2023年上海中考数学重难点精讲精练专题07圆的有关计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)(含详解)

2023中考数学重难题型押题培优导练案(上海专用)

专题07圆的有关计算与证明综合问题(上海真题10道+模拟30道)

【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢

考点考查年份考查频率

圆的有关计算与证明综合问题2011.2012.2014.2015.2016.2017.2018.12年10考

(大题)2020.2021.2022

圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，在上海市的2011—2022年12年中考中出现了10次，常见的

圆的基础知识和解题技巧如下：

1、圆中的重要定理：

(1)圆的定义：主要用来证明四点共圆和点到或直线圆的最值距离问题.

(2)垂径定理：主要用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理：主要用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推论：主要用来证明一直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理：主要用来证明垂直关系.

(6)切线的判断定理：主要用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个要点元素之间的相互转变：瓠、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变.这在圆

中的证明和计算中常常用到.

3.判断切线的方法：

(1)若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常有手法有：全等转变；平行转变；直径转变；中线转变等；有时可经过计算联合相像、

勾股定理证垂直；

(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线；

4、考题形式剖析：

主要以解答题的形式出现，第1问主要判断切线、证明角或线段相等；第2问主要与圆有关的计算：

①求线段长(或面积)；②求线段比；③求角度的三角函数值(本质仍是求线段比)【典例剖析】典

例精讲，方法提炼，精准提分

【例1】(2020•上海)如图，/XABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圆，80的延长线交边AC于点D.

(1)求证：/BAC=2NA8。；

(2)当△BCO是等腰三角形时，求NBCO的大小;

(3)当4。=2,8=3时，求边8c的长.

【例2】(2021•上海)如图，在圆。中，弦AB等于弦CD,且相交于点P,其中E、F

为AB、CO中点.

(1)证明：OP_LER

(2)连接AF、AC、CE,若A尸〃。尸，证明：四边形4匹EC为矩形.

C____A

B\7D

【例3】(2022•上海)如图，在圈A8CQ中，P是线段中点，联结8。交AP于点E,

联结CE.

(1)如果AE=CE.

i.求证：^ABCD为菱形；

ii.若AB=5,CE=3,求线段BO的长；

(2)分别以4E,BE为半径，点A,8为圆心作圆，两圆交于点E,凡点尸恰好在射线CE上，如果

CE=^[2AEf求胆的值.

备用图备用图【真题再现】

必刷真题，关注素养，把握核心

1.（2011•上海）如图，点C、。分别在扇形AOB的半径04、08的延长线上，且04=3,AC=2,CO平

行于4瓦并与弧48相交于点M、N.

（1）求线段0。的长；

（2）若tan/C=2，求弦MN的长.

2

是弧上的一个动点（不与点4、8重合）ODLBC,OE_LAC,垂足分别为。、E.

（1）当8C=1时，求线段0。的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理

由；

点P是边8c上的动点，以CP为半径的圆。与边AO交于点£、尸（点尸在点E的右侧），射线CE与射

线BA交于点G.

图2（1）当圆C经过点4时，求CP的

长；（2）连接AP,当4P〃CG时，求弦EF的长；

（3）当aAGE是等腰三角形时，求圆C的半径长.

4.（2015•上海）已知，如图，A5是半圆。的直径，弦CO〃A8,动点P,。分别在线段OC,CO上，且

DQ=OP.AP的延长线与射线OQ相交于点E,与弦CD相交于点F（点F与点C,D不重合）,48=20,

cosZAOC=—,设。P=x,产的面积为y.

5

（1）求证：AP=O。；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当AOP石是直角三角形时，求线段O尸的长.

备用图5.（2016•上海）已知：如图，是△A8C的

外接圆，AB=AC，点。在边BC上，AE〃BC,AE=BD.

（1）求证：AD=CE；

（2）如果点G在线段0c上（不与点。重合），且AG=A。，求证：四边形AGCE是平行四边形.

、-----/6.（2017•上海）如图，已知。。的半径长为1,AB、AC是OO的两条弦，且AB=

AC,8。的延长线交AC于点O,联结。4、OC.

（1）求证：△OADs/XABO；

（2）当△0。是直角三角形时，求&C两点的距离;

（3）记△AOB、△AO。、工COD的面积分别为Si、S2、S3，如果S2是Si和S3的比例中项，求。。的

7.（2018•上海）已知。。的直径A〃=2,弦4c与弦8。交于点£且OO_LAC,垂足为点尸.

DD

£

AOBaoBAOB

图1图2备用图(1)如图1,如果4C=8D,求

弦AC的长；

(2)如图2,如果E为弦8D的中点，求/AB。的余切值；

(3)联结BC、CD、DA,如果BC是0O的内接正n边形的一边，CD是。。的内接正(〃+4)边形的

一边，求△4CO的面积.

【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优

一、解答题

1.(2022•上海杨浦•二模)已知在扇形力0B中，点C、。是脑上的两点，且⑶=2AC,^.AOB=130。,OA=10.

A

(1)如图

图2

1,当OO_L04时，求弦CD的长;

(2)如图2,联结AD,交半径OC于点E,当。W/AC时，求熊的值;

(3)当四边形BOCD是梯形时，试判断线段AC能否成为。。内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边

形的边数；如果不能，请说明理由.

2.(2022•上海普陀•二模)如图，已知矩形4BCD中，4。=5,以40上的一点£为圆心，瓦4为半径的圆,

经过点C，并交边BC于点尸(点尸不与点。重合).

(1)当AE=4时，求矩形对角线AC的长;

(2)设边4B=%CF=y,求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)设点G是此的中点，且2GEF=45。，求边的长.

3.(2022•上海松江•二模)如图，己知。0是△ABC的外接圆，AB=AC=8,OA=5.

(1)求N840的正弦值;

(2)求弦8C的长.

4.(2022・上海虹口•二模)己知：如图，A3.AC是。。的两条弦，AB=AC,点M、N分别在弦AB、4c上,

且4M=CN,AM<ANf联结OM、ON.

(1)求证：OM=ON；

(2)当为锐角时，如果4O2=AM-4C,求证：四边形4M0N为等腰梯形.

5.(2022•上海金山•二模)如图，已知：RtAABC中，乙4cB=90。，AB=10,sin^BAC=。是边〃上

一点，以点。为圆心，04为半径的圆。与边4c的另一个交点是点。，与边力B的另一个交点是点E,过点。作

A8的平行线与圆。相交于点P,与8C相交于点Q,DP的延长线交于点F,连接尸Q.

CC

/\

\(1)求证：DP=EP；

------------------\

♦J—BA

(2)设04=x,△/PQ的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域；

(3)如果是以尸Q为腰的等腰三角形，求4。的长.

6.(2022・上海静安•二模)如图,已知△A8C外接圆的圆心0在高A。上，点E在BC延长线上，EC=AB.

A

:

(1)求证：/-B=2Z-AEC,

■W

(2)当04=2,0)$4840=当时,求DE的长.

7.(2022.上海黄浦•二模)如图,已知A、B、C是圆。上的三点，AB=AC,M、N分别是AB、AC的中点,

E、尸分别是OM、ON上的点.

vJ

V⑴求证:ZAOM=NAON；

如果求证：OEOM=-AO2.

(2)AE||OM*OM,2

8.(2022・上海宝山•二模)如图，在半径为3的圆。中，。力、。8都是圆。的半径，且乙4。8=90。，点C是劣

弧脑上的一个动点(点C不与点4、8重合)，延长AC交射线OB于点D.

D(l)当点C为线段40中点时，求乙408的大小;

(2)如果设4C=%,BD=yt求y关于％的函数解析式，并写出定义域;

(3)当4C=当时，点E在线段0。上，且0E=l,点F是射线。4上一点，射线EF与射线DA交于点G,如果以

点4、G、尸为顶点的三角形与ACGE相似，求袈生的值.

9.(2022•上海长宁•二模)已知：如图，4。是。。的半径，AC为。。的弦，点尸为的中点，。尸交AC于点

E,AC=10,EF=3-

(1)求4?的长;

(2)过点。作8_140,交AO延长线于点O,求0。的长•

10.(2022•上海长宁•二模)在放△ABC中，NACB=90。，AC=9,立〃点。在边A8上(不与点A、

B重合)，以A。为半径的。A与射线AC相交于点E,射线OE与射线8C相交于点尸，射线Ar与(DA交于

⑴如图1,设AZ>x,用含x的代数式表示OE的长；

(2)如果点E是云的中点，求N4尸。的余切值；

(3)如果△A尸。为等腰三角形，直接写出4。的长.

11.(2022•上海长宁•二模)在平面直角坐标系中，抛物线丁=・f+2fer+c与大轴交于点A、B(点A在点8

的右侧)，且与)，轴交于点C,已知点A(3,0),O为坐标原点,

(1)当B的坐标为(-5,0)时，求抛物线的解析式;

(2)在(1)的条件下，以A为圆心，OA长为半径画。A,以C为圆心，A8长为半径画。C,通过计算说明

0A和OC的位置关系；

(3)如果484。与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标

12.(2022•上海市杨浦民办凯慈初级中学一模)已知：A8是。。的直径，弦CD1ABt垂足为点H,AH=5,

CD=4后点、?在O。上，射线4E与射线C。相交于点F,设力E-x,DF-y.

并写出函数的定义域；

(3)如果EF=,求。尸的长.

13.(2022•上海徐汇•二模)如图，已知线段A8=4,以AA为直径作半圆，过圆心。作A8的垂线OQ交半

圆于点EP是花上的点，连结4P并延长交。。于点C,连结交。。于点尸.

法如下:

联结。P,*：OA=OP,・・・NB40=NAP0,9：OB=OP,：・/OPB=/OBP.

在△4PA中，ZPAOA-2LAPO-\-ZOPB-\-ZOBP=180°,

・•・NAPO+NOPB=90。,即NA尸8=90。

请再用一种其他方法证明N4PB=90。.

⑵如图2,以P8,PC为邻边作团PBDC,当8与。。相切时，求PC的长：

（3）已知点M为AC上的点，且瞿="当△MQ与aABP相似时，求啜的值.

CM2AC

14.（2022•上海嘉定•二模）在半圆O中，A5为直径，ACAO为两条弦，且NCAO+ND4B=90。.

等于CD；

（2）如图2,点尸在直径AB上，DF交AC于点E,^AE=DE,求证：AC=2DF；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接若4尸=2,BC=6f求弦AO的长.

15.（2022•上海理工大学附属初级中学一模）如图I,已知在平行四边形ABC。中，A8=5,BC=8,cosB=

点尸是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边4。交于点E、尸（点尸在点E的右侧），射线CE与射线

BA交于点G.

（1）当圆C经过点A时，求CP的长;

图2

（2）联结AP,当4PlicG时，求弦E尸的长；

（3）当AAGE是等腰三角形时，求圆。的半径长.

16.（2022•上海市青浦区教育局二模）梯形ABC。中，AD,DC1BC于点C,AB=10,tanB=*G）。］以A8

为直径，。。2以CO为直径，直线。1。2与。3交于点M,与。。2交于点N（如图），设4。=%.

圆交点为E、F（E在上方），当EF=6时，求％的值；（2）当。。2与线段A。1交于P、Q时，设PQ=y,求y关

于》的函数关系式，并写出定义域；

（3）连接AM,线段AM与。。2交于点G,分别连接NG、02G,若AGMN与AGNO2相似，求》的值.

17.（2022・上海金山区世界外国语学校一模）己知：ZMBC内接于半径为2的。O,BC=2yf3＞射线8。交

边AC于点E.

（1）如果点E恰好是边AC的中点，求边A8的长;

(2)如果△ABEs^XACB,求/ABC的大小;

（3）当A4EO为等腰三角形时，求乙ABC的大小.

18.（2022•上海•模拟预测）如图，已知。。经过菱形ABCD的顶点A,C,且与CO相切，直径b交A8于点

E.

D

（1）求证：4。与00相切;

⑵若然・求瓢值•

19.（2022・上海•位育中学模拟预测）在半径为2的扇形A0B中，ZAOB=90°,P是OA延长线上一点，过

线段。尸的中点H作OP的垂线交弧AB于点C,射线PC交弧AB于点D,联结OD.

（D如图，当弧4。=弧8时,

备用图

求弦CO的长;

（2）如图，当点C在弧A。上时，设%=x,CD=y,求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围;

（3）设CO的中点为E,射线HE与射线。。交于点尸，当。尸=；时，请直接写出NP的余切值.

20.（2021・上海奉贤•三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.

（1）请完成如下操作：

①以点。为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；

②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心。，并连接4。、CD.

（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：

①写出点的坐标：C、D；

②。0的半径=；

（3）求NACO的正弦值.

（2021.上海浦东新•模拟预测）已知：如图所示，P是NMAN的边4N上

的一个动点，B是边AM上的一个定点，以附为半径作圆P,交射线4N于点C,过6作直线I使l〃AN交

圆与0、七两点（点。、点E分别在点8的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点尸.联结厂P,

BE=y,

BG=EG；

（2）求），关于％的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当A8E尸是以8尸为腰的等腰三角形时，求经过B、

E两点且半径为的圆。与圆尸的圆心距.

22.（2021.上海浦东新•模拟预测）已知：如图，圆。是等腰△A3。的外接圆，AB=AC,AB=\0,CD=^BCt

tanD=-,求:

（I）线段BC的长;

23.（2021・上海杨浦•三模）如图，已知在。。中，00J.AB,垂足为点。，。。的延长线与O。相交于点C,

点E在弦AB的延长线上，CE与。。相交于点凡AB=CD=8,tanC=1.

(1)求。。的半径长;

(2)求)的值.

cr

24.(2021・上海杨浦•三模)如图，已知在。0中，OO_LA8,垂足为点O,。0的延长线与。0相交于点C,

点E在弦48的延长线上，CE与。O相交于点尸，AB=CD=SttanC=l

(1)求。O的半径长；

(2)求)的值.

hr

(2021・上海•二模)如图，已知扇形力。8的半径。/1=4,乙408=90。，点C、。分

别在半径04、0B上(点C不与点力重合)，联结CD.点P是弧AB上一点，PC=PD.

(1)当cot/ODC=：,以CD为半径的圆。与圆。相切时，求CD的长；

(2)当点。与点8重合，点P为弧AB的中点时，求40C0的度数；

(3)如果0C=2,且四边形ODPC是梯形，求产的值.

shOCD

26.(2021•上海市实验学校二模)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P是对角线BD上一动点,PQ_LBD

交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得N点落在射线PD±,点O是边CD上一点，且0D：

BP=3:4.

(1)联结DQ,当DQ平分NBDC时，求PQ的长；

(2)证明：点0始终在QM所在直线的左侧；

(3)若以。为圆心，半径长为0.8作。0,当QM与。0相切时，求BP的长.

27.(2021,上海

浦东新•二模)已知：半圆。的直径A8=6,点C在半圆。上，且tan/ABC=2&,点。为弧AC上一点,

联结OC(如图)

(1)求8C的长；

(2)若射线0c交射线于点M,且AMBC与△MOC相似，求C。的长；

(3)联结。。，当。。〃8。时，作NQOB的平分线交线段。。于点N,求ON的

28.(2021・上海青浦•二模)已知：在半径为2的扇形408中，ZAOB=m°(0<w<180),点。是肪上的一

个动点，直线AC与直线0B相交于点。.

(1)如图1,当UVmV9U,axe.。是等嘤二角形时，求N"的大小(用含阳的代数式表示)；

(2)如图2,当机=90点。是脑的中点时，联结A8,求艺驶的值；

S“8c

(3)将AC沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与08所在的直线相切于点£且OE=1时，求线段40

的长.

陀•二模）在梯形A8C。中，AD//BC,ABLBC,AD=3,CD=5,cosC=：（如图）.〃是边8C上一个动点

（不与点B、。重合），以点”为圆心，CM为半径作圆，与射线8、射线M4分别相交于点E、F.

（1）设CE=£,求证：四边形是平行四边形；

（2）联结上"，设NFM8=NEMC,求CE的长；

（3）以点。为圆心，D4为半径作圆，与。”的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时。M的半径

30.（2021•上海闵行•二模）如图，在矩形A8C0中，A8=4,BC=8,点P在边8C上（点P与端点5、C

不重合），以P为圆心，PB为半径作圆,圆P与射线80的另一个交点为点E,直线CE与射线4。交于点G.点

M为线段BE的中点，联结PM.设BP=K8M=y.

（1）求y关于x的函数解析式，并

写出该函数的定义域;

（2）联结4P,当AP〃CE时，求x的值；

（3）如果射线EC与圆尸的另一个公共点为点尸，当ACPF为直角三角形时，求ACP产的面积.

2023中考数学重难题型押题培优导练案(上海专用)

专题07圆的有关计算与证明综合问题(上海真题10道+模拟30道)

【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢

考点考查年份考查频率

圆的有关计算与证明综合问题2011.2012.2014.2015.2016.2017.2018.12年10考

(大题)2020.2021.2022

圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，在上海市的2011—2022年12年中考中出现了10次，常见的

圆的基础知识和解题技巧如下：

1、圆中的重要定理：

(1)圆的定义：主要用来证明四点共圆和点到或直线圆的最值距离问题.

(2)垂径定理：主要用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理：主要用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推论：主要用来证明一直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理：主要用来证明垂直关系.

(6)切线的判断定理：主要用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个要点元素之间的相互转变：瓠、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变.这在圆

中的证明和计算中常常用到.

3.判断切线的方法：

(1)若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常有手法有：全等转变；平行转变；直径转变；中线转变等；有时可经过计算联合相像、

勾股定理证垂直；

(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线；

4、考题形式剖析：

主要以解答题的形式出现，第1问主要判断切线、证明角或线段相等；第2问主要与圆有关的计算：

①求线段长(或面积)；②求线段比；③求角度的三角函数值(本质仍是求线段比)【典例剖析】典

例精讲，方法提炼，精准提分

【例1】(2020•上海)如图，/XABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圆，80的延长线交边AC于点D.

(1)求证：NBAC=2N48O；

(2)当△BCO是等腰三角形时，求NBCO的大小;

(3)当4。=2,8=3时，求边8c的长.

【分析】(1)连接04.利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可.

(2)分三种情形：①若BD=CB,则/C=N3OC=NA8O+N8AC=3N48O.②若CO=C8,则NCBD

=^CDB=3ZABD.③若。8=0。，则。与A重合，这种情形不存在.分别利用三角形内角和定理构

建方程求解即可.

(3)如图3中，作AE〃8C交8。的延长线于£则胆=9_=2,推出地=胆=_1,设08=04=

BCDC3OHBH3

4a,OH=3a,BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,构建方程求出n即可解决问题.

【解答】(1)证明：连接。A.

图1•・・AB=AC,

**•AB~AC，

：.OALBC,

：.ZBAO=ZCAO,

YOA=OB,:・NABD=NBAO,

：.4BAC=2NABD.

(2)解：如图2中，延长A。交3c于H.

A

B

图2①若BD=CB,则NC=ZBDC=/ABD+/BAC=3NABD,

\'AB=AC,

:./ABC=NC,

・•・4DBC=2/ABD,

V^DBC+ZC+ZBDC=180°,

••・8/A4£>=180°,

AZC=3ZABD=67.5°.

②若CD=CB,则NCBD=NCDB=3/ABD,

/.ZC=4ZABD,

•・・/OBC+NC+NCOB=180°,

・・・10NA80=180°,

：・4BCD=4NABD=T1°.

③若OB=OC,则。与4重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°.

(3)如图3中，作AE〃8C交BO的延长线于E.

则AE—AD—2

'BCDC3

—设08=04=4。，0H=3a,

OHBH3

,：BH2=AB1-AH2=OB2-OH2,

••・25・49。2=16。2-9。2,

•.•2a-,25,

56

；.BH2=7C^=—,

8

:.BH=^^~

4

:,BC=2BH=^^~

2

【例2】(2021•上海)如图，在圆。中，弦4B等于弦CO,且相交于点P,其中E、尸为AB、CO中点.

(1)证明：OPLEF；

(2)连接ARAC,CE,若AF〃OP,证明：四边形A/EC为矩形.

【分析】(1)利用全等三角形的性质证明OE=OF,PE=PF,可得结论.

(2)连接4C,设所交OP于J,想办法证明PE=PF=B4=PC,可得结论.

【解答】(1)证明：连接OP,EF,OE,OF,OB=OD.

,:AE=EB,CF=FD,AB=CD,

：.OELAB,OFLCD,BE=DF,

：・/OEB=NOFD=90°,

•：OB=OD,ARtAOEB^RtAOFD(HL),

：.OE=OF,

/OEP=NOFP=90°,OP=OP,

(HL),

:,PE=PF,

♦：OE=OF,

:.OPLEF.

(2)证明：连接AC,设EF交OP于J.

*：AB=CD,AE=EB,CF=DF,

：.AE=CF,BE=DF,

*：PE=PF,

：.PA=PC,

•:PE=PF,OE=OF,

...。0垂直平分线段EE

；,EJ=JF,

-：OP//AF,

:,PC=PF,PA=PE,

・•・科边形AFEC是平行四边形,

YEA=CF,

・•・四边形加石C是矩豚

【例3】（2022•上海）如图，在团A8C。中，尸是线段中点，联结B。交AP于点E,

联结CE

（1）如果AE=CE.

i.求证：为菱形；ii.若45=5,CE=3,求线段BD的长；

（2）分别以AE,BE为半径,点A,B为圆心作圆，两圆交于点E,F,点F恰好在射线CE上，如果

/.证明：如图，连接AC交8。于点。，证明△AOEgZXCOE（SSS）,由全等三角形的性质得出/AOE

=4C0E,证出4cL8。，由菱形的判定可得出结论；

H.由重心的性质得出BE=2OE,设OE=x,则8E=2x,由勾股定理得出9-f=25-，求出x的值，

则可得出答案；

（2）由相交两圆的性质得出由（1）②知点E是△48C的重心，由重心的性质及勾股定理得

出答案.

【解答】（1）/.证明：如图，连接AC交8。于点O,

：.OA=OC,

'：AE=CE,OE=OE,

•••△AOEdCOE(SSS),

・•・乙AOE=4C0E,

VZAOE+ZCOE=180°,

AZCOE=90°,

：.ACLBD,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・I3ABC。为菱形；ii.解：*：OA=OCf

・・・。8是△ABC的中线，

•；P为BC的中点，

••"P是△48C的中线，

・••点E是△A8C的重心，

:.BE=2OE,

设。E=x,则8七=2x,

在RtZXAOE中，由勾股定理得，OA2=AE2-OE2=32-?=9-?,

2

在RlZXAQB中，由勾股定理得，。解二人解・。屎=52・(3x)=25-9?；

A9-?=25-9?,

解得％=加(负值舍去)，

OB=3x=3/^2t

：・BD=2OB=&/^；

(2)解：如图，

图2:OA与。8相交于E,F,

：.ABA.EF,

由（1）②知点E是△ABC的重心,

又丁尸在直线CE上,

CG是△ABC的中线，

AG=BG=—AB,EG=—CE,

22

CE=y[2AE,

：2122

GE=^-AE,CG=CE+EG=^^-AE,,AG=AE-EG=AE-)2=yAE2>

22乙

V2

AG=-^-AE

2f

AB=2AG=®AE,

/.BC2=BG2+CG2=-^a^+（百醇枢）2=54产，

:.BC=4SAE,

.AB_V2AE_V10

••觉二加版=5，

【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心

1.（2011•上海）如图，点C、。分别在扇形A08的半径。4、08的延长线上，且04=3,AC=2,8平

行于A8,并与弧A8相交于点M、N.

（1）求线段0。的长;

（2）若tan/C=2，求弦MN的长.

2

o

'B

。【分析】（1）根据CO〃A8可知，AOABSAOCD,再根据相似三角形

的对应边成比例即可求出。。的长；

（2）过。作OE_LCZ）,连接0M,由垂径定理可知再根据tan/C=1■可求出0E的长,

22

利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案.

【解析】（1）*：CD//AB,

:,乙0AB=40CD,NOBA=NODC,

：・X0ABs4X)CD,

.OA=OB

"OCOD,

即OA_=曾

OA+ACOD

又04=3,AC=2,・・.O8=3,

.3=3

••藐0D，

：.0D=5；

(2)过。作OELCD,连接OM,则ME=—MN,

2

.•.设O£'=x,贝iJC'£=Zr,

在RlZXOEC中，0d=0U+C?,即52=』+(2x)2,解得x=f,

在RtZXOME中，0M2=0烂+MQ,即32=(遥)2+“七2,解得WE=2.

:,MN=4,

答：弦MN的长为4.

CD2.（2012•上海）如图，在半径为2的扇形AO8中，NAO8=90°,点C

是弧A3上的一个动点(不与点A、8重合)0Q_L5C,OEA.AC,垂足分别为。、E.

(1)当&?=1时，求线段OQ的长：

(2)在△QOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理

由；

(3)设8。=乂ZXOOE的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.

彳【分析】(I)根据OD_LBC可得出8。=28c=2，在RlZXBOD中利用勾股定

22

理即可求出0D的长；(2)连接AB,^^AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据。和E是中

点可得出DE=V2：

(3)由8力=-可知0D=｛由于N1=N2,N3=N4,所以N2+/3=45°,过。作力”_LOE,

V22

【解析】(1)如图(1),V0D15C,

\BD=—BC=—,

22

,・°0=加2孤2=隼

(2)如图(2),存在，OE是不变的.

连接AB,则48=4082+0人2=2加，

•・•D和E分别是线段BC和AC的中点,

:・DE=LAB=&；

2

(3)如图(3),连接0C,

•：BD=x,

・・・°0=、4-2

/Z1=Z2,Z3=Z4,

••・/2+/3=45°,

过。作DF±OE,

・・・。尸=鱼/^=近三£,由（2）已知。上=正,

V22

・••在RtZkQEF中，故=｛麻一DF2='

0E=OF+EF="8—2/十乃x=7s-2x2+V^x_

222

A。交于点E、尸（点尸在点E的右侧），射线CE与射线B4交于点G.

图2（1）当圆。经过点A时，，求CP的

（2）连接4P,当AP〃CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆。的半径长.

【分析】（1）当点A在OC上时，点E和点A重合，过点A作A”_L8C于H,直接利用勾股定理求出

AC进而得出答案；

（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及所

的长；

（3）/GAEW/BGC,只能N4GE=/4EG,利用AO〃BC,得出△GAES^GBC,进而求出即可.

【解析】（1）如图1,设。。的半径为「，

当点A在0C上时，点石和点A重合，过点4作AH_L△。于H,

/.BH=AB*cosB=4,

"H=3,CH=4,

•"C=、AH24cH2=5,

・・・此时CP=r=5；

(2)如图2,若A尸〃CE,APCE为平行四边形,

VCE=CP,

・•・四边形4尸CE是菱形，

连接AC、EP,贝l」AC_LEP,

5

：.AM=CM=-^,

2

由(1)如，AB=AC,则NACB=NB.

cos/ACB8

(3)如图3：连接AC,过点C作CMLA。于点N,设AQ_LBC,

•・,翼=cos8,AB=5,

AB

・・・BQ=4,AN=QC=BC-BQ=4.

4

•cosB=^,

5

AZB<45°,VZBCG<90°,

・・・/8GC>45°,

:.NBGC>4B=NGAE,即N8GCW^GAE,

又'IZAEG=NBCG2/ACB=NB=/GAE,

・••当NAEG=NG4E时，A、E、G重合，则AAGE不存在.

即ZAEG^ZGAE

・•・只能NAG£=NAEG,

•・"O〃BC,

：.2GAESRGBC,

.AE_AGgpAE_AE

"CBBG，'TAE+5

解得：AE=3,EN=AN-AE=1,

•••CE=7EN2<N2=V32+12=V10.

上海)已知，如图，A8是半圆。的直径，弦动点P,。分别在线段OC,CO上，且OQ=OP,

4P的延长线与射线。。相交于点E,与弦C。相交于点尸(点尸与点C,。不重合)，A8=20,cos/AOC

=晟，设OP=x,Z\CP尸的面积为y.

(1)求证：AP=OQ；

(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

后即可证得AP=OQ：

(2)作P”_LO4,根据cosNAOC=2得到。〃=刍从而得到SMOP=24O・PH=3X,利用△

5552

PFC^APAO得当对应边的比相等即可得到函数解析式：

(3)分当/尸OE=90°时、当NOPE=90°时，当NOEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论.

【解答】(1)证明：连接OQ,

在aAOP和△OOQ中，

rA0=0D

<ZA0C=ZC=Z0DQ，

OP=DQ

AAOP^AODQ,

：,AP=OQ；

（2）作PH1.OA,

4

VcosZ/lOC=—,

5

44

OH=-^PO=—x,

55

：.S^AOP=—AO^PH=3X,

2

义'：XPFCs*\O,

—=喏）2=（10-x）2,整理得：3x-6°x+30°

x

VAP延长线与CD相交于点尸,

:.CFWCD=\6,易知△CPps/x。%,

•.•CPCF,

XAO

当b与。重合时，x=史，

13

.F的定义域为：至gvxVIO；

13

（3）当NPOE=90°时，CQ=——=学'PO=DQ=CD-CQ=^（舍）；

当/OPE=90°时，PO=4O・cosNCOA=8；

当NOEP=90°时，如图，由（1）知△AOPg/XO。。，

/./4PO=NOQO,

/./AOQ=ZOQD=/APO,

•・・/4OQV90°,ZAPO>90°（矛盾），

・・・此种情况不存在，

・•・线段O尸的长为8.

(1)求证：AD=CE；

(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且=求证：四边形AGCE是平行四边

【分析】(1)根据等弧所对的圆周角相等，得出再根据全等三角形的判定得△ABDg/XCAE,

即可得出4O=CE；

(2)连接A。并延长，交边8。于点儿由等腰三角形的性质和外心的性质得出再由垂径定

理得BH=CH,得出CG与AE平行且相等.

【解答】证明：(1)在。。中，

VAB=AC，

：.AB=AC,

，/8=NAC8,

YAE//BC,

：.^EAC=NACB,

：.NB=NEAC,

rAB=CA

在AABO和△CAE中，，ZB=ZEAC*

BD=AE

:・XABD义ACAE(SAS),

：.AD=CE；

(2)连接AO并延长，交边BC于点”,

VAB-AC，04为半径，

：.AHLBC,

:.BH=CH,

*：AD=AG,

:.DH=HG,

・•・BH-DH=CH-GH,即BD=CG,

*：BD=AEf

：.CG=AE,*：CG//AE,

・•・四边形AGCE是平行四边形.

(2017•上海)如图，己知。。的半径长为1,48、AC是。。的两条弦，且AB=

AC,4。的延长线交AC于点。，联结