新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第05讲 基本不等式及应用（解析版）

第05讲基本不等式及应用【基础知识网络图】不等式的综合应用解不等式问题不等式的综合应用解不等式问题实际应用问题不等式中的含参问题不等式证明【基础知识全通关】知识点01：不等式问题中相关方法1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．知识点02：不等式与相关知识的渗透1．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。2．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。【要点诠释】⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。【考点研习一点通】考点01：基本不等式应用1.设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0【证明】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立【变式1】已知SKIPIF1<0，求证:SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,等号成立）.2.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的值为.(2)求证：SKIPIF1<0【解析】(1)由题意可得SKIPIF1<0带入计算可得SKIPIF1<0(2)由题意和基本不等式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式】已知函数SKIPIF1<0的定义域为R.(1)求实数m的取值范围.(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足SKIPIF1<0时，求7a+4b的最小值.【解析】(1)因为函数的定义域为R,SKIPIF1<0恒成立设函数SKIPIF1<0则m不大于SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的最小值为4，SKIPIF1<0(2)由(1)知n=4SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时取等号.SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0考点02：不等式与相关知识的融合3．已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；(3)设a＞0，有－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x).【思路点拨】关于函数不等式，需要对自变量灵活取值，凑出需要的函数值。(1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，因此得|g(x)|≤2(－1≤x≤1)；当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，因此，根据绝对值不等式性质得：|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1SKIPIF1<0.SKIPIF1<0当－1≤x≤1时，有0≤SKIPIF1<0≤1，－1≤SKIPIF1<0≤0，∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|fSKIPIF1<0|≤1，|f(SKIPIF1<0)|≤1；因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤|fSKIPIF1<0|+|f(SKIPIF1<0)|≤2.(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2. ①∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，由此得－SKIPIF1<0＜0，即b=0.由①得a=2，所以f(x)=2x2－1.【变式1】已知函数f(x)=SKIPIF1<0(b＜0)的值域是［1，3］，(1)求b、c的值；(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；(3)若t∈R，求证：lgSKIPIF1<0≤F(|t－SKIPIF1<0|－|t+SKIPIF1<0|)≤lgSKIPIF1<0.【解析】设y=SKIPIF1<0，则(y－2)x2－bx+y－c=0 ①∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即b2－4(y－2)(y－c)≥0，即4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0 ②由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y2－4(2+c)y+8c+b2=0的两根SKIPIF1<0∴c=2，b=－2，b=2(舍）(2)任取x1，x2∈［－1，1］，且x2＞x1，则x2－x1＞0，且(x2－x1)(1－x1x2)＞0，∴f(x2)－f(x1)=－SKIPIF1<0＞0，∴f(x2)＞f(x1)，lgf(x2)＞lgf(x1)，即F(x2)＞F(x1)∴F(x)为增函数.SKIPIF1<0即－SKIPIF1<0≤u≤SKIPIF1<0，根据F(x)的单调性知F(－SKIPIF1<0)≤F(u)≤F(SKIPIF1<0)，∴lgSKIPIF1<0≤F(|t－SKIPIF1<0|－|t+SKIPIF1<0|)≤lgSKIPIF1<0对任意实数t成立.考点02：不等式证明4.已知a>0,b>0且a+b=1求证：SKIPIF1<0【思路点拨】利用不等式SKIPIF1<0【证明】若x>0,y>0,SKIPIF1<0则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以当a>0，b>0，且a+b=1时SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号.【总结升华】本题考查不等式的证明，解题关键时要注意到基本不等式与均值不等式之间的关系，同时要考虑到不等式中等号成立的条件.【变式】(1)已知函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0设SKIPIF1<0是函数y=f(x)图像的一条对称轴,求SKIPIF1<0的值.(2)已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】(1)由题意SKIPIF1<0SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一条对称轴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为偶数时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0为奇数时SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0时取等号)SKIPIF1<0考点03：基本不等式在实际问题中的应用5.某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为SKIPIF1<0，预计（1）修复SKIPIF1<0旧墙的费用是建造SKIPIF1<0新墙费用的SKIPIF1<0，（2）拆去SKIPIF1<0旧墙用以改造建成SKIPIF1<0新墙的费用是建SKIPIF1<0新墙的SKIPIF1<0，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出SKIPIF1<0的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为SKIPIF1<0,则拆改成新墙的旧墙为SKIPIF1<0，于是还需要建造新墙的长为SKIPIF1<0设建造SKIPIF1<0新墙需用SKIPIF1<0元，建造围墙的总造价为SKIPIF1<0元，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，等号成立）故拆除改造旧墙约为SKIPIF1<0米时，总造价最小.【变式】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，则SKIPIF1<0（当且仅当x=8时取“=”）此时每人最少交80元.【考点易错】1．已知△ABC的三边长是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为正数，求证：SKIPIF1<0.【点拨】寻找各项的统一性，可以从函数单调性方面来考虑。证明：设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的递增区间SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<0【总结】函数是高中数学的重要知识，很多问题都可以从函数的角度来思考和分析。【变式1】设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；(2)求证：f(x)在R上单调递减；(3)设集合A={(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=SKIPIF1<0，求a的取值范围.证明：令m＞0，n=0得：f(m)=f(m)·f(0).∵f(m)≠0，∴f(0)=1取m=m，n=－m，(m＜0)，得f(0)=f(m)f(－m)∴f(m)=SKIPIF1<0，∵m＜0，∴－m＞0，∴0＜f(－m)＜1，∴f(m)＞1(2)证明：任取x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)=f(x1)－f［(x2－x1)+x1］=f(x1)－f(x2－x1)·f(x1)=f(x1)［1－f(x2－x1)］，∵f(x1)＞0，1－f(x2－x1)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)在R上为单调减函数.(3)SKIPIF1<0，由题意此不等式组无解，数形结合得：SKIPIF1<0≥1，解得a2≤3∴a∈［－SKIPIF1<0，SKIPIF1<0］2.已知函数SKIPIF1<0(其中常数m>0)(1)当m=2时，求SKIPIF1<0的极大值.(2)时谈论SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性(3)当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0上总存在相异两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线互相平行，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】(1)当m=2时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0单调递增故SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0=1\*GB3①当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.=2\*GB3②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0有SKIPIF1<0恒成立，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减=3\*GB3③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.(3)由题意，可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由不等式性质可得SKIPIF1<0恒成立又SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立令SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单增SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0【变式】已知SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立(1)求SKIPIF1<0的最小值；(2)求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】(1)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，又SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，等号成立故SKIPIF1<0的最小值为9.(2)因为对SKIPIF1<0使SKIPIF1<0恒成立所以SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上可知SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.3.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq\f(1,2)x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】解(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq\f(1,2)x2＋300x－80000＝－eq\f(1,2)(x－300)2－35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．【巩固提升】1．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（）A．ac+bd>ad+bc B．ac+bd<ad+bcC．ac>bd D．ac<bd【答案】A【分析】利用作差法可判断A、B，利用特值法可判断C、D.【详解】解：对于A、B：SKIPIF1<0a>b，c>d，SKIPIF1<0ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；故选：A.2．如果SKIPIF1<0那么下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举反例．【详解】因为SKIPIF1<0，不等式两边同时减去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，D正确，若SKIPIF1<0，则AB错误，若SKIPIF1<0，C错误．故选：D．3．设SKIPIF1<0，使不等式SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范围为__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法错误的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0恒成立 D．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】D【分析】A选项可以构造幂型函数来判断；B、D选项借用求导的手段求出函数单调性来判断大小关系；C选项利用基本不等式可判断出大小关系.【详解】解：对于A：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，故C正确；对于D：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，则不存在SKIPIF1<0，故D错误.故选：D.【点睛】实数间的大小比较，常见解题思路如下(1)构造幂型函数、指数型函数、对数型函数，三角函数等、利用函数性质，结合函数图象进行实数间的大小比较；(2)利用基本不等式、不等式性质进行实数间的大小比较；(3)利用导数判断函数单调性进行实数间的大小比较；(4)利用函数单调性、对称性、奇偶性、周期性进行实数间的大小比较.5．已知SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【分析】由给定条件分析出a>0，b<0及a与b间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.【详解】因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a>0，b<0，SKIPIF1<0，A不正确；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B不正确；又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C正确；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，D不正确.故选：C6．已知非零实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列不等式中一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】当SKIPIF1<0时，A,B,C均不成立，即可得到答案；【详解】对A，当SKIPIF1<0时，不等式无意义，故A错误；对B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B错误；对C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故C错误；对D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，故D正确；故选：D.7．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据SKIPIF1<0，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故A正确；对于B，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故C不正确；对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.8．若SKIPIF1<0，则下列不等式恒成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.【详解】对于A选项,由于SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故A选项正确;对于B选项,由于SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故B选项错误;对于C选项,因为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故C选项正确;对于D选项,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0不成立,故D选项错误;故选:AC【点睛】本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.9．已知两个不为零的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列说法中正确的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】对四个选项一一验证：对于A：利用SKIPIF1<0为增函数直接证明；对于B：取特殊值判断；对于C：若SKIPIF1<0时，利用同向不等式相乘判断；若SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，直接判断；若SKIPIF1<0时，利用不等式的乘法性质进行判断对于D：取特殊值判断；【详解】对于A：因为两个不为零的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故A正确；对于B：可以取SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故B不正确；对于C：若SKIPIF1<0时，则有SKIPIF1<0根据同向不等式相乘得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立；若SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0成立；若SKIPIF1<0时，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立；故C正确；对于D：可以取SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故D不正确；故选：AC【点睛】（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】考虑两个函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此确定SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有相同的零点，得出SKIPIF1<0的关系，检验此时SKIPIF1<0也满足题意，然后计算出SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0表示），然后由基本不等式得最小值．【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图象是开口向上的抛物线，因此由SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，由①得SKIPIF1<0，代入②得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，此式显然成立．SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数SKIPIF1<0的关系，从而可求得SKIPIF1<0的最小值．11．定义在R上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0的解为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得SKIPIF1<0时对应的函数解析式，然后解一元二次不等式即可.【详解】SKIPIF1<0，函数周期为2；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0则不等式SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：难点在于求得函数在SKIPIF1<0对应的函数解析式，从而解一元二次不等式.12．不等式SKIPIF1<0的解集是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由指数函数的单调性可得SKIPIF1<0，求解即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故不等式的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.13．设SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以解集为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到SKIPIF1<0，借助基本不等式SKIPIF1<0即可得到答案．【详解】由题，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立）．故选：C．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.15.某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，SKIPIF1<0)的关系为SKIPIF1<0，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.【详解】因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，SKIPIF1<0)的关系为SKIPIF1<0，所以年平均利润SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，故选：D16.(多选题)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正实数，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0的最大值为2 B．SKIPIF1<0的最小值为4C．SKIPIF1<0的最小值为3 D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.【详解】解：因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为2，A正确；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，此时取得最小值4，B正确；SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，C错误；SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，D正确．故选：ABD．17.（多选题）已知SKIPIF1<0，则下列选项一定正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】依题意得出SKIPIF1<0的取值范围，由此可得SKIPIF1<0的范围，即可判断A的正误；利用基本不等式可判断B、C的正误；根据基本不等式及二次函数知识即可判断D的正误.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.对于A：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；对于B：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故B正确；对于C：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，故C错误；对于D：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取最大值，此时SKIPIF1<0，此时两次取等号条件不一致，故SKIPIF1<0，故D正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．18.（多选题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】BC【分析】选项A.设SKIPIF1<0，求出导数，得出单调性，可判断；选项B.先将SKIPIF1<0展开先利用均值不等式放缩再配方，然后利用均值不等式可判断；选项C由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0由均值不等式可判断；选项D.由SKIPIF1<0两边同时乘以SKIPIF1<0结合均值不等式可得答案.【详解】对于A，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不为定值，故A错误.对于B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，故B正确.对于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故C正确.对于D，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D错误.故选:BC.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.19.已知正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值等于______．【答案】1【分析】由题意利用基本不等式可得SKIPIF1<0，由此求得SKIPIF1<0的最大值．【详解】正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，取等号），∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值等于1，故答案为：1．20.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】设BD与AE的交点为O，结合比例关系可求出SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可代换为SKIPIF1<0，结合三点共线性质得SKIPIF1<0，原式代换为SKIPIF1<0，再结合基本不等式即可求解【详解】如图，设BD与AE的交点为O，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由点O，F，B共线，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查平面向量三点共线性质的应用，基本不等式求最值，属于中档题21.已知SKIPIF1<0都为正实数，则SKIPIF1<0的最小值为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】化简SKIPIF1<0，由基本不等式得SKIPIF1<0，再代入原式得SKIPIF1<0，判断相等条件后即可得最小值.【详解】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0都为正实数，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】解答本题的关键在于分别利用两次基本不等式，根据“一正二定三相等”的原则判断最小值.22.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门SKIPIF1<0里见到树，则SKIPIF1<0．若一小城，如图所示，出东门SKIPIF1<0