第十九章 几何证明 知识归纳与题型突破（21类题型清单）（原卷版）-A4

第页第十九章几何证明知识归纳与题型突破（21类题型清单）0101思维导图0202知识速记0303题型归纳题型一命题1．下列命题中，是真命题的是（

）A．对顶角相等 B．内错角相等C．若，则 D．若，则2．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（

）A． B． C． D．3．下列命题是真命题的有（）A．若，则B．若a，b是有理数，则C．内错角相等，两直线平行D．如果，那么与是对顶角巩固训练1．如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．下列四个命题其中正确的有（填序号）．①全等三角形的对应角相等；②，，，则；③，，，则和全等；④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．3．写出下列命题的条件和结论．(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；(3)等角的补角相等．题型二证明4．，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（）A．，， B．，， C．，， D．，，5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长(

)A．7 B．6 C．5 D．46．如图，直线、与直线相交，给出下列条件：①；②；③；④．能判断a∥b的是（

）．A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③巩固训练1．利用反证法证明命题“在ΔABC中，若，则”时，应假设

A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．如图所示，如果BD平分∠ABC，补上一个条件作为已知，就能推出AB∥CD．3．如图，现有以下3个论断：；；．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．题型三逆命题和逆定理7．下列各命题的逆命题成立的是（

）A．对顶角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是，那么这两个角相等8．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果，那么．下列命题中，具有以上特征的命题是（

）A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么9．已知下列命题：①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③直角三角形的两个锐角互余；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个巩固训练1．已知下列命题：①若，则；②若，则；③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④内错角相等，两直线平行其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个2．下列命题中，其逆命题成立的是（填序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形．③如果两个角是直角，那么它们相等；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；3．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．（1）若，则．（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等．（3）若，则．题型四线段垂直平分线的性质10．如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（）A． B．C． D．平分11．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（

）A． B． C． D．12．如图，边，的垂直平分线，相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．巩固训练1．A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（

）A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点2．如图，在中，，，，AB的垂直平分线分别交AB，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为．3．如图，在中，l是的垂直平分线，交于点D，，．(1)求的度数；(2)求的度数．题型五线段垂直平分线的判定13．如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（

）A．点是的中点 B．平分C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上14．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（

）A． B．C． D．15．如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．且巩固训练1．如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（

）

A． B．和相互垂直平分C．且 D．且平分2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为．3．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．

(1)若，，则；(2)若，求的度数；(3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上．题型六作垂线16．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（

）A．13 B．11 C．8 D．6.517．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（）A．6 B．7 C．8 D．918．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（）A．12 B．14 C．19 D．26巩固训练1．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接若，，则的周长为（

）A．12 B．11 C．10 D．92．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线，分别交边于点D和E，连接．若，，则的长为．3．已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法．(1)求作：线段的垂直平分线．(2)求作：，使，．题型七角平分线的判定与性质19．如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为20，则的面积为是（

）A．14 B．15 C．16 D．1820．如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则度数为（

）A． B． C． D．21．如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（

）A． B． C． D．巩固训练1．如图，在中，，平分，交于点．已知，，则的面积为（

）A． B． C． D．2．如图，是的角平分线，，，，的面积为14，则．3．如图，在中，．(1)尺规作图：作的角平分线，交于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）(2)若，，求的长及的面积．题型八作角平分线22．如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（

）A．12 B．16 C．24 D．3223．如图，中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（

）A． B． C． D．24．如图，在中，，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点M、N、再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点P，作射线交边于点D．若，则的面积为（

）A． B． C． D．巩固训练1．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线，交边于点D．则的度数为（）A． B． C． D．2．如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D，则°．3．如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图）题型九直角三角形全等的判定与综合25．如图，在中，于点，则的度数为（

）

A． B． C． D．26．如图，AD是的角平分线，于点，点E，G分别在AB，AC上，且，若，，则的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．627．如图，在中，，平分交于点，若的面积为10，的面积为6，则的面积为（

）A．2 B．2.5 C．3 D．4巩固训练1．中，，AD是边上的高，，点在上，交AD于点，，则（

）A． B． C． D．2．如图，点在上，，，．若．则．3．如图，在中，F是上的一点，，的延长线于点E，．(1)求证：．(2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由．题型十含30度角的直角三角形28．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作垂直交于点E，，则的长度为（

）A．7 B．9 C．8 D．1029．如图，在中，平分，交边上的高于点．已知，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．530．中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（

）A． B． C． D．巩固训练1．如图，，点D是平分线上一点，过点D作交于点E，作，垂足为点F，，则DE的长为（

）

A．7 B．3.5 C．7.5 D．52．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为．3．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．(1)当为何值时，为等边三角形？(2)当为何值时，为直角三角形？题型十一斜边的中线等于斜边的一半31．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（

）A．11 B．12 C．12.5 D．1432．如图，在中，的中垂线与交于点，与交于点，连接，为的中点，若，则的长为（

）A． B． C． D．33．如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为（

）A． B． C． D．巩固训练1．如图所示，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，A随之在OM上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点D到点O的最大距离为（

）A． B． C． D．2．如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为．3．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长度．题型十二勾股定理的证明方法34．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）A． B． C． D．35．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C． D．36．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（

）A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确巩固训练1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（

）A． B．C． D．2．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即+=，化简得：．3．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么．(1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________．(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明．题型十三以弦图为背景的计算题37．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（

）A．25 B．19 C．13 D．16938．如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（

）①；②；③；④A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④39．“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为．巩固训练1．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（

）A．20 B．24 C．36 D．482．如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为．3．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是；(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．题型十四勾股定理与网格问题40．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（

）．

A．2 B． C．3 D．41．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（

）．

A． B． C． D．42．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个巩固训练1．如图所示边长为1的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（

）A． B．2 C． D．2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2，其中正确的是．（填序号）3．（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上；（2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为；（3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和．题型十五用勾股定理解三角形43．如图，，，，，点在线段上，若，则的面积是（

）A． B． C． D．44．如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（

）．

A．56 B．66 C．74 D．8445．如图，在中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为1，之间的距离为2，则的值为（

）A． B． C． D．巩固训练1．如图，直线l上有三个正方形a，b，c．若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（

）A．6 B．16 C．4 D．552．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，连接CE，则CE的长是．

3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长．(1)求的长；(2)求的长．题型十六勾股定理与折叠问题46．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（

）A． B． C． D．47．如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（

）．A．10 B． C．8或 D．10或48．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（）A． B． C． D．巩固训练1．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(

)A．6 B．10 C．24 D．482．如图，在直角中，直角边，现要在上找一点D，使得将沿翻折后，点C落在斜边上，则．

3．如图，，宽的长方形纸片；将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处，解答下列问题：(1)求的长；(2)求的长．题型十七勾股定理的应用149．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（

）A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米50．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（

）

A． B．C． D．51．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（）A．米 B．米 C．米 D．米巩固训练1．一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（

）A．米 B．米 C．1米 D．2米2．如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高m．3．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？题型十八勾股定理的应用252．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，在中，，求的长，如果设，则可列方程为（

）A． B．C． D．53．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（

）A． B．C． D．54．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（

）

A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒巩固训练1．《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（

）

A． B．C． D．2．如图，有一个长方体盒子，其长、宽、高分别是、、，则该长方体盒子内可放入的木棒（木棒的粗细忽略不计）的长度最长是．3．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动．(1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？题型十九勾股定理的逆定理55．如图，已知．则的度数为（

）A． B． C． D．56．若的三边长分别为则的面积为（

）A． B． C． D．57．下列条件能判定是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．巩固训练1．中，、、所对的边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（

）A． B．C． D．2．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，．(1)________；(2)记的面积为，的面积为，则的值为________．3．如图，在一块直角三角形（）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，，，求绿地的面积．

题型二十最短路径问题58．如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．1059．如图，在长方体中，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（

）A． B． C． D．1060．如图，要在河边l