锥体的最长的棱长为.故选:B.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体,考查运算能力和推理能力,属于基础题.3、D【解析】
根据约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,得,可得点,由得,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故选:D.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.4、C【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体,三点重合,记作,取中点,连接,即为与直线所成的角,表示出三角形的三条边长,用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠,可得原正四面体如下图所示,其中三点重合,记作:则为中点,取中点,连接,设正四面体的棱长均为,由中位线定理可得且,所以即为与直线所成的角,,由余弦定理可得,所以直线与直线所成角的余弦值为,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,将展开图折叠成空间几何体,余弦定理解三角形的应用,属于中档题.5、A【解析】
先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,,得,所以的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.6、A【解析】
由倾斜角的余弦值,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,,,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题7、C【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.8、B【解析】
化简复数,由它是纯虚数,求得,从而确定对应的点的坐标.【详解】是纯虚数,则,,,对应点为,在第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.9、B【解析】
由,进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数,令二者之和等于,可求出实数的值.【详解】由,则展开式中的系数为,展开式中的系数为,二者的系数之和为,得.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.10、D【解析】
可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.11、A【解析】
解一元二次不等式化简集合的表示,求解函数的定义域化简集合的表示,根据可以得到集合、之间的关系,结合数轴进行求解即可.【详解】,.因为,所以有,因此有.故选:A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题,考查了解一元二次不等式,考查了函数的定义域,考查了数学运算能力.12、D【解析】
根据抛物线的定义,结合,求出的坐标,然后求出的斜率即可.【详解】解:抛物线的焦点,准线方程为,设,则,故,此时,即.则直线的斜率.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线斜率公式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-5【解析】
画出x,y满足的可行域,当目标函数z=x-2y经过点A时,z最小,求解即可。【详解】画出x,y满足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,当目标函数z=x-2y经过点A【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想。需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。14、【解析】
先换元,令,将原方程转化为,利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点,观察图像,即可求出.【详解】因为关于的方程在区间上恰有两个解,令,所以方程在上只有一解,即有,直线与在的图像有一个交点,由图可知,实数的取值范围是,但是当时,还有一个根,所以此时共有3个根.综上实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力,方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题,是常见的转化方式.15、4【解析】
由题意可得项的系数与二项式系数是相等的,利用题意,得出不等式组,求得结果.【详解】观察式子可知,,故答案为:4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题,涉及到的知识点有展开式中项的系数和,属于基础题目.16、【解析】
依题意画图,设,根据圆的直径所对的圆周角为直角,可得,通过勾股定理得,再利用两点间的距离公式即可求出,进而得出点坐标.【详解】解:依题意画图,设以为直径的圆被直线所截得的弦长为,且,又因为为圆的直径,则所对的圆周角,则,则为点到直线:的距离.所以,则.又因为点在直线:上,设,则.解得,则.故答案为:【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】
(1)过点作交于,连接,设,连接,由角平分线的性质,正方形的性质,三角形的全等,证得,,由线面垂直的判断定理证得平面,再由面面垂直的判断得证.(2)平面几何知识和线面的关系可证得平面,建立空间直角坐标系,求得两个平面的法向量,根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】(1)如图,过点作交于,连接,设,连接,,,又为的角平分线,四边形为正方形,,又,,,,,又为的中点,又平面,,平面,又平面,平面平面,(2)在中,,,,在中,,,又,,,,又,,平面,平面,故建立如图空间直角坐标系,则,,,,,,,设平面的一个法向量为,则,,令,得,设平面的一个法向量为,则,,令,得,由图示可知二面角是锐角,故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明,二面角的计算,在证明垂直关系时,注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”,勾股定理、菱形的对角线互相垂直,属于基础题.18、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.(2)证明与即可.【详解】(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG.(2)在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19、(1)190(2)见解析(3)可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关.【解析】
(1)排序后第10和第11两个数的平均数为中位数;(2)由茎叶图可得列联表;(3)由列联表计算可得结论.【详解】解:(1).(2)抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016(3)由于,因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关.【点睛】本题考查茎叶图,考查独立性检验,正确认识茎叶图是解题关键.20、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)将表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求得的最小值,利用分析法,结合基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1),不等式,即或或,即有或或,所以所求不等式的解集为.(2),,因为,,所以要证,只需证,即证,因为,所以只要证,即证,即证,因为,所以只需证,因为,所以成立,所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查分析法证明不等式,考查基本不等式的运用,属于中档题.21、(1),;(2)或【解析】
(1)将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程,联立方程,即可求得曲线与的交点坐标;(2)由直线的普通方程为,故上任意一点,根据点到直线距离公式求得
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