计量经济学 第2版 课件 第5章 异方差性课件

ECONOMETRICS第五章异方差性教学目的和要求0105040302掌握异方差性的概念和类型了解异方差性的产生原因掌握异方差性的后果掌握异方差性的检验方法及EVIEWS软件实现掌握异方差性的修正方法及EVIEWS软件实现课程内容01040302异方差性的含义、类型及产生原因异方差性的后果异方差性的检验异方差性的修正引例：高技术产业各行业开发经费支出对新产品销售收入影响一致吗？高技术产业体现了国家科技竞争力，展现了国家实力。我国一直大力扶持高技术产业，国家科技水平不断提高。科技研发对高技术产业的发展具有重要意义，那么高技术产业各行业开发经费支出对新产品销售收入是否存在差异影响呢？引例：高技术产业各行业开发经费支出对新产品销售收入影响一致吗？为了解高技术产业研发投入对其产出的影响，现选取高技术制造业新产品开发经费支出X作为解释变量,新产品销售收入Y作为被解释变量，样本为2018年我国高技术制造业分行业数据，建立的新产品销售收入关于开发经费支出的回归模型为：从回归模型估计结果来看，可决系数和修正的可决系数较高，F检验和t检验显著，表明新产品开发经费支出对新产品销售收入有显著影响。估计的模型参数表明：新产品开发经费支出每增加一万元，各行业新产品销售收入将平均增长7.2977万元。引子：高技术产业各行业开发经费支出对新产品销售收入影响一致吗？然而，从2018年高技术产业各行业新产品开发经费支出和新产品销售收入实际数据来看，这一结论可能并不可靠。尽管随着新产品开发经费支出的增加，新产品销售收入平均水平也不断增加，但其离散程度也随之而增加。当新产品开发经费支出较低时，不同行业的新产品销售收入差距较小；而当新产品开发经费支出较高时，不同行业的新产品销售收入差距较大。这种情况下，建立的模型可能存在异方差性，而存在异方差的模型估计结果不可靠。为什么估计模型会存在异方差性？为何用OLS估计存在异方差的模型得到的结果不可靠？又该如何消除异方差性呢？5.1.1异方差性的含义对于线性回归模型在模型经典假定中，要求随机误差项

具有同方差性，即对所有的随机误差项

，偏离其均值的离散程度均相同，用公式表达为：若上述假定不成立，则对于不同样本点，随机误差项离散程度各不相同或着说不再是一个固定常数，即

，则称模型存在异方差性（

Heteroscedasticity）。5.1异方差性的含义、类型及产生原因5.1.1异方差性的含义由于随机误差项方差随样本点不同而不同，因而可以将异方差看成是解释变量的某种函数形式，即：5.1异方差性的含义、类型及产生原因5.1.2异方差性的类型单调递增型：指随机误差项的方差，随着解释变量Xi的增大而增大。例如：随着居民家庭收入水平的提高，家庭储蓄水平的差异将逐渐增大。单调递减型：指随机误差项的方差，随着解释变量Xi的增大而减小。例如：打字出错率与练习时间之间的关系，一般地打字时间越长，人们的打字出错率越低，打字出错率波动幅度随打字时间增加会越来越小。复杂型：是指随机误差项的方差，随着解释变量Xi的增大而呈现出复杂的变化形式。例如：我国收入分配的变化，在改革开放初，社会收入差距非常小，改革开放后，收入差距逐步增大，目前我国政府采取了相应的政策如精准扶贫，以逐步缩小收入差距。可见，我国社会收入差距随着经济发展像橄榄球形一样变化。5.1异方差性的含义、类型及产生原因5.1.3异方差性的产生原因遗漏了某些重要解释变量模型函数形式设定误差测量误差的变化随机因素影响5.1异方差性的含义、类型及产生原因5.2.1参数的OLS估计量仍具无偏性，但非有效由于随机误差项方差随样本点不同而不同，因而可以将异方差看成是解释变量的某种函数形式，即：以一元线性回归模型为例，由第2章参数OLS估计的无偏性证明可知：在解释变量非随机和零均值假定满足的情况下，可证明参数的OLS估计量具有无偏性。可见，模型存在异方差并不影响参数OLS估计的无偏性。5.2异方差性后果5.2.1参数的OLS估计量仍具无偏性，但非有效由第2章证明可知，若模型满足同方差性假定，则：若模型存在异方差，，则：比较上述结果，当时，这表明模型若存在异方差，则难以确保OLS估计量的方差最小。同理也无法保证其有效性。5.2异方差性后果5.2.2无法正确估计参数的标准误差在同方差性假定下，参数的估计标准误差为：而在模型存在异方差情况下，假定若此时仍用则将产生偏差，偏差大小取决于：当其大于1，则低估参数估计的标准误差，反之，则高估。5.2异方差性后果5.2.3参数显著性检验的可靠性降低若模型存在异方差，此时可能高估或低估参数估计的标准误差，则据此计算的t统计量也不正确，此时，用错误的t统计量进行参数显著性检验，则有可能得到不正确的结论，t检验失效。F检验也如此。5.2异方差性后果5.2.4预测失效若模型存在异方差，

随着

的变化而变化，

也在不断变化，则Y预测区间将难以确定，此外，

不正确，预测误差增大，Y的预测精度将降低。5.2异方差性后果鉴于异方差性的存在将会对回归模型的估计、检验和预测产生一系列消极的影响，因而，在建立回归模型时必须检验其是否存在异方差性。异方差性检验的基本思路是：通常利用OLS法估计模型产生的残差及其平方或者绝对值来替代随机误差项方差，根据残差的分布图或者建立残差平方（或绝对值）关于原模型中解释变量的辅助回归方程来判定其是否存在异方差性。5.3异方差性的检验异方差性常用检验方法：1.图示检验法2.戈德菲尔德-夸特（Goldfeld-Quandt）检验法3.White检验法4.Park检验法5.Glejser检验法6.ARCH检验法5.3.1图示检验法1.被解释变量与解释变量相关图利用sort命令先对

进行排序：sortX然后，利用scat命令绘制相关图，如果随着解释变量的增加，被解释变量

散点分布区域逐渐变宽（或变窄），则可初步诊断模型存在递增型（或递减型）的异方差。5.3异方差性的检验5.3.1图示检验法2.残差平方或者残差绝对值与X相关图首先，对解释变量值进行排序。EVIEWS软件命令格式为：SORTX；其次，利用最小二乘法估计回归模型。EVIEWS软件命令格式为LSYCX，进而利用序列生成命令计算得到残差的平方或者残差绝对值；

Genrz1=resid^2Genrz2=abs(resid)最后，绘制出或者对X的散点图。若随着X变化，或者大体在两条水平线内变动（如图5-2a），则表明随机误差项方差为同方差；若随着X变化，或者也随之发生变化（如图5-2b、c、d），则表明模型存在异方差。5.3异方差性的检验2.残差平方或者残差绝对值与X相关图5.3异方差性的检验5.3.2戈德菲尔德-夸特检验法1965年戈德菲尔德和夸特提出Goldfeld-Quandt检验方法，其基本思想是：对原样本按某一解释变量进行排序，删除中间一定组数的数据，将容量相同的两端数据分别作为两个子样本，利用OLS法估计两个子样本回归模型，比较其产生的残差平方和是否具有显著差异，据此进行异方差性检验。5.3异方差性的检验戈德菲尔德-夸特检验步骤：5.3异方差性的检验1.数据排序：对所有样本数据按某一解释变量进行排序2.选取子样本：将排在中间的C组（大约n/4）数据删除，两端的样本数据分别作为子样本1和子样本23.估计模型：利用OLS法分别对子样本1和子样本2建立回归模型，求得各自的残差平方和4.提出假设：即原假设子样本1和子样本2的方差相等，满足同方差性假定5.构造统计量：6.判别结论：给定显著性水平，查F分布表，得临界值。若F＞，则认为模型中的随机误差项存在异方差。戈德菲尔德-夸特检验的适用条件：戈德菲尔德-夸特检验法主要适用于大样本且具有递增或递减规律的异方差情况。注意：G-Q检验结果往往与被删除的数据组数c有关。G-Q检验仅能帮助判断是否存在异方差性，而不能判断异方差性是由哪些解释变量的哪种函数引致的。5.3异方差性的检验5.3.3White检验法基本思想：基于异方差性的定义，如果模型存在异方差性，则随机误差项的方差会随着解释变量变化而变化。因此，可以建立残差平方关于解释变量多项式函数的辅助回归模型，并对该辅助回归模型进行统计检验，以此判断原模型是否存在异方差性。由于随机误差项的方差未知，一般用残差平方

近似替代。5.3异方差性的检验White检验步骤（以二元回归为例）：5.3异方差性的检验1.用OLS法估计回归模型，计算残差，并求残差的平方2.估计残差平方对解释变量一次项、二次项和交叉乘积项的辅助回归模型3.计算统计量，其中n为样本容量，为辅助回归模型的可决系数。4.给定显著性水平，查分布表得临界值，若＞，或对应的伴随概率小于显著性水平，则拒绝原假设，认为模型存在异方差。White检验的适用条件与软件实现：White检验法不仅可以检验模型是否存在异方差性（无论何种类型的异方差），而且还可以在多变量的情况下对辅助回归模型的回归系数进行t检验，判断出异方差性与哪个或哪些解释变量有关。但此方法建立辅助回归模型包含的解释变量较多，自由度损失较大，因此在实际应用中通常要求数据为大样本。软件实现：对于Eviews9.0，在利用全部样本数据和OLS法估计回归方程窗口中,选择View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests，在Testtype中选择White，点击OK后可得到检验统计量的值和辅助回归方程。5.3异方差性的检验5.3.4Park检验法基本思想:以残差平方近似随机误差项的方差，建立残差平方关于某个解释变量幂函数形式的辅助回归模型，根据辅助回归模型的统计显著性判断原模型是否存在异方差性。Park检验步骤：用OLS法估计模型，得到残差建立残差平方

对某个解释变量

的幂函数辅助回归方程：

或者应用t或F检验法对辅助回归方程进行统计显著性检验，如果辅助回归方程能够通过检验，则表明原回归模型存在异方差性。

5.3异方差性的检验5.3.4Park检验法软件实现：对于Eviews9.0，在利用全部样本数据和OLS法估计回归方程窗口中,选择View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Harvey,在对话窗口Regressors中加入“clog(x)”,即可得到辅助回归方程和相关检验统计量值。Park检验法也可以直接应用于对多元回归模型的异方差性检验：利用OLS法估计被解释变量

关于所有解释变量的回归模型；在估计回归方程窗口中选择View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Harvey,在弹出的对话窗口Regressors中键入常数c和各解释变量的对数并以空格隔开。5.3异方差性的检验5.3.5Glejser检验法基本思想:

Glejser检验法的基本思想与White检验、Park检验大体相同，都是通过建立辅助回归模型检验异方差，其区别在于采用的辅助回归方程形式不同，它建立的是残差绝对值

关于某个解释变量

的各种函数形式的辅助回归。Glejser检验步骤：用OLS法估计模型，得到残差建立残差绝对值

对某个解释变量

的各种函数形式辅助回归方程：

，式中

取不同值并进行估计、检验方程，在一定显著性水平下，应用t或F检验法对某个辅助回归方程进行统计显著性检验，若拒绝相关原假设，则表明原模型存在异方差性。5.3异方差性的检验5.3.5Glejser检验法适用条件：Park检验和Glejser检验也要求大样本，它们不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能诊断异方差具体形式，即方差与某个解释变量之间的函数形式，可为后续修正异方差提供依据。软件实现：对于Eviews9.0，在利用全部样本数据和OLS法估计回归方程窗口中,选择View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Glejser,在对话窗口Regressors中加入“cx^h”,即可得到辅助回归方程和相关检验统计量值。Glejser检验法也可以直接应用于对多元回归模型的异方差性检验：利用OLS法估计被解释变量

关于所有解释变量的回归模型；在估计回归方程窗口中选择View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Harvey,在弹出的对话窗口Regressors中键入常数c和各解释变量的h次幂并以空格隔开。5.3异方差性的检验5.3.6ARCH检验法基本思想:在利用金融时间序列数据建立回归模型时，其随机误差项的方差往往不仅在不同时间上存在较大差异，而且在不同时间上还存在较强相关性，人们把这种现象称为模型中存在ARCH（AutoregressiveConditionalHeteroscedasticity自回归条件异方差）效应。ARCH效应检验方法由恩格尔（Engel）于1982年首先提出，该检验方法主要适用于大样本下的时间序列数据。对于回归模型如果成立，其中

独立同分布，并满足

,

即在

中存在不为0的情形，则认为回归模型存在异方差性。5.3异方差性的检验5.3.6ARCH检验法检验步骤：1.利用OLS法估计回归模型。2.建立辅助回归模型。利用OLS法估计残差平方

对滞后残差平方

进行回归，得到：3.提出假设。

；

至少有一个不为04.构建统计量。可以证明在

成立下，有

渐近地服从自由度为

的

分布，即5.判断。给定显著性水平

，查

分布表得到临界值

，若

＞

或对应的伴随概率表明回归模型存在ARCH效应，即存在异方差；反之，则表明回归模型不存在异方差性。5.3异方差性的检验ARCH检验软件实现在Eviews9.0中，可以利用如下两种方式进行ARCH检验：命令方式：archtest(

)菜单方式：（1）估计回归模型（2）在估计方程窗口选择View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\ARCH,输入检验阶数

（系统默认为1），点击OK。或者估计方程窗口点击Views/ResidualDiagnostic/CorrelagramSquaredResiduals,屏幕输出

与

的自相关系数和偏自相关系数，利用偏自相关系数大致判断回归模型是否存在ARCH效应。5.3异方差性的检验异方差性修正路径：根据异方差产生的原因，采取相应的措施。如增加重要的解释变量、改变模型的设定函数形式（如将线性模型转换为对数-线性模型）等，其中，在对数-线性模型中，对原变量取对数使得变量尺度缩小，由此估计模型得到的残差为相对误差，这些相对误差之间的差异往往比绝对误差的小，进而降低异方差程度；在查找不出具体产生原因时，可以采用模型变换法或加权最小二乘法，以消除或者缓解异方差。5.4异方差性的修正5.4.1模型变换法模型变换法是对存在异方差性的模型进行适当的变量变换，使之成为满足同方差假定的模型，再运用最小二乘法估计变换后的模型。模型变换法需要事先合理确定异方差性的具体形式，即

，一般地可以通过Park检验或者Glejser检验所提供的辅助回归结果加以确定。5.4异方差性的修正5.4.1模型变换法现以一元线性回归模型为例予以说明。若

，其中

为常数。用

除原模型式左右两端，则原模型式变换为：令则原模型变换为：易证，新模型的随机扰动项满足同方差性假定。5.4异方差性的修正5.4.2加权最小二乘法基本原理：加权最小二乘法是在原有残差平方

基础上加上权数

，使得加权的残差平方和即

最小，这样估计的参数

称为加权最小二乘估计，这种求解参数估计式的方法称为加权最小二乘法(WeightedLeastSquare，简称WLS)。5.4异方差性的修正5.4.2加权最小二乘法的权数为何将这种方法称为加权最小二乘法？权数

在加权最小二乘法计算中起到了什么样的作用？普通最小二乘法的基本原理是使残差平方和

最小，其对每一个样本点的残差均同等对待，赋予相同的权数1，这在同方差假定下是合理的；但在异方差下，对于不同的样本点，方差各不相同，方差越小，其样本值偏离总体回归线的幅度越小，样本点代表性越强，反之样本点代表性越弱，因此，在拟合存在异方差模型的回归线时，对不同的

应该区别对待。从样本角度而言，就是残差平方若越小，则在拟合回归线中作用越大，应赋予较大权数，而残差平方越大，作用越小，应赋予较小的权数，从而更好地反映

对残差平方和的影响，在估计模型时使

最小。5.4异方差性的修正5.4.2加权最小二乘法的权数实际中，权数一般可以采用OLS法下的残差绝对值（或残差平方）的倒数（

或

），也可以根据Park检验、Glejser检验的结果分别取

（Park检验结果）、

（判定系数最大时的Glejser检验结果）模型变换法与加权最小二乘法关系容易证明，模型变换法与加权最小二乘法实际上是等价的。5.4异方差性的修正加权最小二乘法的软件实现利用Eviews9.0软件，可以很便捷的得到相关运算结果。基本操作步骤为：第一步，利用LS命令或菜单方式估计回归方程。第二步，利用上述检验方法，判别估计模型是否存在异方差性。第三步，利用GENR生成权重变量。如

GENR

第四步，利用WLS法估计模型。

命令方式：LS(W=W1)YC解释变量

菜单方式：①在利用OLS法估计的方程窗口点Estimate按钮；②在弹出的方程说明中点击Option按钮；③在参数设置框中输入权重变量，点击ok返回方程对话框，再点击OK，系统将采用WLS法估计模型。5.4异方差性的修正5.5.1样本数据和模型设定2020年我国高技术制造业新产品开发经费支出及其销售收入如表5-1所示，试建立回归模型分析新产品销售收入与新产品开发经费支出的数量联系。

5.5案例分析……数据来源：《中国统计年鉴-2021》，中国统计出版社，2021.5.5.1样本数据和模型设定根据新产品开发经费支出X和新产品销售收入Y样本数据绘制的散点图（如图5-5），从散点图可以看出，新产品开发经费支出X和新产品销售收入Y大体上呈现出线性相关关系，因而设定理论模型为：

5.4案例分析5.5.2利用OLS法估计模型模型命令方式:LSYCX菜单方式：主菜单Quick/EstimateEquation，进入EquationSpecification窗口，在空白处键入“ycx”，点击ok，得样本回归估计结果，见图。由图可得到回归模型：

5.4案例分析5.5.3异方差性检验1.图示检验5.4案例分析Y对X的相关图对X的相关图G-Q检验对解释变量排序后，剔除中间5个观测值，选取样本1和样本2分别回归：计算F统计量，查F分布表得临界值为

，由于

F=

，故拒绝原假设，表明模型存在异方差。5.4案例分析3.White检验最小二乘法估计模型，命令为lsycx，得到图5-4估计结果，在方程窗口中点击view/residualdiagnostics/heteroskedasticitytests，进入异方差检验选择框，选择White检验，可得：由于

，故拒绝原假设，认为模型存在异方差。5.4案例分析4.Park检验用最小二乘法估计模型，命令为LSYCX得到回归方程窗口如图5-4估计结果，选择View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Harvey,在对话窗口Regressors中加入“clog(x)”,即可得到辅助回归方程和相关检验统计量值。5.4案例分析从图可以看出,辅助回归模型F统计量为12.1943,其伴随概率P为0.0028,小于显著性水平0.05,故拒绝原假