等腰三角形的判定 知识讲解 提高

等腰三角形的判定(提高)知识讲解【学习目标】1.理解等腰三角形的判定定理及其证明过程.2.掌握等边三角形的判定定理及其证明过程．3.熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理证明和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点二、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：等边三角形是中考常考的知识点，需要记住以下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.【典型例题】类型一、等腰三角形的判定 1、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF【答案与解析】证明：延长AD到H使DH＝AD，连接BH.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD在△ADC和△HDB中，BD＝DC，∠BDH＝∠CDA，AD＝HD，∴△ADC≌△HDB，∴∠1＝∠H，BH＝AC∵BE＝AC，∴BE＝BH，∴∠3＝∠H，∴∠1＝∠3又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AF＝EF【总结升华】证AF＝EF，只需证明∠FAE＝∠AEF，考虑中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.举一反三：【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【答案】证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.ABCDABCDEFG2、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE＝AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE、AC交于点F.∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴△AEB≌△AEF（ASA）.∴BE＝FE＝BF.∵∠3＝90°－∠F＝∠2，BC＝AC,∴△BCF≌△ACD（ASA）∴BF＝AD，BE＝AD.【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.求证：AM＝(AB＋AC)．【答案】证明：延长AM至点E，使ME＝AM，连结CE.∴．3、如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．求证：∠ADB＝∠CDF．【思路点拨】∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边的高（中线）是一条常用辅助线．【答案与解析】证明：如图，过A作∠BAC的平分线交BD于点G，又因为∠A＝90°，所以∠BAG＝∠GAD＝45°．∵∠A＝90°，AE⊥BD，∴∠DAE＝∠ABE（同角的余角相等）．∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°＝∠BAG＝∠GAD．在△ABG与△ACF中，∴△ABG≌△ACF（ASA）．∴AG＝FC又∵D为AC中点，∴AD＝DC在△AGD与△CFD中，∴△AGD≌△CFD（SAS）∴∠ADB＝∠CDF【总结升华】解等腰三角形相关问题时，常用到以下知识方法：（1）作等腰三角形角顶角平分线；（2）在未指明边（角）的名称时，应分类讨论．4、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B＝2∠C，求证:AB＋BD＝CD．【答案与解析】证法一：如图，在DC上取DE＝BD，

∵AD⊥BC，

∴AB＝AE，

∴∠B＝∠AEB，

在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE，

又∵∠B＝2∠C，

∴2∠C＝∠C+∠CAE，

∴∠C＝∠CAE，

∴AE＝CE，

∴CD＝CE+DE＝AB+BD．证法二：如图，延长DB于E，使BE＝AB，连接AE，则∠E＝∠EAB，∠ABC＝2∠E＝2∠C，∴∠C＝∠E．∴AE＝AC．在Rt△AED与Rt△ACD中，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）．∴DC＝DE＝BD＋BE＝BD＋AB．【总结升华】处理“两倍角”的基本方法有：（1）作角平分线得等角；（2）向外或向内构造等腰三角形．举一反三：【变式】求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形．已知：BD、CE是△ABC的两条中线（如图），BD＝CE．

求证：AB＝AC．【答案】证明：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，根据平移的特征，

∴DF＝EC，

而EC＝BD，

∴BD＝DF．∴∠DBF＝∠DFB,∠DFB＝∠ECB,∴∠DBF＝∠DFB＝∠ECB，在△ECB与△DBC中，

，∴△ECB≌△DBC（SAS），∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．【变式2】如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．【答案】解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．类型二、等边三角形的判定5、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【思路点拨】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．【答案与解析】解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，∴△APQ是等边三角形．【总结升华】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．【高清课堂：389303等边三角形：例8】6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE.求证：CE＝DE.【思路点拨】此题如果直接找含有CE和DE的三角形找不到，也不方便证∠ECD＝∠EDC，联想的全等三角形的性质，把原等边△ABC扩展成大等边△BEF后，易证△EBC≌△EFD.【答案与解析】证明：延长BD至F，使DF＝AB，连结EF∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC,∠B＝60º∵AE＝BD，DF＝AB∴AE＋AB＝BD＋DF即BE＝BF∴△BEF为等边三角形∴BE＝EF,∠F＝60º在△EBC与△EFD中∴△EBC≌△EFD∴EC＝ED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三：【变式】如图所示，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明．【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法．证明：如图所示，延长AC至M1，使CM1＝BM，连接DM1．∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵∠BDC＝120°，且BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°．∴∠ABD＝∠ACD＝90°．又∵BD＝CD，BM＝CM1，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1(SAS)