新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第01讲 集合的概念及运算（解析版）

第01讲集合的概念及运算【基础知识网络图】集集合集合表示法集合的关系集合的运算描述法图示法列举法相等包含交集并集补集子集、真子集【基础知识全通关】集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用SKIPIF1<0或SKIPIF1<0表示；（2）集合与集合的关系，用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，=表示，当ASKIPIF1<0B时，称A是B的子集；当ASKIPIF1<0B时，称A是B的真子集。3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xSKIPIF1<0A｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。【考点研习一点通】考点01：集合的概念、性质与运算1.设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】M=x|x2=x=2.若集合SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虚数单位），SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为A=i,i2,i考点02：集合的两种关系3.已知集合，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围。【解析】，（1）因为，所以（2）因为，所以，或，所以，或【点评】数形结合是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面。4.设2011∈{x，SKIPIF1<0，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为()A．3 B．4C．7 D．8【答案】由题意得x＝－2011或x＝－eq\r(2011)，所以集合{－2011，－eq\r(2011)}的真子集有22－1＝3个．选A。5.已知集合，，则（）ABCD【答案】C【解析】集合，而，所以，故选C.【点评】1.本题主要考察集合的交、并、补综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种表示语言要熟悉。2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行计算.3.对元素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法，而对不等式解集的运算一般用数轴法较为简捷.考点03：分类讨论的集合问题6.设函数的定义域为D。（1），求使SKIPIF1<0的概率；（2），求使SKIPIF1<0的概率.【解析】（1）的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共计12种。而那么满足D=R的的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（4，3）共计9种，∴其概率SKIPIF1<0（2）∴所有的点构成的区域的面积=12而满足构成的区域的面积为7，故所求概率．【点评】在一定条件约束下求参数的问题，体现了分类讨论的数学思想。另外本题稍微涉及到一点概率知识。7.已知集合ASKIPIF1<0，BSKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值组成的集合。【解析】SKIPIF1<0①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0。SKIPIF1<0所以适合题意的SKIPIF1<0的集合为SKIPIF1<0【考点易错】易错点1元素的意义1.已知集合，，则集合的子集的个数为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】解得，或；,即中有2个元素；子集个数为4．故选：B．【变式训练】1．已知集合，，则中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.2.若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（）A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=∅【答案】A【解析】根据集合的表示法知集合M表示直线，集合N表示一个点且点在直线上，得到两集合的并集．详解：N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，且点(0,0)满足直线x+y=0.所以M∪N=M，故选A.3．（2022·宁夏银川一中高三月考（理））设集合，，则的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】集合，，则，画出图形：由图知，元素有2个，则子集有个，选A易错点2集合的互异性2．（2022·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））已知集合，，若，则等于（）A．1或2 B．或 C．2 D．1【答案】C【解析】因为，所以，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.故选：C【易错总结】根据题意求出参数后，记得将参数代入原集合，看集合中的元素是否满足元素的互异性，不满足则舍去。【变式训练】4．（2022·四川成都·石室中学月考）其，则由的值构成的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，当，即时，，集合中有相同元素，舍去；当，即（舍）或时，，符合，故由的值构成的集合是.故选：D5．（2022·泊头市第一中学高一月考）若，则a=（）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】C【解析】因为，所以有或.当时，解得或，当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以.当时，解得，由上可知舍去，综上：.故选：C易错点3子集为空集与取等3.（2022·渝中·重庆巴蜀中学月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】（1）因为，又，，所以，解得.故选：B.【易错总结】【变式训练】6．（2022·安庆市第七中学高三其他（文））已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选D．7．（2022·扬州大学附属中学东部分校月考）若集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以或，所以或，当时，不成立，所以，所以满足，当时，因为，所以，又因为，所以，所以，当时，因为，所以，又因为，所以，所以，综上可知：.故选：A.8．（2022·三门峡市第一高级中学月考）已知集合，，则使成立的实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】若满足，由已知条件得，解得，故选：C．【巩固提升】1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】：因为全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，所以根据补集的定义得∁U故选C.2.设集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2},则A．对任意实数a，(2,1)∈AB．对任意实数a，（2,1）∉AC．当且仅当a<0时,（2,1）∉AD．当且仅当a≤32【答案】D【解析】：若(2,1)∈A，则a>32且a≥0，即若(2,1)∈A，则此命题的逆否命题为：若a≤32，则有3.已知集合A=SKIPIF1<0，B=SKIPIF1<0，则（）A．ASKIPIF1<0B=SKIPIF1<0B．ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0C．ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0D．ASKIPIF1<0B=R【答案】A【解析】：因为A=xx<2,B={x|3-2x>0}={x|x<32},所以A∩B={x|x<4.设集合SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意SKIPIF1<0，故选A.5.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则SKIPIF1<0中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中元素的个数为2，所以选B.6.设集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意可得：SKIPIF1<0.故选B.7.已知SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，则∁UA=()ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0【答案】A.【解析】由已知可得,集合A的补集∁UA=-2,2.故选A.8.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）ASKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】试题分析：利用数轴，取SKIPIF1<0所有元素，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．9.设集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】|x-1|<1⇔-1<x-1<1,0<x<2,则M={x|0<x<2},又N={x|x<2},所以M∩N=(0,2),故选C.10.已知集合，，则中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.11.已知集合，，则中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.12.已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，，，若为空集，则方程无解，解得；若不为空集，则；由解得，所以或，解得或，综上，由实数的所有可能的取值组成的集合为.故选D13.若集合,则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】设当时，，满足题意；当时，时二次函数因为，所以恒大于0，即所以，解得．14.已知集合A=xx2A．x−1<x<2B．C．x|x<−1∪x|x>2【答案】B【解析】解不等式x2−x−2>0得x<−1或x>2，所以A=x|x<−1或x>215.已知集合A=x ，  A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】∵x2+y2≤3,∴x2≤3,∵x∈Z,∴x=−1,0,1，当x=−1时，y=−1,0,116.已知集合A=x|x−1≥0，B=0 A．0B．1C．1 ，【答案】C【解析】由集合A得x≥1,所以A∩B={1,2}，故选C.17.设全集为R，集合A={x0<x<2}，B={xx≥1A．{x0<x≤1}B．{x0<x<1}【答案】B【解析】由题意可得：CRB=x|x<118.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁UA．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】因为全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，所以根据补集的定义得∁U19.已知集合A={(𝑥||𝑥|<2)},B={−2,0,1,2},则A∩B=()A．{0,1}B．{−1,0,1}C．{−2,0,1,2}D．{−1,0,1,2}【答案】A【解析】∵|x|<2，∴−2<x<2,因此A∩B={−2,0,1,2}∩(−2,2)={0,1}，选A.20.设集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2},则()A．对任意实数a，(2,1)∈AB．对任意实数a，（2,1）∉AC．当且仅当a<0时,（2,1）∉AD．当且仅当a≤32【答案】D【解析】若(2,1)∈A，则a>32且a≥0，即若(2,1)∈A，则a>32，此命题的逆否命题为：若21.已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|(x＋1)(x－2)<0,x∈Z},则A∪B＝()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{－1,0,1,2,3}【答案】C【解析】由(x＋1)(x－2)<0解得集合B＝{x|－1<x<2},又因为x∈Z,所以B＝{0,1},因为A＝{1,2,3},所以A∪B＝{0,1,2,3},故选C.22.设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0},T＝{x|x＞0},则S∩T＝()A.2,3B.(－∞,2∪3,＋∞)C.3,＋∞)D.(0,2∪3,＋∞)【答案】.D【解析】S＝{x|x≥3或x≤2},T＝{x|x＞0},则S∩T＝(0,2∪3,＋∞).23.已知集合A＝{x||x|＜2},B＝{－1,0,1,2,3},则A∩B＝()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{－1,0,1}D.{－1,0,1,2}【答案】C【解析】A＝{x||x|＜2}＝{x|-2＜x＜2},所以A∩B＝{x|-2＜x＜2}∩{-1,0,1,2,3}＝{-1,0,1}.24.设集合A＝{y|y＝2x,x∈R},B＝{x|x2－1<0},则A∪B＝()A.(－1,1)B.(0,1)C.(－1,＋∞)D.(0,＋∞)【答案】C【解析】∵A＝{y|y>0},B＝{x|－1<x<1},∴A∪B＝(－1,＋∞),故选C.25.设集合A＝{x|－2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由题可知,A∩Z＝{－2,－1,0,1,2},则A∩Z中的元素的个数为5.选C.26.已知集合A＝{1,2,3},B＝{2,3},则()A．A＝BB．A∩B＝∅C．ASKIPIF1<0BD．BSKIPIF1<0A【答案】D【解析】由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,1∉B,故A,B,C均错,D是正确的,选D.27.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A＝{2,3,5,6},集合B＝{1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}【答案】A【解析】由题意知,∁UB＝{2,5,8},则A∩∁UB＝{2,5},选A.28.若集合A＝{i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B＝{1,－1},则A∩B等于()A．{－1}B．{1}C．{1,－1}D．∅【答案】C【解析】集合A＝{i－1,1,－i},B＝{1,－1},A∩B＝{1,－1},故选C.29.若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0},N＝{x|(x－4)(x－1)＝0},则M∩N＝()A．{1,4}B．{－1,－4}C．{0}D．∅【答案】A【解析】因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4,－1},N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}＝{1,4},所以M∩N＝∅,故选A.30.设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0},集合B＝{x|1＜x＜3},则A∪B＝()A．{x|－1＜x＜3}B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【答案】A【解析】∵A＝{x|－1＜x＜2},B＝{x|1＜x＜3},∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}．31.已知集合A＝{－2,－1,0,1,2},B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0},则A∩B＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{0,1,2