2023年中考数学真题解析第压轴题

【史上最全的】中考数学真题解析第120_

压轴题4

一、选择题

1.（•台湾34,4分）如图1,有两全等的正三角形ABC,DEF,且D,A分别为△ABC,ADEF

的重心.固定D点，将4DEF逆时针旋转，使得A落在上，如图2所示.求图1与图2中,

两个三角形重迭区域的面积比为何（）

图1图2

A.2:1B.3:2C.4:3D.5:4

考点：旋转的性质；等边三角形的性质。

分析：设三角形的边长是x,则（1）中阴影部分是一种内角是6（）。的菱形，图（2）是个角

是30°的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解.

解答：解：设三角形的I边长是x,则高长是.

图（1）中，阴影部分是一种内角是60°的菱形,AD=X=.

另一条对角线长是：2XXsin3（）°=x.

则阴影部分的面积是：Xx-x=x2；

图（2）中,AD=X=.

是一种角是30°的直角三角形.

则阴影部分的面积=AD-sin30°・AD・cos30°=Xx・XXx・x2.

两个三角形重迭区域『、J面积比为：x2:x2=4:3.

故选C.

点评：本题重要考察了三角形的重心的性质，以及菱形、直角三角形面枳的计算，对的计算

两个图形的面积是处理本题的关键.

2.（台湾，34,4分）如图1表达一种时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一

点A,且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分.如图2,

若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点

距桌面的高度为多少公分（）

图1图2

A.B.16+nC.18D.19

考点：解直角三角形的应用；钟面角。

专题：几何图形问题。

分析：根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10公分得出AD

=10,进而得出A'C=16,从而得出A'A=3,得出答案即可.

解答：解：•・•当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10公分.

AAD=10,

•・•钟面显示3点45分时,A点距桌面的高度为16公分,

:・A'C=16,

AAO=A/00=6,

则钟面显示3点50分时，

NA'OA=30°,

A'A=3,

AA点距桌面的高度为：16+3=19公分，

故选:D.

点评：此题重要考察理解直角三角形以及钟面角，得出/A'OA=30°,进而得出A'A=

3,是处理问题的关键.

3.(•贺州)如图，在梯形ABCD中,AB〃CD,AB=3CD,对角线ACBD交于点O,中位线

EF与AC.BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的()

考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理》

分析：首先根据梯形的中位线定理，得到EF〃CD〃AB,再根据平行线等分线段定理，得到

M,N分别是AD.BCII勺中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF,最终根据

梯形面积求法以及三角形面积公式求出，即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD面积面

积比.

解答：解：过点D作DQJ_AB,交EF于一点W,

〈EF是梯形的中位线，

・・.EF〃CD〃AB,DW=WQ,

JAM二CM,BN=DN.

AEM=CD,NF=CD.

AEM=NF,

VAB=3CD,设CD=x,・・・AB=3x,EF=2x,

AMN=EF-(EM+FN)=x,

ASAAME+SABFN=XEMXWQ+XFNXWQ=(EM+FN)QW=x・QW,

S梯形ABFE=(EF+AB)XWQ=QW,

SADOC+SAOMN=CDXDW=xQW,

S梯形FECD=(EF+CD)XDW=xQW,

・•・梯形面积:

ABCDxQW+xQW=4xQW.

图中阴影部分日勺面枳=x*QW+xQW=xQW,

・••图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=.

故选：C.

点评：此题考察了三角形中位线定理、平行线等分线段定理和梯形的中位线定理和梯形面积

与三角形面积求法，解答时要将三个定理联合使用，以及得出各部分对应关系是处理问

题的关键.

4.（贵州毕节，13,3分）如图，已知AB=AC,ZA=36°,AB的中垂线MD交AC

于点D、交AB于点M。下列结论：①BD是NABC的平分线；②△BCD是等腰三角

形；©AABC^ABCD；©AAMD^ABCD,

对的的有（）个

A.4B.3C.2D.1

4

BC

考点：相似三角形的鉴定；全等三角形的鉴定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的

鉴定与性质。专题：几何综合题。

分析：首先由AB的中垂线MD交AC于点D.交AB于点M,求得aABD是等腰三角形，即

可求得NABD的度数，又由AB=AC,即可求得NABC与NCII勺度数，则可求得所有角的度

数，可得4BCD也是等腰三角形，则可证得AABCs/XBCD.

解答：解：YAB的中垂线MD交AC于点D.交AB于点M,・・・AD=BD..・・NABD=NA=36°,

VAB=AC,/.ZABC=ZC=7205AZDBC=ZABC-ZABD=36°,

•••/ABD二NCBD,・・・BD是NABC的平分线；故①对时；.'.ZBDC=I8O°-ZDBC-Z

C=72°,.\ZBDC=ZC=72°,AABCD是等腰三角形，故②对的;VZC=ZC,ZBDC=

NABC=72°,•••△ABCs/XBCD,故③对的；;△AMD中，ZAMD=90°,Z\BCD中没有

直角，.••△AMD与ABCD不全等，故④错误.故选B.

点评：此题考察了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及相似三角形口勺鉴定与性

质等知识.此题综合性较强，但难度不大，解题H勺关键是注意数形结合思想的应用.

5.（河北，12,3分）根据图1所示的1程序，得到了y与x的函数图象，如图2.若点M是

y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ〃x轴交图象于点P,Q,连接OP,OQ.则如下结

论：

®x<0时，

②AORQH勺面积为定值.

③x>0时,y随x的增大而增大.

④MQ=2PM.

⑤NPOQ可以等于90°.其中对的结论是（)

输入非零数X

1图2

/辎出y/

图I

A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.⑤

考点：反比例函数综合题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特性；三角形的

面积。

专题：推理填空题。

分析：根据题意得到当xV()时,y=—，当x>0时,y=，设P(a,b),Q(c,d),求出ab

=-2,cd=4,求出△OPQII勺面积是3；x>0时,y随x的增大而减小；由ab=-2,cd=4得

到MQ=2PM；由于NPOQ=90°也行，根据结论即可判断答案.

解答：解：①.xV0,y=一，，①错误；

②.当xVO时,y=一,当x>0时,y=,

设P(a,b),Q(c,d),

则ab=—2,cd=4,

•••△OPQ的面积是(-a)b+cd=3,・••②对附

③.x>()吐y随x/、J增大而减小，，③错误；

④.・・・ab=-2,cd=4,・••④对口勺：

⑤.由于NPOQ=90°也行，，⑤对W、J；

对的时有②④⑤，

故选B.

点评：本题重要考察对反比例函数的性质，反比例函数图象上点H勺坐标特性，三角形的面积

等知识点R勺理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题H勺关健.

6.（黑龙江省黑河，20,3分）如图，在RtZkABC中,AB=CB,BO_LAC,把△ABC折

叠.使AB落在AC匕点R与AC卜的点E重叠.展开后，折痕AD交BO于点F,连接

DE、EF.下列结论：@tanZADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将4DEF沿EF折叠,

则点D不一定落在AC上；@BD=BF：⑤S四边形DFOE=SaAOF,上述结论中对时的个

数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形日勺鉴定与性质；锐角三角函数H勺定义。

【专题】几何综合题，

【分析】根据折登的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的I鉴定，面积的计算判断所

给选项与否对的即可.

【解答】解：①由折直可得BD=DE,而DC>DE,・・・DC>BD,・・・[anNADB#2,故①错

误；

②图中W、J全等三角形有△ABFgaAEF,AABD^AAED,AFBD^AFED,AAOB^

△COB共4对，故②对的；

③•・^NAEF=NDEF=45°,・•・将△DEF沿EF折登，可得点D一定在AC上，故③错误;

④易得NBFD二NBDF=67.5°,・・・BD;BF,故④对附

⑤连接CF,•••△AOF和acOF等底同高，

ASAAOF=SACOF,

VZAEF=ZACD=45<,,

・・・EF〃CD,

.*.SAEFD=SAEFC,

AS四边形DFOE=SACOF,

AS四边形DFOE=SAAOF,

故⑤对"勺；

对的山、J有3个，

故选C.

【点评】综合考察了有折苴得到的有关问题：注意由对称也可得到一对三角形全等；用到的1

知识点为：三角形口勺中线把三角形提成面积相等的2部分；两条平行线间口勺距离相等.

7.(黑龙江牡丹江,20,3分)如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点

O作射线OM、ON分别交AB.BC于点E、F,且NEOF=90°,BO、EF交于点P.则下列

结论中：

(1)图形中全等的三角形只有两对；

(2)正方形A8C。的面积等于四边形。仍/面积的4倍；

(3)BE+BF^iOAx

(4)AE2+CF2=2OP*OB,对H勺H勺结论有()个.

A.lB.2C.3D.4

考点：正方形的性质；全等三角形的鉴定与性质；勾股定理；相似三角形的鉴定与性质。

分析：本题考察正方形的I性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分,

且平分每一组对角.

解答：解：（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对.故（1）错误.

（2）△CRE的面积和△OFC的面积相等，故正方形ARCD的面积等于四边形OFRF面积

的4倍，故（2）对的.

（3）BE+BF是边长，故BE+BF=OA是对的附

（4）由于AE=BF,CF=BE,故AE2+CF2=2OP-OB是对酶.

故选C.

点评：本题考察了正方形的性质，全等三角形的鉴定和性质，以及勾股定理和相似三角形的

鉴定和性质等.

二、填空题

1.（内蒙古呼和浩特,16,3）如图所示，在梯形ABCD中,AD〃BC,CE是NBCD的平分线，且

CE_LAB,E为垂足,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,则梯形ABCD的面积为

考点：相似三角形的鉴定与性质；三角形的面积；等腰三角形的鉴定与性质；梯形.

分析：首先延长BA与CD,交于E即可得△FADs^FBC与△BCEgZ\FCE,然后SA

FAD二x,即可求得SAFBC=16x,SABCE=SAFEC=8x,S四边形AECD=7x,又由四边形

AECD日勺面积为1,即可求得梯形ABCD日勺面积.

解答：解：延长BA与CD,交于F,\・AD〃BC,••.△FADs/XFBC,是NBCD的平分

线，

AZBCE=ZFCE,VCE±AB,AZBEC=ZFEC=90°,EC=EC,/.ABCE^AFCE

(ASA),

••・BE二EF,・「BE=2AE,♦・.BF=4AF,设SaFAD=x,

ASAFBC=l6x,/.SABCE=SAFEC=8x,JS四边形AECD=7x,.・•四边形AECDH勺面积为

1,

A7x=l,Ax=，，梯形ABCD的面积为：SZ\BCE+S四边形AECD=15x=.

故答案为：.

点评：此题考察了梯形的性质，相似三角形的性质与鉴定，全等三角形II勺鉴定与性质等知识.

此题综合性很强，解题日勺关键是方程思想与数形结合思想的应用.

2.(四川凉山，17,4分)已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上，若DE=3,连

接BE与对角线AC相交于点M,则时值是.

考点：相似三角形的落定与性质；菱形的性质.

专题：几何图形问题；分类讨论.

分析:首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上,

然后由菱形口勺性质可得AD〃BC,则可证得△MAEs/XMCB,根据相似三角形口勺对应边成

比例即可求得答案.

解答：解：•・•菱形ABCD的边长是8,，AD=BC=8,AD〃BC,

如图1：当E在线段AD上时，・・.AE=AD—DE=8—3=5,

AAMAE^AMCB,A：

如图2,当E在ADH勺延长线上时，・・.AE=AD+DE=8+3=11,

.••△MAES/XMCB,J.

:,时值是或.

故答案为：或.

点评：此题考察了菱形口勺性质，相似三角形的鉴定与性质等知识.解题的关键是注意此

题分为E在线段AD上与E在ADH勺延长线上两种状况.小心不要湘解.

3.(重庆江津区，20,4分)如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD,其中A(0,0),

B(8,0),D(0,4),若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处.则E点的

考点：翻折变换(折叠问题)；坐标与图形性质。

专题：探究型。

分析：设E(X,y),连BE,与OB交于E,作EF1AB,由面积法可求得BG的长，在

RtZXAEF和RtaEFB中，由勾股定理知：AF=AE-EF=BE-BF，解得x时值，再

求得丫的值即可

解答：解：连接BE,与AC交于G作EF_LAB,

VAB=AE,NBAC=NEAC,

AAAEB是等腰三角形,AG是BE边上的面，

AEG=GB,EB=2EG

BG===,

设D(x,y),则有:OD-OF=AD-AF,AE-AF=BE-BF即:

8-x=(2BG)-(8-x),

解得:x=,

y=EF=,

・・・E点的坐标为：.

点评：本题考察的是图形内翻折变换，波及到勾股定理，等腰三角形的鉴定与性质，根据题

意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键.

4.(湖北荆州，16,3分)如图，双曲线y=2x(x>0)通过四边形OABC的顶点A、C,

ZABC=90°,OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB〃x轴.将△ABC沿AC翻折后得

AB'C,B'点落在OA上，则四边形OABC的1面积是2.

考点：反比例函数综合题；翻折变换(折叠问题).

专题：计算题.

分析：延长BC,交x轴于点D,设点C(x,y),AB=a,由角平分线H勺性质得,CD=CB',则

△OCDgZXOCB',再由翻折的性质得,BC=B'C,根据反比例函数的性质，可得出

OCD=12xy,贝iJSZ\OCB'=12xy,由AB〃x轴，得点A(x-a,2y),由题意得2y(x-a)=2,

从而得出三角形ABCII勺面积等于12ay,即可得出答案.

解答：解：延长BC,交x轴于点D,

设点C(x,y),AB=a,

VOC平分OA与X轴正半轴的夹角,

，CD=CB',△OCD^AOCB,,

再由翻折的性质得,BOB'C,

•・•双曲线y=2x(x>0)通过四边形OABC曰勺顶点A.C,

/.SAOCD=12xy=l,

ASAOCB;=I2xy=l,

•・・AB〃x轴,

•—A(x-a,2y),

2y(x-a)=2,

..ay=1,

ASAABC=12ay=12,

.,.SOABC=SAOCB,+SAABC+SAABC=1+12+12=2.

故答案为:2.

点评：本题是一道反比例函数的综合题，考察了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分

线的性质，是中考压轴题，难度偏大.

5.(•贵港)若记y=f(x)=,其中f(1)表达当x=l时y的值，即f(l)==；f()

表达当x=时y时值，即f()=；•••；则f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f

()+f()=.

考点：分式附加减法。

专题：新定义。

分析：此题需先根据y=flx)=,再把x的值代入，得H成果，再找出规律，即可得出成果.

解答：解：・・・y=f(x)=,

Af(1)+f(2)+f(|)+f(3)+f(|)+…+fO+f(2^1)

41

4+-+-201121

552+L,.

10101+201121+20112

4+2011

故答案为：.

点评：此题考察了分式附加减，解题时要根据已知条件产f(x)=,把各个数代入，找出其

中的规律是本题H勺关键，解题时要细心.

三、解答题

1.（•江苏徐州，28,12）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y

轴交于点P,顶点为C（1,-2）.

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C有关x轴的对称点D,顺次连接A,C,B,D.若在抛物线上存在点E,使直线PE

将四边形ABCD提成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在（2）日勺条件下，抛物线上与否存在一点F,使得4PEF是以P为直角顶点口勺直角三

角形？若存在，求出点F内坐标及4PEF的面积：若不存在，请阐明理由.

考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）将顶点坐标C（l,-2）代入y=x2+bx+c即可求得此二次函数的关系式；

（2）先求出直线PMH勺解析式，然后与二次函数联立即可解得点EW、J坐标；

（3）根据三角形相似11勺性质先求出GP二GF,求出F点"勺坐标，进而求得4PEF的面积

解答：解（1）:y=x2+bx+c的顶点为（1,-2）.

/.y=（x-1）2-2,y=x2-2x-1；

（2）连结CD交AB于点M,

根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,AB±CD,

因此四边形ACBD是菱形，

过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分，

因此直线PM平分菱形ACBD的面积

由于y=与y相交于点P（0,—1）,顶点为点C（1,—2）

因此点M的坐标为（1,0）

设直线PM日勺解析式为y=kx+b

则，解之得

因此直线PM日勺解析式为y=x-l

解方程组，得或

因此点E的坐标为（3,2）.

(3)过点P作直线PQ_LPM,则直线PQ的体现式为y=-x-l

解方程组，得或

因此直线PQ与抛物线的交点F是抛物线的顶点C(1,-2).

因止匕PE=7(3-0)2+(2+1)2=3>/3,PC=7(1-0)2+(-2+1)2=&

因此△PEF的面积为Lx3bx夜二」而

22

点评：本题是二次函数的综合题，其中波及时到日勺知识点有抛物线的公式依J求法及三角形的

相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运川，同

学们要加强训练,属于中等题.

2.(江苏淮安，28,12分)如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点P在

AB上，AP=2.点E、F同步从点P出发，分别沿PA.PB以每秒1个单位长度的速度向点

A.B匀速运动，点E抵达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止,

点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线

段AB欧J同侧，设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与AABC重叠部分面积

为S.

⑴当t=l时，正方形EFGH的边长是；当t=3时，正方形EFGH的边长

是；

(2)当0VtW2时，求S与t的函数关系式；

(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时,S最大？最大面积是多少？

考点：相似三角形的鉴定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。

专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。

分析：（1）当时t=l时，可得，EP=1,PF=1,EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3

时,PE=1,PF=3,即EF=4；

（2）正方形EFGH与AABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分

别解答：①当OV【W时；②当VIS时；③当VIW2时；依次求S与tH勺函数关系式；

（3）当t=5时，面积最大：

解答：解：（1）当时t=l时，则PE=1,PF=1,/.正方形EFGH的边长是2；当t=3时,PE=1,

PF=3,・•・正方形EFGH的边长是4；

（2）:①当OVtW时，S与t的函数关系式是y=2tX2t=4l2；

②当VtW时，S与I的函数关系式是：y=4t2-[2l-（2-1）]X[2t-（2-（）]=

-t2+llt-3；

③当gvg时；S与t的函数关系式是y=2（t+2）（t+2）-J（2-t）（2-t）=3t；

（3）当t=5时，最大面积是：S=16-XX=；

点评：本题考察了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了

学生运用综合知识解答题目的能力.

3.（江苏连云港，28,12分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如

下结论：

（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上日勺对应高之比；

（2）有一种角应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角H勺两边乘积之比;

现请你根据对■下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论.（S表达面积）

问题1:如图I,既有一块三角形纸板ABC,P1,P2三等分边AB,R1,R2三等分AC.经探究S

四边形P1R1

R2R2=S4ABC,5证明.

问题2:若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的Z\ABC拼合成四边形ABCD,如图2,

QLQ2三等分边DC.请探究S四边形P1Q1Q2P2与S四边形ABCD之间口勺数最关系.

问题3:如图3,Pl,P2,P3,P4五等分边AB,QI,Q2,Q3,Q4五等分边DC.若S四边形ABCD=1,

求S四边形P2Q2Q3P3.

问题4:如图4,Pl,P2,P3四等分边AB,QI,Q2,Q3四等分边DC,P1Q1,P2Q2T3Q3将四边形

ABCD提成四个部分，面积分别为SI,S2,S3,S4.请直接写出具有SI,S2,S3,S4的一种等式.

考点：三角形的面积。

分析：问题1,图1中，连接P1R2,R2B,由三角形中线的性质得SAAP1R1=SA

P1R1R2,SAP1R2P2=SAP2R2B,再由RI,R2为AC的|三等分点，得SABCR2=SA

ABR2,根据图形的面积关系，得SAABC与S四边形P1P2R2R1的数量关系，证明结

论；

问题2,图2中，连接AQ1,Q1P2,P2C,由三角形的中线性质，得SAAQ1P1=SA

PIQ1P2,SAP2Q1Q2=SAP2Q2C,由QI,P2为CD,AB的三等分点可知，S^ADQ1=S

△AQ1C,SABCP2=SAAP2C,得出SZXADQI+SABCP2与S四边形AQICP2的关系,

再根据图形口勺面积关系，得S四边形ABCD与S四边形P1Q1Q2P2的等量关系；

问题3,图3中，依次设四边形的I面积为Si,S2,S3,S4,S5,由问题2日勺结论可推出

2S2=S1+S3,2s3=S2+S4,2s4=S3+S5,三式相加，得S2+S4=S1+S5,运用换元法求

S1+S2+S3+S4+S5与S3的数量关系，已知S四边形ABCD=1,可求S四边形P2Q2Q3P3；

问题4,图4中，由问题2的结论可知,2S2=S1+S3,2S3=S2+S4,两式相加得SI,S2,S3,S4II勺

等量关系.

解答：解：问题1,证明：

如图1,连接P1R2,R2B,在△AP1R2中,〈PIR为中线，・・.S2\AP1R1=SZ\P1R1R2,

同理SAP1R2P2=SAP2R2B,

.\SAP1R1R2+SAP1R2P2=S4ABR2=S△四边形P1P2R2R1,

由RI,R2为AC的三等分点可知,SABCR2=SAABR2,

/.S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四边形P1P2R2R1-2S四边形P1P2R2R1=35四边形

P1P2R2R1,

AS四边形P1P2R2RI二ABC；

问题2,S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2.

理由:如图2,连接AQ1,Q1P2,P2C,在AAQIPZ中，・.・Q1P1为中线,

/.SAAQ1P1-SAP1Q1P2,同理SAP2Q1Q2-SAP2Q2C.

/.SAP1Q1P2+SAP2QIQ2=S四边形AQ1CP2=S四边形PIQIQ2P2,

由Q1,P2为©口/8时三等分点可知,54人》(^=SAAQ1C,SABCP2=SAAP2C,

/.SAADQI+SABCP2=(SAAQIC+SAAP2C)=S四边形AQ1CP2,

AS四边形ABCD=SAADC+SAABC=S四边形AQ1CP2+SAADQ1+SABCP2=3S四边形

P1Q1Q2P2,

BPS四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2p2;

问题3,解：

如图3,由问题2的结论可知，3s2=S1+S2+S3,即2s2=S1+S3,同理得2s3=S2+S4,

2S4=S3+S5,

三式相加得，S2+S4=S1+S5,

・・・S1+S2+S3+S4+S5=2(S2+S4)+S3=2X2S3+S3=5S3,

即S四边形P2Q2Q3P3=1s四边形ABCD=g;

图4

问题4,如图4,关系式为:S2+S3=S1+S4.

点评：本题考察了三角形面积问题.关键是运用三角形的中线把三角形分为面积相等的两

个三角形的性质进行推理.

4.（江苏南京，28,11分）【问题情境】

已知矩形的面积为a（a为常数，a>0）,当该矩形的长为多少时，它打勺周长最小？最小值是

多少？

【数学模型】

设该矩形的)长为X,周长为y,则y与X的函数关系式为y=2(x+)(x>0).

【探索研究】

(1)我们可以借鉴此前研究函数的经验，先探索函数y=x+(x>0)的图象和性质.

①2_11234

432

填

写

下

表

画

出

函

数

的

图

象

*

X

y••・・•・

②观测图象，写出该函数两条不一样类型的性质；

③在求二次函数产ax2+B“c(aWO)的最大(小)值时，除了通过观测图象，还可以通过配

方得到.请你通过配方求函数y=x+（x>0）的最小值.

【处理问题】

（2）用上述措施处理“问题情境”中的问题，直接写出答案.

考点：反比例函数的性质；完全平方公式；配措施的应用；一次函数的性质；二次函数的最

值。

专题：计算题。

分析：（1）①把x的I值代入解析式计算即可；②根据图象所反应的特点写出即可；③根据

完全平方公式（a+B）2=a2+2aB+B2,进行配方即可得到最小值；

（2）根据完全平方公式S+B）2=a2+2aB+B2,进行配方得到y=2[+2],即可求出答案.

解答：解：（1）①故答案为：，，，2,,,.

函数产x+的图象如图：

②答：函数两条不一样类型口勺性质是：当OVxVl时,y随x的）增大而减小，当x>l时,y随

xf月增大而增大；当x=lE寸，函数y=x+（x>0）H勺最小值是1.

③解:y=x+=,

=+2,

当=0,即x=l时，函数户x+（x>0）日勺最小值是2,

答：函数y=x+（x>0）的最小值是2.

（2）答：矩形的面积为a（a为常数，a>0）,当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值

是4.

点评：本题重要考察对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配措施的应用,

一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能纯熟地运用学过的性质进行计算是解此题的关

键.

5.(•南通)如图，直线I通过点A(L0),且与双曲线y=(x>0)交于点B(2,1),

过点P(p,p-1)(p>l)作x轴的平行线分别交曲线y=(x>0)和y=-GVO)

于M,N两点.

(1)求〃?时值及直线/的解析式；

(2)若点P在直线y=2上，求证：△PMBS/\PNA；

(3)与否存在实数p,使得SZ\AMN=4SZ\APM?若存

在，祈求出所有满足条件的p的值；若不存在，请阐明理由.

(第2S题)

考点：反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的鉴定与性质。

专题：计算题。

分析：(1)将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线1的解析式为y=kx+b,再把点A.B

的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线1的解析式；

(2)根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMBSZ\PNA即可；

(3)先假设存在，运用SAAMNMSAAMP,求得p时值，看与否符合规定.

【解】(1)•・•点B(2,1)在双曲线丫=上，・,・.得m=2.

设直线I的解析式为y=E+b

•・•直线1过A(l,。)和B(2,I),，解得

直线I的解析式为_y=A-1.

(2)证明：当x=p时,y=p—l,点P(p,p—l)(p>l)

在直线I上，如右图.

VP(p,p-1)(p>l)在直线y=2上，・・・p

-1=2,解得p=3・・・P(3,2)

•・・PN〃x轴，・・・P、M、N的纵坐标都等于2

把y=2分别代入双曲线丫=和丫=，解答：得M(1,2),N(-1,2)

:.,即M是PNW、J中点，

同理：B是PA啊中点，・・・BM〃AN，Z\PMBsZ\PNA.

(3)由于PN〃x轴,P(p,p-1)(p>l),

・・・M、N、P的纵坐标都是〃-I(p>l)

把y=p-1分别代入双曲线y=(x>0)和y=—(x<0),

22

得M的横坐标工=一二和NH勺横坐标工=一一二(其中〃>1)

•・・S4AMN=4SZ\APM且P、M、N在同一直线上，，，得MN=4PM

即=4(见(3)两幅图)整顿得:p2-p-3=O或p2—p-l=O⑶产在延长线上

解得:p=或p=由于p>I,・••负值舍去，p=或

经检杳p=和是原题口勺解，，存在实数p,使得SZ\AMN=4SZ\APM,

22

⑶/M碗长线上

点评：本题考察的知识点是反比例函数的综合题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函

数的解析式，相似三角形的鉴定和性质.

6.(江苏苏州，29,10分)巳知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点

A.R,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

(1)如图①.连接AC,将AOAC沿直线AC翻折，若点O的|对应点0,恰好落在该抛物线

的对称轴上，求实数a的值；

(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边

EF的右侧.小林同学通过探索后发现了一种对的I的命题：“若点P是边EH或边HG上的

任意一点，则四条线段PA.PB.PC.PD不能与任何一种平行四边形的四条边对应相等(即这

四条线段不能构成平行四边形).“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚刚的结论与

否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标1是不小于3时常数，试问：与

否存在一种正数阿a,使得四条线段PA.PB.PC.PD与一种平行四边形的四条边对应相等(即

这四条线段能构成平行四边形)？请阐明理由.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)本题需先求出抛物线与K轴交点坐标和对称轴,再根据NOAC=60°得出AO,

从而求出a.

(2)本题需先分两种状况进行讨论,当P是EF上任意一点时,可得PCAPB,从而得出PB

PBWPC,PBW尸D即可求出线段PA.PB.PC.PD不能构成平行四边形.

(3)本题需先得出PA=PB,再由PC=PD,列出有关I与。"勺方程,从而得出。的值,即可

求出答案.

解答:解:(1)令)=0,由解得：

令x=0,解得y=8a.

・••点A.B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a),

该抛物线对称轴为直线x=3.

AOA=2.

如图①，时抛物线与x轴交点为M,则AM=1.

由题意得：.

・•・,AZO,AM=60°.

:.,即.:..

(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立.

(I)如图②，设点P是边EF上的任意一点(不与点E重叠)，连接PM.

•・,点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上，点C在y轴上,

APB<4,PC>4,APC>PB.

又PD>PM>PB,PA>PM>PB,

PBWPA,PBNPC,PBKPD.

・•・此时线段PA.PB.PC.PD不能构成平行四边形.

(II)设P是边FG上的I任意一点(不与点G重叠)，

•・•点F的坐标是(4,3),点G的坐标是(5,3).

，FB=3,,，3WPB<.

：PC24,JPOPB.

(3)存在一种正数a,使得线段PA、PB.PC能构成一种平行四边形.

如图③，丁点A.B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，

.*.PA=PB.

・•・当PC=PD时,线段PA.PB.PC能构成一种平行四边形.

•・•点C的坐标是(0,8a),点DH勺坐标是(3,-a).

点P日勺坐标是(3,t),

••・PC2=32+(t-8a)2,PD2=(t+a)2.

整顿得7a2-2ta+1=0,/.A=4t2~28.

Vt是一种常数且t>3,/.A=4(2-28>0

・•・方程7a2—2ta+l=0有两个不相等的实数根.

显然，满足题意.

•・♦当t是一种不小于3日勺常数,存在一种正数，使得线段PA.PB.PC能构成一种平行四

边形.

点评:本题重要考察了二次函数的综合问题,在解题时要注意运用数形结合和分类讨论,把

二次函数的图象与性质和平行四边形的鉴定相结合是本题的关键.

7.(•江苏宿迁，28,12)如图，在RtZ^ABC中，ZB=90°,AB=1,BC=,以点C为

圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E.

(1)求AE的长度;

(2)分别以点A.E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F(F与C在AB两侧)，连接

AF、EE设EF交弧DE所在时圆于点G连接AG试猜测NEAGH勺大小，并阐明理由

考点：相似三角形的鉴定与性质；勾股定理。

专题：证明题。

分析：(1)根据在RtAABC中运用勾股定理求得AC,根据BC=CD.AE=AD求得AE=AC

-AD即可.

(2)根据FA=FE=AB=1,求得AE可得4FAE是黄金三角形求证△AEGS/\FEA可得N

EAG=ZF=36°.

解答：解：(1)在RtZ\ABC中，由AB=1,BC=,

得m=/+少=手

VBC=CD,AE=AD

/.AE=AC—AD=.

(2)NEAG=36°,理由如下：

VFA=FE=AB=LAE=

•.•AE—_45-\

FA2

是黄金三角形

AZF=36°,ZAEF=72°

VAE=AG,FA=FE

/.ZME=N尸E4=NAGE

/.AAEG^AFEA

/.ZEAG=ZF=36°.

点评：本题考察了勾股定理在直角三角形中口勺应用，考察了相似三角形依J证明和性质，本题

中求证三角形相似是解题的关键.

8.（•泰州，28,12分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为不小于。的常数）的正

方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正

半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包括原点O）,顶点C、D都在第一象限.

（1）当/BAO=45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在NAOB的

平分线上；

（3）设点P到x轴的|距离为h.试确定h的取值范围，并阐明理由.

考点：正方形的I性质；坐标与图形性质；全等三角形的鉴定与性质；解直角三角形。

专题：几何动点问题；几何综合题。

分析：（1）当NBAO=45。时，由于四边形ABCD是正方形,P是AC,BD对角线的交点，能

证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标.

（2）过P点做x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线.

（3）由于点P在NAOBH勺平分线上，因此h>0.

解答：解:(1)VZBPA=90°,PA=PB,

AZPABM50,

VZBAO=45°,

AZPAO=90°,

・•・四边形OAPB是正方形,

（2）作PE_Lx轴交x轴于E点、作PF_Ly轴交y轴于F点，

VZBPE+ZEPA=90°,ZEPB+ZFPB=90°,

AZFPB=ZEPA,

VZPFB=ZPEA,BP=AP,

.,.△PBF^APAE,

/.PE=PF,

•••点P都在NAOB11勺平分线上.

（3）由于点P在NAOBH勺平分线上，因此h＞（）.

点评：本题考察里正方形的性质，四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一

组对角，以及坐标与图形内性质，全等三角形的鉴定和性质，解直角三角形等知识点.

9.（盐城,28,12分）如图，己知一次函数产一x+7与正比例函数y=的图象交于点A,且与

x轴交于点B.

（1）求点A和点8的坐标；

（2）过点A作AC±y轴于点C,过点B作直线l〃y轴.动点P从点O出发，以每秒1

个单位长日勺速度，沿O-C-A曰勺路线向点A运动；同步直线1从点B出发，以相似速度向

左平移，在平移过程中，直线1交x轴于点R,交线段BA或线段A0于点Q当点P抵达点

A时，点P和直线1都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A.P、R为顶点的三角形H勺面积为8。

②与否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求I的值；若不存在，请阐

考点：••次函数综合题.

分析：3）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再运用直线交点坐标求法将两直线解

析式联立即可得出交点坐标；

（2）①运用S梯形ACOB-SAACP-SAPOR-SAARB=8,表达出各部分的边长，整顿

出一元二次方程，求出即可；

②根据一次函数与坐标轴及I交点得出，ZOBN=ZONB=45°,进而运用勾股定理以及等

腰三角形的性质和直角三侑形的鉴定求出即可.

解答：解：（1）・・•一次函数y=-x+7与正比例函数的图象交于点A,且与x轴交于点B.•••

y=-x+7,0=x+7,・・・x=7,，B点坐标为：(7,0),

Vy=-x+7=，解得x=3,，y=4,，A点坐标为:(3,4)：

(2)①当0VtV4时,PO=t,PC=4-t,BR=t,OR=7-t,

•・•当以A.P、R为顶点的三角形的面积为8,，S梯形ACOB-S4ACP-SZ\POR-S4ARB

=8,

J(AC+BO)XCO-ACXCP-POXRO-AMXBR=8,

(AC+BO)XCO-ACXCP-POXRO-AMXBR=16,

・•・(3+7)X4-3X(4-t)-tX(7-t)-4t=16,r.t2-8t+12=O.

解得tl=2,t2=6(舍去).

当4WW7时，S^APR=APXOC=2(7-t)=8,无解；

・••当t=2时,以A.P、R为顶点日勺三角形的J面积为8；

②存在.延长CA到直线1于一点D,当1与AB相交于Q,•・•一次函数y=-x+7与x轴交

与(7,0)点，与y轴交于(0,7)点，，NO=OB,，NOBN=NONB=45°.

•・•直线l〃y轴，・・・RQ=RB,CDJ_L.

当0Vt<4时,RB=OP=QR=l,DQ=AD=(4-t),AC=3,PC=4—t,

•・•以A.P、Q为顶点U勺三角形是等腰三角形，则AP=AQ,・・・AC2+PC2=AP2=AQ